ch2-3系統(tǒng)傳遞函數(shù)

第2章序列的傅立葉變換與Z變換（34）

2.1序列的傅里葉變換（9）2.2傅里葉變換的對稱性質(zhì)（2）2.3序列的Z變換（3）2.4Z反變換（3）2.5Z變換的基本性質(zhì)和定理8-12（12）2.6序列的Z變換與連續(xù)信號的拉氏變換及傅里葉變換的關(guān)系（2）2.7系統(tǒng)離散的頻率特性（3）二利用Z變換解差分方程在第一章中介紹了差分方程的遞推解法，下面介紹Z變換解法。這種方法將差分方程變成了代數(shù)方程，使求解過程簡單。設(shè)N階線性常系數(shù)差方程為(2.5.18)1.求穩(wěn)態(tài)解如果輸入序列x(n)是在n=0以前∞時(shí)加上的，n時(shí)刻的y(n)是穩(wěn)態(tài)解，對(2.5.18)式求Z變換，得到式中(2.5.19)(2.5.20)2.6.1拉氏變換與Z變換

Z變換的定義：為了研究拉氏變換和Z變換之間的關(guān)系，我們對采樣信號進(jìn)行雙邊拉氏變換：實(shí)際上，序列x(n)的值就等于采樣點(diǎn)的值，即，而這是由復(fù)變量s平面到復(fù)變量z平面的映射，這個映射關(guān)系極坐標(biāo)形式直角坐標(biāo)形式所以有T：采樣周期；：s平面的頻率；：z平面上的頻率。

s平面的虛軸z平面的單位圓s平面上沿虛軸每增加一個z平面上沿單位圓旋轉(zhuǎn)一周

這相當(dāng)于將s平面“裁”成一條條寬為的橫帶，重疊地映射到z平面，如圖所示?？梢园褄平面想象為以原點(diǎn)為中心的無窮重疊在一起的螺旋面，即無窮黎曼平面。s平面z域黎曼面

當(dāng)我們沿著s平面虛軸j“移動”時(shí)，這一“移動”映射到z域的黎曼面上，則是隨著幅角的增加，由一層螺旋面旋轉(zhuǎn)到另一層螺旋面。再回到對采樣信號進(jìn)行雙邊拉氏變換：

采樣序列在單位圓上的z變換就等于其理想采樣信號的傅氏變換（即其頻譜）?？紤]到數(shù)字域頻率與模擬域頻率的關(guān)系=T，則可見單位圓上的z變換有其重要的意義，正如傅氏變換給出了信號的譜一樣，單位圓上的z變換也給出了采樣序列的頻響。這里定義單位圓上的z變換為“序列的傅氏變換”

最后，我們總結(jié)一下拉氏變換、傅氏變換、z變換和序列的傅氏變換之間的關(guān)系：序列的傅氏變換是單位圓上的z變換，所以是z變換的特殊形式；z變換可以看作是序列傅氏變換的推廣。（z=ej

）采樣序列的傅氏變換是原信號傅氏變換譜的周期延拓，在滿足奈奎斯特定理時(shí)，兩者相同（僅有常數(shù)之差）。采樣序列的z變換是采樣信號的拉氏變換從s平面到z平面的映射2.7Z域中對系統(tǒng)的描述2.7.1傳輸函數(shù)與系統(tǒng)函數(shù)設(shè)系統(tǒng)初始狀態(tài)為零，輸出端對輸入為單位脈沖序列δ(n)的響應(yīng)，稱為系統(tǒng)的單位脈中響應(yīng)h(n)，對h(n)進(jìn)行傅里葉變換得到H(ejω)(2.7.1)

一般稱H(ejω)為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，它表征系統(tǒng)的頻率特性。

對h(n)進(jìn)行Z變換，得到H(z)，一般稱H(z)為系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，它表征了系統(tǒng)的復(fù)頻域特性。對N階差分方程進(jìn)行Z變換，得到系統(tǒng)函數(shù)的一般表示式(2.7.2)

如果H(z)的收斂域包含單位圓|z|=1，H(ejω)與H(z)之間關(guān)系如下式：(2.7.3)因此，有四種表示離散系統(tǒng)特性的方法:1、差分方程

2、脈沖響應(yīng)

3、頻率響應(yīng)

4、系統(tǒng)函數(shù)他們之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系明顯。2.7.2用系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)分布分析系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性因果系統(tǒng)其單位脈響應(yīng)h(n)一定滿足當(dāng)n<0時(shí)，h(n)=0，那么其系統(tǒng)函數(shù)H(z)的收斂域一定包含∞點(diǎn)，即∞點(diǎn)不是極點(diǎn)，極點(diǎn)分布在某個圓的圓內(nèi)，收斂域在某個圓外。系統(tǒng)穩(wěn)定要求，對照Z變換定義，系統(tǒng)穩(wěn)定要求收斂域包含單位圓。如果系統(tǒng)因果且穩(wěn)定，收斂域包含∞點(diǎn)和單位圓，那么收斂域可表示為

r<|z|≤∞，0<r<1

例2.7.1已知分析其因果性和穩(wěn)定性.

