2023屆湖北省荊州市五縣市區(qū)高三最后一卷數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁(yè)
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文檔簡(jiǎn)介

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知向量,則向量在向量方向上的投影為()A. B. C. D.2.已知數(shù)列為等差數(shù)列,為其前項(xiàng)和,,則()A.7 B.14 C.28 D.843.雙曲線x2a2A.y=±2x B.y=±3x4.復(fù)數(shù)滿足為虛數(shù)單位),則的虛部為()A. B. C. D.5.函數(shù)f(x)=2x-3A.[32C.[326.甲、乙、丙、丁四人通過抓鬮的方式選出一人周末值班(抓到“值”字的人值班).抓完鬮后,甲說:“我沒抓到.”乙說:“丙抓到了.”丙說:“丁抓到了”丁說:“我沒抓到."已知他們四人中只有一人說了真話,根據(jù)他們的說法,可以斷定值班的人是()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁7.的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,已知,則角的大小為()A. B. C. D.8.如圖,平面與平面相交于,,,點(diǎn),點(diǎn),則下列敘述錯(cuò)誤的是()A.直線與異面B.過只有唯一平面與平行C.過點(diǎn)只能作唯一平面與垂直D.過一定能作一平面與垂直9.已知函數(shù)(,且)在區(qū)間上的值域?yàn)?,則()A. B. C.或 D.或410.已知雙曲線滿足以下條件:①雙曲線E的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)F重合;②雙曲線E與過點(diǎn)的冪函數(shù)的圖象交于點(diǎn)Q,且該冪函數(shù)在點(diǎn)Q處的切線過點(diǎn)F關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn).則雙曲線的離心率是()A. B. C. D.11.已知實(shí)數(shù)滿足約束條件,則的最小值是A. B. C.1 D.412.在中,,,,則邊上的高為()A. B.2 C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知關(guān)于的方程在區(qū)間上恰有兩個(gè)解,則實(shí)數(shù)的取值范圍是________14.已知集合,,則________.15.在中,角、、所對(duì)的邊分別為、、,若,,則的取值范圍是_____.16.某高中共有1800人,其中高一、高二、高三年級(jí)的人數(shù)依次成等差數(shù)列,現(xiàn)用分層抽樣的方法從中抽取60人,那么高二年級(jí)被抽取的人數(shù)為________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)設(shè)橢圓:的左、右焦點(diǎn)分別為,,下頂點(diǎn)為,橢圓的離心率是,的面積是.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)直線與橢圓交于,兩點(diǎn)(異于點(diǎn)),若直線與直線的斜率之和為1,證明:直線恒過定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).18.(12分)在中,內(nèi)角的對(duì)邊分別為,且(1)求;(2)若,且面積的最大值為,求周長(zhǎng)的取值范圍.19.(12分)如圖,在四邊形ABCD中,AB//CD,∠ABD=30°,AB=2CD=2AD=2,DE⊥平面ABCD,EF//BD,且BD=2EF.(Ⅰ)求證:平面ADE⊥平面BDEF;(Ⅱ)若二面角CBFD的大小為60°,求CF與平面ABCD所成角的正弦值.20.(12分)在直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn),的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求的普通方程和的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)曲線與曲線相交于,兩點(diǎn),求的值.21.(12分)已知直線與橢圓恰有一個(gè)公共點(diǎn),與圓相交于兩點(diǎn).(I)求與的關(guān)系式;(II)點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱.若當(dāng)時(shí),的面積取到最大值,求橢圓的離心率.22.(10分)已知函數(shù).(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若,且,求的值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

投影即為,利用數(shù)量積運(yùn)算即可得到結(jié)論.【詳解】設(shè)向量與向量的夾角為,由題意,得,,所以,向量在向量方向上的投影為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考察了向量的數(shù)量積運(yùn)算,難度不大,屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】

利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,可求解得到,利用求和公式和等差中項(xiàng)的性質(zhì),即得解【詳解】,解得..故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式和等差中項(xiàng),考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.3、A【解析】分析:根據(jù)離心率得a,c關(guān)系,進(jìn)而得a,b關(guān)系,再根據(jù)雙曲線方程求漸近線方程,得結(jié)果.詳解:∵e=因?yàn)闈u近線方程為y=±bax點(diǎn)睛:已知雙曲線方程x2a24、C【解析】

,分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)即可.【詳解】由已知,,故的虛部為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,考查學(xué)生的基本運(yùn)算能力,是一道基礎(chǔ)題.5、A【解析】

根據(jù)冪函數(shù)的定義域與分母不為零列不等式組求解即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)y=2x-3解得x≥32且∴函數(shù)f(x)=2x-3+1【點(diǎn)睛】定義域的三種類型及求法:(1)已知函數(shù)的解析式,則構(gòu)造使解析式有意義的不等式(組)求解;(2)對(duì)實(shí)際問題:由實(shí)際意義及使解析式有意義構(gòu)成的不等式(組)求解;(3)若已知函數(shù)fx的定義域?yàn)閍,b,則函數(shù)fgx6、A【解析】

