機(jī)械振動-西安交大版

第二篇

機(jī)械振動與機(jī)械波機(jī)械振動基礎(chǔ)第六章廣義振動：任一物理量(如電路中的電流、電壓的變化、電磁波中場強(qiáng)的變化、一年四季氣溫的變化等)在某一數(shù)值附近反復(fù)變化。機(jī)械振動：物體在一定位置附近作來回往復(fù)的運(yùn)動。(如樹葉的擺動、鼓膜的振動、心臟的跳動、晶體中原子的振動等。）機(jī)械振動是最直觀、最基本的振動形式6-1

簡諧振動的動力學(xué)特征簡諧振動——最簡單最基本的線性振動。

簡諧振動：一個作往復(fù)運(yùn)動的物體，其偏離平衡位置的位移x（或角位移）隨時(shí)間t按余弦（或正弦）規(guī)律變化的振動。6.1.1

簡諧振動一、彈簧振子模型彈簧振子：彈簧—物體系統(tǒng)平衡位置：彈簧處于自然狀態(tài)的穩(wěn)定位置輕彈簧—質(zhì)量忽略不計(jì)，形變滿足胡克定律物體—可看作質(zhì)點(diǎn)簡諧振動微分方程令:其通解為：簡諧振動的振動方程簡諧振動的特征：力學(xué)方程1.動力學(xué)方程2.運(yùn)動學(xué)方程3.判斷系統(tǒng)作簡諧振動的依據(jù)結(jié)論：單擺的小角度擺動振動是簡諧振動。二、微振動的簡諧近似_單擺擺球?qū)點(diǎn)的力矩簡諧振動微分方程簡諧振動的振動方程令:l單擺作小角度擺動時(shí)：復(fù)擺：繞不過質(zhì)心的水平固定軸轉(zhuǎn)動的剛體結(jié)論：復(fù)擺的小角度擺動振動是簡諧振動。當(dāng)時(shí)令:其通解為：一、簡諧振動的運(yùn)動學(xué)方程6.1.2

簡諧振動的運(yùn)動學(xué)簡諧振動的微分方程簡諧振動的運(yùn)動學(xué)方程根據(jù)運(yùn)動方程可得任意時(shí)刻的速度和加速度：速度：加速度：二、描述簡諧振動的特征量1、振幅A簡諧振動物體離開平衡位置的最大位移（或角位移）的絕對值。初始條件頻率：單位時(shí)間內(nèi)振動的次數(shù)。2、周期、頻率、圓頻率角頻率:周期T：物體完成一次全振動所需時(shí)間。物體在2π秒時(shí)間內(nèi)所作的完全振動的次數(shù)，用ω表示，單位為弧度/秒(rad.s-1)。對彈簧振子固有角頻率固有周期固有頻率單擺復(fù)擺0

是t=0時(shí)刻的位相—初位相3、位相和初位相—位相，決定諧振動物體的運(yùn)動狀態(tài)或:位相差兩振動位相之差。當(dāng)=2k

,k=0,±1,±2…,兩振動步調(diào)相同,稱同相當(dāng)=(2k+1)

,k=0,±1,±2...兩振動步調(diào)相反,稱反相2

超前于1

或1滯后于

2

位相差反映了兩個振動不同程度的參差錯落設(shè)有:toTxx1x2例1、一個輕質(zhì)彈簧豎直懸掛，下端掛一質(zhì)量為m的物體。今將物體向下拉一段距離后再放開，證明物體將作簡諧振動。因此,此振動為簡諧振動。以平衡位置O為原點(diǎn)彈簧原長掛m后伸長某時(shí)刻m位置伸長受彈力平衡位置解：求平衡位置例:如圖m=2×10-2kg,

彈簧的靜止形變?yōu)長=9.8cmx0=-9.8cm,v0=0⑴取開始振動時(shí)為計(jì)時(shí)零點(diǎn)，寫出振動方程；

(2)若取x0=0，v0>0為計(jì)時(shí)零點(diǎn)，寫出振動方程,并計(jì)算振動頻率。XOmx解：⑴設(shè)振動方程為由初條件得由x0=Acos0=-0.098<0cos0<0,取0=振動方程為：x=9.810-2cos(10t+)m(2)按題意t=0

時(shí)x0=0，v0>0x0=Acos0=0,cos0=00=/2,3/2

v0=-Asin>0,sin0

<0,取0=3/2x=9.810-2cos(10t+3/2)m對同一諧振動取不同的計(jì)時(shí)起點(diǎn)不同，但、A不變固有頻率XOmx以彈簧振子為例諧振動系統(tǒng)的能量=系統(tǒng)的動能Ek+系統(tǒng)的勢能Ep某一時(shí)刻，諧振子速度為v，位移為x諧振動的動能和勢能是時(shí)間的周期性函數(shù)6.1.4