解：H(z)的極點(diǎn)為z=a，z=a-1(1)收斂域a-1<|z|≤∞，對應(yīng)的系統(tǒng)是因果系統(tǒng)，但由于收斂域不包含單位圓，因此是不穩(wěn)定系統(tǒng)。單位脈沖響應(yīng)h(n)=(an-a-n)u(n)，這是一個因果序列，但不收斂。

(2)收斂域0≤|z|＜a,對應(yīng)的系統(tǒng)是非因果且不穩(wěn)定系統(tǒng)。其單位脈沖響應(yīng)h(n)=(a-n-an)u(-n-1)，這是一個非因果且不收斂的序列。(3)收斂域a<|z|<a-1，對應(yīng)的系統(tǒng)是一個非因果系統(tǒng)，但由于收斂域包含單位圓，因此是穩(wěn)定系統(tǒng)。其單位脈沖響應(yīng)h(n)=a|n|，這是一個收斂的雙邊序列。2.7.3利用系統(tǒng)的極零點(diǎn)分布分析系統(tǒng)的頻率特性（由零極點(diǎn)確定濾波器的形狀）由濾波器的H(z)z在單位圓上取值，即可得濾波器的頻率響應(yīng)。而根據(jù)濾波器的零極點(diǎn)位置得到濾波器的特性曲線是一種更直觀的方法，特別適合低階濾波器。例：

例2.7.3設(shè)一階系統(tǒng)的差分方程為

y(n)=by(n-1)+x(n)

用幾何法分析其幅度特性。解：由系統(tǒng)差分方程得到系統(tǒng)函數(shù)為

系統(tǒng)極點(diǎn)z=b，零點(diǎn)z=0當(dāng)B點(diǎn)從ω=0逆時(shí)旋轉(zhuǎn)時(shí)，在ω=0點(diǎn)由于極點(diǎn)矢量長度最短，形成波峰。在ω=π時(shí)形成波谷。z=0處零點(diǎn)不影響頻響。極零點(diǎn)分布及幅度特性如圖2.7.4所示。

圖2.7.4例2.7.3插圖作業(yè)：比較下列濾波器的形狀：Piz示例

Pez31---matlab示例1、單位圓內(nèi)實(shí)軸上的單極點(diǎn)2、對偶極點(diǎn)3、比較同一數(shù)字頻率下的極點(diǎn)位置變換2.7.3利用系統(tǒng)的極零點(diǎn)分布分析系統(tǒng)的頻率特性

將系統(tǒng)函數(shù)因式分解，得到(2.7.4)

式中A=b0/a0，上式中cr是H(z)的零點(diǎn)，dr是其極點(diǎn)。A參數(shù)影響傳輸函數(shù)的幅度大小，影響系統(tǒng)特性的是零點(diǎn)cr和極點(diǎn)d

的分布。下面我們采用幾何方法研究系統(tǒng)零極點(diǎn)分布對系統(tǒng)頻率特性的影響。將(2.7.4)式分子分母同乘以zN-M，得到設(shè)系統(tǒng)穩(wěn)定，將z=ejω，得到傳輸函數(shù)(2.7.5)(2.7.6)設(shè)N=M，(2.7.7)

和分別稱為零點(diǎn)矢量和極點(diǎn)矢量，將它們用極坐標(biāo)表將和表示式代入(2.7.7)式，得到(2.7.8)(2.7.9)

根據(jù)濾波器零極點(diǎn)位置得到濾波器的頻率響應(yīng)特性曲線，是一種直觀的方法，但只比較適合低階濾波器。對于高階系統(tǒng)，由H（z）z在單位圓上取值，再將從0-2π取值求幅度和相位譜更簡潔方便。

系統(tǒng)的傳輸特性或者信號的頻率特性由(2.7.8)式和(2.7.9)式確定。當(dāng)頻率ω從0變化到2π時(shí)，這些向量的終點(diǎn)B沿單位圓逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，按照(2.7.8)式(2.7.9)式，分別估算出系統(tǒng)的幅度特性和相位特性。例如圖2.7.2表示了具有一個零點(diǎn)和二個極點(diǎn)的頻率特性。