可采用假設(shè)法進(jìn)行討論推理,即可得到結(jié)論.【詳解】由題意,假設(shè)甲:我沒有抓到是真的,乙:丙抓到了,則丙:丁抓到了是假的,?。何覜]有抓到就是真的,與他們四人中只有一個(gè)人抓到是矛盾的;假設(shè)甲:我沒有抓到是假的,那么?。何覜]有抓到就是真的,乙:丙抓到了,丙:丁抓到了是假的,成立,所以可以斷定值班人是甲.故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了合情推理及其應(yīng)用,其中解答中合理采用假設(shè)法進(jìn)行討論推理是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與分析判斷能力,屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】

先利用正弦定理將邊統(tǒng)一化為角,然后利用三角函數(shù)公式化簡(jiǎn),可求出解B.【詳解】由正弦定理可得,即,即有,因?yàn)椋瑒t,而,所以.故選:A【點(diǎn)睛】此題考查了正弦定理和三角函數(shù)的恒等變形,屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】

根據(jù)異面直線的判定定理、定義和性質(zhì),結(jié)合線面垂直的關(guān)系,對(duì)選項(xiàng)中的命題判斷.【詳解】A.假設(shè)直線與共面,則A,D,B,C共面,則AB,CD共面,與,矛盾,故正確.B.根據(jù)異面直線的性質(zhì)知,過只有唯一平面與平行,故正確.C.根據(jù)過一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直知,故正確.D.根據(jù)異面直線的性質(zhì)知,過不一定能作一平面與垂直,故錯(cuò)誤.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查異面直線的定義,性質(zhì)以及線面關(guān)系,還考查了理解辨析的能力,屬于中檔題.9、C【解析】

對(duì)a進(jìn)行分類討論,結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及值域求解.【詳解】分析知,.討論:當(dāng)時(shí),,所以,,所以;當(dāng)時(shí),,所以,,所以.綜上,或,故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查指數(shù)函數(shù)的值域問題,指數(shù)函數(shù)的值域一般是利用單調(diào)性求解,側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).10、B【解析】

由已知可求出焦點(diǎn)坐標(biāo)為,可求得冪函數(shù)為,設(shè)出切點(diǎn)通過導(dǎo)數(shù)求出切線方程的斜率,利用斜率相等列出方程,即可求出切點(diǎn)坐標(biāo),然后求解雙曲線的離心率.【詳解】依題意可得,拋物線的焦點(diǎn)為,F(xiàn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn);,,所以,,設(shè),則,解得,∴,可得,又,,可解得,故雙曲線的離心率是.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的性質(zhì),已知拋物線方程求焦點(diǎn)坐標(biāo),求冪函數(shù)解析式,直線的斜率公式及導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查了學(xué)生分析問題和解決問題的能力,難度一般.11、B【解析】

作出該不等式組表示的平面區(qū)域,如下圖中陰影部分所示,設(shè),則,易知當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí),z取得最小值,由,解得,所以,所以,故選B.12、C【解析】

結(jié)合正弦定理、三角形的內(nèi)角和定理、兩角和的正弦公式,求得邊長(zhǎng),由此求得邊上的高.【詳解】過作,交的延長(zhǎng)線于.由于,所以為鈍角,且,所以.在三角形中,由正弦定理得,即,所以.在中有,即邊上的高為.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查正弦定理解三角形,考查三角形的內(nèi)角和定理、兩角和的正弦公式,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

先換元,令,將原方程轉(zhuǎn)化為,利用參變分離法轉(zhuǎn)化為研究?jī)珊瘮?shù)的圖像交點(diǎn),觀察圖像,即可求出.【詳解】因?yàn)殛P(guān)于的方程在區(qū)間上恰有兩個(gè)解,令,所以方程在上只有一解,即有,直線與在的圖像有一個(gè)交點(diǎn),由圖可知,實(shí)數(shù)的取值范圍是,但是當(dāng)時(shí),還有一個(gè)根,所以此時(shí)共有3個(gè)根.綜上實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題主要考查學(xué)生運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的能力,方程有解問題轉(zhuǎn)化成兩函數(shù)的圖像有交點(diǎn)問題,是常見的轉(zhuǎn)化方式.14、【解析】

利用交集定義直接求解.【詳解】解:集合奇數(shù),偶數(shù),.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查交集的求法,考查交集定義等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

計(jì)算出角的取值范圍,結(jié)合正弦定理可求得的取值范圍.【詳解】,則,所以,,由正弦定理,.因此,的取值范圍是.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理,正弦函數(shù)圖象和性質(zhì),考查了轉(zhuǎn)化思想,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

由三個(gè)年級(jí)人數(shù)成等差數(shù)列和總?cè)藬?shù)可求得高二年級(jí)共有人,根據(jù)抽樣比可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)高一、高二、高三人數(shù)分別為,則且,解得:,用分層抽樣的方法抽取人,那么高二年級(jí)被抽取的人數(shù)為人.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查分層抽樣問題的求解,涉及到等差數(shù)列的相關(guān)知識(shí),屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)證明見解析,.【解析】

