氣體輸運(yùn)系數(shù)的導(dǎo)出

熱學(xué)

氣體黏性系數(shù)的導(dǎo)出主講：孔紅艷

陜西師范大學(xué)物理學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院§3.8氣體輸運(yùn)系數(shù)的導(dǎo)出

前面我們已介紹過氣體輸運(yùn)現(xiàn)象的宏觀規(guī)律,并說明氣體的黏性、熱傳導(dǎo)及擴(kuò)散來源于不均勻氣體中的無規(guī)熱運(yùn)動.在交換分子對的同時分別把分子原先所在區(qū)域的宏觀性質(zhì)（動量、能量、質(zhì)量）輸運(yùn)到新的區(qū)域.本節(jié)將利用分子碰撞截面及分子平均自由程來導(dǎo)出氣體輸運(yùn)系數(shù)的表達(dá)式。

◆所討論輸運(yùn)過程的適用條件:(1)這里的“輸運(yùn)過程都是近平衡的非平衡”過程,空間不均勻性（如溫度梯度、速度梯度、分子數(shù)密度梯度）都不大.因而不管分子以前的平均數(shù)值如何,它經(jīng)過一次碰撞后就具有在新的碰撞地點(diǎn)的平均動能、平均定向動量及平均粒子數(shù)密度.(2)在這里所討論的氣體是既足夠稀?。怏w分子間平均距離比起分子的大小要大得多,這是理想氣體的特征）,但又不是太稀薄（它不是“真空”中氣體的輸運(yùn)現(xiàn)象,“真空”中氣體的輸運(yùn)現(xiàn)象將在下一節(jié)討論）.§3.8.1氣體黏性系數(shù)的導(dǎo)出一.氣體的黏性系數(shù)在層流流體中,每個分子除有熱運(yùn)動動量外,還疊加上定向動量.因?yàn)闊徇\(yùn)動動量的平均值為零,故只需考慮流體中各層分子的定向動量.設(shè)想有一與定向動量方向平行,與z軸垂直的某一中性平面,它的z軸坐標(biāo)為z0.如圖所示。2.若再假設(shè)所有從上面（或從下面）穿越z0平面的分子,平均說來都分別是來自

則:1.在t時間內(nèi)從上方穿過

z0平面上的面積元向下運(yùn)動的平均分子數(shù)為:假定有n/6個分子向z0方向運(yùn)動,每個分子以平均速率運(yùn)動。3.將上面的兩式相減即得從下方通過z0平面面積向上方凈輸運(yùn)的總動量:4.該式除以t即得z0平面內(nèi)的切應(yīng)力,即黏性力:5.考慮到在近平衡的非平衡條件下,氣體定向運(yùn)動的速度梯度ux/z較小,另外氣體的壓強(qiáng)也并非很低,因而分子平均自由程并不很大,這說明在z方向間距為平均自由程的范圍內(nèi),定向速率的變化ux與ux相比小得多,因而可作泰勒級數(shù)展開并取一級近似有:

將它們代入f中可得:6.將上式與牛頓黏性定律比較可得:利用氣體的密度

=mn的關(guān)系,上式可以表示為:二.討論:1.

與

n無關(guān):和由可以得到:(2)氣體的黏性系數(shù)在溫度一定時與n(或P)無關(guān)這一特性首先由麥克斯韋于1860年得出,并由他在實(shí)驗(yàn)上加以證實(shí).2.僅是溫度的函數(shù):若認(rèn)為氣體分子是剛球,有效碰撞截面=d2為常數(shù).將氣體分子平均速率公式代入中可得:說明:與T1/2成正比.(1)若n加倍,確實(shí)在z0平面上下之間交換的分子對數(shù)加倍.但因平均自由程也減半,它只能輸送離z0平面上下距離分別為處的定向動量,這樣凈動量的輸運(yùn)率仍不變.3.利用可以測定氣體分子碰撞截面及氣體分子有效直徑的數(shù)量級。在三個輸運(yùn)系數(shù)中,實(shí)驗(yàn)最易精確測量的是氣體的黏性系數(shù),利用黏性系數(shù)的測量來確定氣體分子有效直徑是較簡便的.4.黏性系數(shù)公式的適用條件為:(L為容器的線度)對于稀薄氣體:它的輸運(yùn)性質(zhì)將在下一節(jié)討論.5.采用不同近似程度的各種推導(dǎo)方法的實(shí)質(zhì)是相同的.上面對的推導(dǎo)中采用了如下近似:①利用氣體分子碰壁數(shù)公式;②平均說來從上（或下）方穿過z0平面的分子都是在上下分別相距平均自由程處經(jīng)受一次碰撞的；③未考慮分子從上（或下）方穿過z0平面時的碰撞概率.實(shí)際上,即使是更為嚴(yán)密細(xì)致的推導(dǎo),其中仍有一定的近似,其結(jié)果與實(shí)驗(yàn)仍有一定差別,更深層次的討論要利用非平衡態(tài)統(tǒng)計(jì),其數(shù)學(xué)處理要復(fù)雜得多.所有不同層次的各種推導(dǎo)方法的實(shí)質(zhì)都是相同的,所得結(jié)果其數(shù)量級一致.對于初學(xué)者來說,應(yīng)該首先關(guān)心輸運(yùn)系數(shù)與哪些物理量有關(guān)？它的數(shù)量級是多少？至于公式中的系數(shù),在不影響數(shù)量級的情況下是次等重要的.