例2.7.2已知H(z)=z-1，分析其頻率特性解：由H(z)=z-1，極點(diǎn)為z=0，幅度特性|H(ejω)|=1,

相位特性φ(ω)=-ω，頻響如圖2.7.3所示。用幾何方法也容易確定，當(dāng)ω=0轉(zhuǎn)到ω=2π時(shí)，極點(diǎn)矢量的長度始終為1。由該例可以得到結(jié)論，處于原點(diǎn)處的零點(diǎn)或極點(diǎn)，由于零點(diǎn)矢量長度或者是極點(diǎn)矢量長度始終為1，因此原點(diǎn)處的零極點(diǎn)不影響系統(tǒng)的頻率特性。圖2.7.3H(z)=z-1的頻響極零點(diǎn)分布分析系統(tǒng)的頻率特性MATLAB演示541.m例：H（z）=1-2z-1+2z-2-z-3TheRootsare:z1=1z2=1ejπ/3z3=1e-jπ/3這些零點(diǎn)都在單位圓上，所以頻率0，π/3和-π/3的復(fù)正弦信號通過系統(tǒng)后，輸出為0。試通過下述輸入信號進(jìn)行驗(yàn)證：1、x1=12、x2=ejπn/33、x3=e-jπn/3H（z）=1-2z-1+2z-2-z-3因此，H（z）的零點(diǎn)在單位圓上，對于相應(yīng)的正弦輸入信號，通過濾波器后將被消除。在雷達(dá)或通信系統(tǒng)中常要這樣的濾波器來消除特定的干擾信號，同樣對來至電網(wǎng)的50Hz或60Hz干擾也適用。如果我們要消除一個正弦或余弦信號：

x（n）=cos（ωn）=(ejωn+e-jωn)/2需要采用一個二階濾波器，零點(diǎn)為z1=ejω,z2=e–jω因此，二階濾波器為：H（z）=(1-z1z-1)(1-z2z-1)=1-(z1+z2)z-1+(z1z2)z-2=1-2cos(ω)z-1+z-2例，要消除ω=π/4的余弦分量----cos(0.25πn)

Piz示例

Pez31---matlab示例兩個z=0的極點(diǎn)，一對單位圓上的零點(diǎn)模擬頻率f和數(shù)字頻率ω?cái)?shù)字濾波器的形狀設(shè)計(jì)可以不依賴采樣頻率，但采樣頻率將影響濾波器的帶寬?！盎A(chǔ)”P193例7.18-7.20這三個例子都說明了：

采樣頻率對濾波器性能（帶寬）的影響。

例2.7.4已知H(z)=1-z-N，試定性畫出系統(tǒng)的幅頻特性。解：零點(diǎn)：

H(z)的極點(diǎn)為z=0，這是一個N階極點(diǎn)，它不影響系統(tǒng)的頻響。零點(diǎn)有N個，由分子多項(xiàng)式的根決定N個零點(diǎn)等間隔分布在單位圓上，設(shè)N=8，極零點(diǎn)分布如圖2.7.5所示。當(dāng)ω從零變化到2π時(shí)，每遇到一個零點(diǎn)，幅度為零，在兩個零點(diǎn)的中間幅度最大，形成峰值。幅度谷值點(diǎn)頻率為：ωk=(2π/N)k,k=0,1,2,…(N-1)。一般將具有如圖2.7.5所示的幅度特性的濾波器稱為梳狀濾波器。圖2.7.5梳狀濾波器的極零點(diǎn)分布及幅度特性例2.7.5利用幾何法分析矩形序列的幅頻特性。解：零點(diǎn)：極點(diǎn)：

設(shè)N=8，z=1處的極點(diǎn)零點(diǎn)相互抵消。這樣極零點(diǎn)分布及其幅頻特性如圖2.7.6所示。階零點(diǎn)圖2.7.6N=8矩形序列極零點(diǎn)分布及幅度特性低通濾波器由于零點(diǎn)并不能完全組合成復(fù)數(shù)共軛對，該濾波器系數(shù)將是復(fù)數(shù)。這對濾波器實(shí)現(xiàn)不利。對帶通濾波器的設(shè)計(jì)思路：在單位圓上設(shè)定零點(diǎn)的方法來控制濾波器頻率響應(yīng)。若將零極點(diǎn)抵消位置移至某一頻率，則可獲相應(yīng)BPF。實(shí)系數(shù)帶通濾波器帶通濾波器MATLABIMPLEMENTATIONEXAMPLE1Givenacausalsystema.FindH(z)andsketchitspole-zeroplot.b.Plotc.Determinetheimpulseresponseh(n).y(n)=0.9y(n-1)+x(n)Solution:a.FromWewilluseMatlabtoillustratetheuseofthezplanefunction:>>b=1;>>a=[1,-0.9];>>zplane(b,a);y(n)=0.9y(n-1)+x(n)MATLABIMPLEMENTATIONb.Matlabprovidesafunctioncalledfreqz,thesimplestformofthisfunctionisinvokedby:[H,w]=freqz(b,a,N)whichreturnstheN-pointfrequencyvectorwandtheN-pointcomplexfrequencyresponsevectorHofthesystem,givenitsnumeratoranddenominatorcoefficientsinvectorsbanda.ThefrequencyresponseisevaluatedatNpointsequallyspacedaroundtheupperhalfoftheunitcircle.(0toπ)Letustake100pointsalongtheupperhalfoftheunitcircle:%z-平面函數(shù):%a)&b)b=1;a=[1,-0.9];zplane(b,a);title('極點(diǎn)-零點(diǎn)圖');text(0.85,-0.1,'0.9');text(0.01,-0.1,'0');pause,%b)[H,w]=freqz(b,a,100);magH=abs(H);phaH=angle(H);subplot(2,1,1),plot(w/pi,magH);gridxlabel('');ylabel('