(1)根據(jù)離心率和的面積是得到方程組,計(jì)算得到答案.(2)先排除斜率為0時(shí)的情況,設(shè),,聯(lián)立方程組利用韋達(dá)定理得到,,根據(jù)化簡(jiǎn)得到,代入直線方程得到答案.【詳解】(1)由題意可得,解得,,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.(2)當(dāng)直線的斜率為0時(shí),直線與直線關(guān)于軸對(duì)稱,則直線與直線的斜率之和為零,與題設(shè)條件矛盾,故直線的斜率不為0.設(shè),,直線的方程為聯(lián)立,整理得則,.因?yàn)橹本€與直線的斜率之和為1,所以,所以,將,代入上式,整理得.所以,即,則直線的方程為.故直線恒過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線過定點(diǎn)問題,計(jì)算出是解題的關(guān)鍵,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.18、(1)(2)【解析】

(1)利用二倍角公式及三角形內(nèi)角和定理,將化簡(jiǎn)為,求出的值,結(jié)合,求出A的值;(2)寫出三角形的面積公式,由其最大值為求出.由余弦定理,結(jié)合,,求出的范圍,注意.進(jìn)而求出周長(zhǎng)的范圍.【詳解】解:(1)整理得解得或(舍去)又;(2)由題意知,又,,又周長(zhǎng)的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題考查了二倍角余弦公式,三角形面積公式,余弦定理的應(yīng)用,求三角形的周長(zhǎng)的范圍問題.屬于中檔題.19、(1)見解析(2)【解析】分析:(1)根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明平面ADE⊥平面BDEF;(2)建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量法即可求CF與平面ABCD所成角的正弦值;也可以應(yīng)用常規(guī)法,作出線面角,放在三角形當(dāng)中來求解.詳解:(Ⅰ)在△ABD中,∠ABD=30°,由AO2=AB2+BD2-2AB·BDcos30°,解得BD=,所以AB2+BD2=AB2,根據(jù)勾股定理得∠ADB=90°∴AD⊥BD.又因?yàn)镈E⊥平面ABCD,AD平面ABCD,∴AD⊥DE.又因?yàn)锽DDE=D,所以AD⊥平面BDEF,又AD平面ABCD,∴平面ADE⊥平面BDEF,(Ⅱ)方法一:如圖,由已知可得,,則,則三角形BCD為銳角為30°的等腰三角形.則.過點(diǎn)C做,交DB、AB于點(diǎn)G,H,則點(diǎn)G為點(diǎn)F在面ABCD上的投影.連接FG,則,DE⊥平面ABCD,則平面.過G做于點(diǎn)I,則BF平面,即角為二面角CBFD的平面角,則60°.則,,則.在直角梯形BDEF中,G為BD中點(diǎn),,,,設(shè),則,,則.,則,即CF與平面ABCD所成角的正弦值為.(Ⅱ)方法二:可知DA、DB、DE兩兩垂直,以D為原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz.設(shè)DE=h,則D(0,0,0),B(0,,0),C(-,-,h).,.設(shè)平面BCF的法向量為m=(x,y,z),則所以取x=,所以m=(,-1,-),取平面BDEF的法向量為n=(1,0,0),由,解得,則,又,則,設(shè)CF與平面ABCD所成角為,則sin=.故直線CF與平面ABCD所成角的正弦值為點(diǎn)睛:該題考查的是立體幾何的有關(guān)問題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有面面垂直的判定,線面角的正弦值,在求解的過程中,需要把握面面垂直的判定定理的內(nèi)容,要明白垂直關(guān)系直角的轉(zhuǎn)化,在求線面角的有關(guān)量的時(shí)候,有兩種方法,可以應(yīng)用常規(guī)法,也可以應(yīng)用向量法.20、(1);(2)【解析】

(1)消去參數(shù)方程中的參數(shù),求得的普通方程,利用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化公式,求得的直角坐標(biāo)方程.(2)求得曲線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程,代入的直角坐標(biāo)方程,寫出韋達(dá)定理,根據(jù)直線參數(shù)中參數(shù)的幾何意義,求得的值.【詳解】(1)由的參數(shù)方程(為參數(shù)),消去參數(shù)可得,由曲線的極坐標(biāo)方程為,得,所以的直角坐方程為,即.(2)因?yàn)樵谇€上,故可設(shè)曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),代入化簡(jiǎn)可得.設(shè),對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為,,則,,所以.【點(diǎn)睛】本小題主要考查參數(shù)方程化為普通方程,考查極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,考查利用利用和直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義進(jìn)行計(jì)算,屬于中檔題.21、(Ⅰ)(II)【解析】

(I)聯(lián)立直線與橢圓的方程,根據(jù)判別式等于0,即可求出結(jié)果;(Ⅱ)因點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱,可得的面積是的面積的兩倍,再由當(dāng)時(shí),的面積取到最大值,可得,進(jìn)而可得原點(diǎn)到直線的距離,再由點(diǎn)到直線的距離公式,以及(I)的結(jié)果,即可求

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