簡諧振動的能量機(jī)械能簡諧振動系統(tǒng)機(jī)械能守恒動能勢能情況同動能。機(jī)械能簡諧振動系統(tǒng)機(jī)械能守恒對彈簧振子結(jié)論：彈簧串聯(lián)對彈簧振子結(jié)論：彈簧并聯(lián)課堂練習(xí)：復(fù)擺機(jī)械能動能6.1.5簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量表示法0t=0t+0t=txoX用旋轉(zhuǎn)矢量表示相位關(guān)系同相反相4-5一個沿X軸作簡諧振動的彈簧振子，振幅為A，周期為T，其振動方程用余弦函數(shù)表示．如果t=0時(shí)質(zhì)點(diǎn)的狀態(tài)分別是：

(1)；

(2)過平衡位置向正向運(yùn)動；

(3)過x=A/2處向負(fù)向運(yùn)動；

(4)過處向正向運(yùn)動．

試求出相應(yīng)的初位相，并寫出振動方程．

解：設(shè)振動方程為：(1)(2)(4)(3)4-8圖為兩個諧振動的x-t曲線，試分別寫出其諧振動方程．

解：(1)(2)例題：一個質(zhì)點(diǎn)沿x軸作簡諧運(yùn)動，振幅A=0.06m，周期T=2s，初始時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)位于x0=0.03m處且向x軸正方向運(yùn)動。求：（1）初相位；（2）在x=-0.03m處且向x軸負(fù)方向運(yùn)動時(shí)物體回到平衡位置所需要的最短時(shí)間。解：（1）用旋轉(zhuǎn)矢量法，則初相位在第四象限（2）從x=-0.03m處且向x軸負(fù)方向運(yùn)動到平衡位置，意味著旋轉(zhuǎn)矢量從M1點(diǎn)轉(zhuǎn)到M2點(diǎn)，因而所需要的最短時(shí)間滿足依題意園頻率:課堂練習(xí)一、同方向、同頻率諧振動的合成合振動是簡諧振動,其頻率仍為質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個同方向同頻率的諧振動:合振動:6.2

簡諧振動的合成如A1=A2,則A=0兩分振動相互加強(qiáng)兩分振動相互減弱分析若兩分振動同相：若兩分振動反相:初相與振幅大振動相同.振動合成的三角形法則N個同方向、同頻率振動的合成：合振動不是簡諧振動式中隨t緩變隨t快變合振動可看作振幅緩變的簡諧振動二.同方向不同頻率簡諧振動的合成分振動合振動當(dāng)21時(shí),拍

合振動忽強(qiáng)忽弱的現(xiàn)象拍頻:單位時(shí)間內(nèi)強(qiáng)弱變化的次數(shù)

=|2-1|

xtx2tx1t*四、兩個相互垂直的同頻率簡諧振動的合成合振動分振動合振動的軌跡為通過原點(diǎn)且在第一、第三象限內(nèi)的直線質(zhì)點(diǎn)離開平衡位置的位移討論利用旋轉(zhuǎn)矢量合成合振動的軌跡為通過原點(diǎn)且在第二、第四象限內(nèi)的直線質(zhì)點(diǎn)離開平衡位置的位移合振動的軌跡為以x軸和y軸為軸線的橢圓質(zhì)點(diǎn)沿橢圓的運(yùn)動方向是順時(shí)針的。合振動的軌跡為以x軸和y軸為軸線的橢圓質(zhì)點(diǎn)沿橢圓的運(yùn)動方向是逆時(shí)針的。=5/4=3/2=7/4=0==/2=3/4Q=/4P

·.時(shí)，逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動。時(shí)，順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動。*五、垂直方向不同頻率可看作兩頻率相等而2-1隨t緩慢變化合運(yùn)動軌跡將按上頁圖依次緩慢變化。軌跡稱為李薩如圖形yxA1A2o-A2-A1簡諧振動的合成兩分振動頻率相差很小兩振動的頻率成整數(shù)比李薩如圖形一、阻尼振動阻尼振動能量隨時(shí)間減小的振動稱阻尼振動或減幅振動。摩擦阻尼：系統(tǒng)克服阻力作功使振幅受到摩擦力的作用，系統(tǒng)的動能轉(zhuǎn)化為熱能。輻射阻尼：振動以波的形式向外傳波，使振動能量向周圍輻射出去。4-5

阻尼振動受迫振動共振阻尼振動的振動方程（系統(tǒng)受到弱介質(zhì)阻力而衰減）振子動力學(xué)方程振子受阻力系統(tǒng)固有角頻率阻尼系數(shù)弱介質(zhì)阻力是指振子運(yùn)動速度較低時(shí)，介質(zhì)對物體的阻力僅與速度的一次方成正比—阻力系數(shù)弱阻尼弱阻尼每一周期內(nèi)損失的能量越小，振幅衰減越慢，周期越接近于諧振動。阻尼振動的振幅按指數(shù)衰減阻尼振動的準(zhǔn)周期臨界阻尼臨界阻尼系統(tǒng)不作往復(fù)運(yùn)動，而是較快地回到平衡位置并停下來過阻尼過阻尼系統(tǒng)不作往復(fù)運(yùn)動，而是非常緩慢地回到平衡位置二、受迫振動受迫振動振動系統(tǒng)在周期性外力作用下的振動。弱阻尼諧振子系統(tǒng)在策動力作用下的受迫振動的方程令周期性外力——策動力穩(wěn)定解(1)頻