熱學(xué)

氣體熱傳導(dǎo)系數(shù)和擴(kuò)散系數(shù)的導(dǎo)出主講：孔紅艷

陜西師范大學(xué)物理學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院§3.8.2氣體熱傳導(dǎo)系數(shù)與擴(kuò)散系數(shù)的導(dǎo)出

一.氣體的熱傳導(dǎo)系數(shù)1.推導(dǎo):氣體熱傳導(dǎo)是在分子熱運(yùn)動過程中交換分子同時所伴隨的能量傳輸,其討論方法與上節(jié)類同.不同僅是在z軸方向不存在定向運(yùn)動速率梯度,而存在溫度梯度.現(xiàn)假設(shè)在及處的溫度分別為:若溫度梯度數(shù)值較小,就可假定恰在離開z0平面上下一個平均自由程距離處碰撞過的分子的平均動能僅與在碰撞處的溫度有關(guān),它們的溫度分別為:這樣,在z0平面上交換分子對的同時也交換了熱運(yùn)動動能,因而產(chǎn)生了熱量的輸運(yùn).在單位時間內(nèi),在單位截面上交換的分子對數(shù)為:因而單位時間內(nèi),在單位截面上流過的熱量為:即:或者:(1)因?yàn)槔硐霘怏w內(nèi)能就是熱運(yùn)動能量,而理想氣體定體摩爾熱容量為:代入(1)式得:(2)將(2)式與傅里葉定律對照:可得:利用

=mn關(guān)系,可以得到氣體熱導(dǎo)系數(shù):可見:剛性分子氣體的熱導(dǎo)率與數(shù)密度n無關(guān),僅與T1/2有關(guān)。2.氣體熱導(dǎo)系數(shù)討論

(1)在熱導(dǎo)率公式推導(dǎo)中沒有考慮到,由于溫度梯度不同,會在離開z0平面上下平均自由程處會發(fā)生氣體分子數(shù)密度差異及平均速率的差異,故前面所用的數(shù)據(jù)應(yīng)是與氣體平均溫度所對應(yīng)的數(shù)密度、密度及平均速率.(2)將及代入中可得:3.氣體熱導(dǎo)率公式適用于溫度梯度較小,滿足如下條件的理想氣體:二.氣體擴(kuò)散系數(shù)的導(dǎo)出:1.類似地可證明理想氣體的擴(kuò)散系數(shù):2.討論:(1)利用平均自由程公式和平均速率的公式,即:可將上式化為:說明:剛性分子氣體的擴(kuò)散系數(shù)與黏性系數(shù)不同,它在P一定時與T3/2成正比,在溫度一定時,又與P成反比.而黏性系數(shù)與P無關(guān),與T1/2成正比.(2)由上式可看到,在一定的壓強(qiáng)與溫度下,擴(kuò)散系數(shù)D與分子質(zhì)量的平方根成反比.

熱學(xué)

理論與實(shí)驗(yàn)的比較主講：孔紅艷

陜西師范大學(xué)物理學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院§3.8.3與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的比較

下面我們從幾個方面將初級理論的結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行比較.1.輸運(yùn)系數(shù)與氣體狀態(tài)參量的函數(shù)關(guān)系:選壓強(qiáng)P和溫度T為獨(dú)立的狀態(tài)參量.則:由于與對于壓強(qiáng)P的依賴關(guān)系相反,二者的乘積與P無關(guān),導(dǎo)致和與P無關(guān).這個結(jié)論在不經(jīng)理論推導(dǎo)之前并不是顯而易見的.麥克斯韋和邁耶等人曾在幾個mmHg到幾個大氣壓的壓強(qiáng)范圍內(nèi)作實(shí)驗(yàn),證實(shí)了這個推論,這對當(dāng)時氣體動理論的建立起了重要作用.以上各式表明,,實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,,即都比理論預(yù)期的溫度依賴關(guān)系更為顯著.偏差來自計(jì)算平均自由程時采用的是剛球模型,在此模型中只考慮了分子間的排斥力.實(shí)際上分子間還有較弱的吸引力,吸引力使分子的碰撞截面對溫度有一定的依賴關(guān)系.2.三個輸運(yùn)系數(shù)之間的關(guān)系:以上各式表明:而實(shí)驗(yàn)結(jié)果是:具體數(shù)值都因氣體不同而異.3.輸運(yùn)系數(shù)的數(shù)量級:例1:估算150C時N2的黏性系數(shù).取N2分子的有效直徑.已知N2的分子量為28.解:實(shí)驗(yàn)測得150C時N2的黏性系數(shù),即理論與實(shí)驗(yàn)的數(shù)量級是符合的.由于三個輸運(yùn)系數(shù)兩兩之比的數(shù)量級理論與實(shí)驗(yàn)符合,其它兩個輸運(yùn)系數(shù)的數(shù)量級也是對的.空氣的摩爾質(zhì)量為0.029kg,而空氣密度為:例2:試估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)狀況下空氣的黏性系數(shù),熱導(dǎo)率及擴(kuò)散系數(shù).解:前面已估算出標(biāo)準(zhǔn)狀況下空氣的平均自由程和平均速率分別為:故:在上述計(jì)算中認(rèn)為空氣是剛性分子,它僅有三個平動、兩個轉(zhuǎn)動自由度,故CV.m=5R/2。將理論結(jié)果:與表3.1,3.2和3.3的結(jié)果:進(jìn)行比較.可見:在數(shù)量級上無多大差異,但其數(shù)值有一定偏差,它主要用于估計(jì)數(shù)量級.這也說明,前面所介紹的僅是關(guān)于輸運(yùn)過程微觀分析的初級理論,它還存在相當(dāng)大局限性.

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