2023屆湖南省寧遠(yuǎn)、江華兩縣高考考前模擬數(shù)學(xué)試題含解析_第1頁
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文檔簡介

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號。回答非選擇題時(shí),將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知在平面直角坐標(biāo)系中,圓:與圓:交于,兩點(diǎn),若,則實(shí)數(shù)的值為()A.1 B.2 C.-1 D.-22.關(guān)于圓周率,數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過許多很有創(chuàng)意的求法,如著名的蒲豐實(shí)驗(yàn)和查理斯實(shí)驗(yàn).受其啟發(fā),某同學(xué)通過下面的隨機(jī)模擬方法來估計(jì)的值:先用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生個(gè)數(shù)對,其中,都是區(qū)間上的均勻隨機(jī)數(shù),再統(tǒng)計(jì),能與構(gòu)成銳角三角形三邊長的數(shù)對的個(gè)數(shù)﹔最后根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)來估計(jì)的值.若,則的估計(jì)值為()A. B. C. D.3.設(shè),,,則的大小關(guān)系是()A. B. C. D.4.函數(shù)的最小正周期是,則其圖象向左平移個(gè)單位長度后得到的函數(shù)的一條對稱軸是()A. B. C. D.5.已知函數(shù)的定義域?yàn)?,則函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢. B.C. D.6.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,其中正視圖是一個(gè)正三角形,則這個(gè)幾何體的體積為()A. B. C. D.7.已知向量,,=(1,),且在方向上的投影為,則等于()A.2 B.1 C. D.08.已知數(shù)列是以1為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列,是以1為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,設(shè),,則當(dāng)時(shí),的最大值是()A.8 B.9 C.10 D.119.函數(shù)在上的最大值和最小值分別為()A.,-2 B.,-9 C.-2,-9 D.2,-210.已知是空間中兩個(gè)不同的平面,是空間中兩條不同的直線,則下列說法正確的是()A.若,且,則B.若,且,則C.若,且,則D.若,且,則11.為虛數(shù)單位,則的虛部為()A. B. C. D.12.已知若在定義域上恒成立,則的取值范圍是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若滿足約束條件,則的最大值為__________.14.執(zhí)行以下語句后,打印紙上打印出的結(jié)果應(yīng)是:_____.15.設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,若,則的值是______.16.如圖所示,直角坐標(biāo)系中網(wǎng)格小正方形的邊長為1,若向量、、滿足,則實(shí)數(shù)的值為_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖1,在邊長為4的正方形中,是的中點(diǎn),是的中點(diǎn),現(xiàn)將三角形沿翻折成如圖2所示的五棱錐.(1)求證:平面;(2)若平面平面,求直線與平面所成角的正弦值.18.(12分)某商店舉行促銷反饋活動(dòng),顧客購物每滿200元,有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(即滿200元可以抽獎(jiǎng)一次,滿400元可以抽獎(jiǎng)兩次,依次類推).抽獎(jiǎng)的規(guī)則如下:在一個(gè)不透明口袋中裝有編號分別為1,2,3,4,5的5個(gè)完全相同的小球,顧客每次從口袋中摸出一個(gè)小球,共摸三次,每次摸出的小球均不放回口袋,若摸得的小球編號一次比一次大(如1,2,5),則獲得一等獎(jiǎng),獎(jiǎng)金40元;若摸得的小球編號一次比一次?。ㄈ?,3,1),則獲得二等獎(jiǎng),獎(jiǎng)金20元;其余情況獲得三等獎(jiǎng),獎(jiǎng)金10元.(1)某人抽獎(jiǎng)一次,求其獲獎(jiǎng)金額X的概率分布和數(shù)學(xué)期望;(2)趙四購物恰好滿600元,假設(shè)他不放棄每次抽獎(jiǎng)機(jī)會,求他獲得的獎(jiǎng)金恰好為60元的概率.19.(12分)如圖所示的幾何體中,,四邊形為正方形,四邊形為梯形,,,,為中點(diǎn).(1)證明:;(2)求二面角的余弦值.20.(12分)已知橢圓:過點(diǎn),過坐標(biāo)原點(diǎn)作兩條互相垂直的射線與橢圓分別交于,兩點(diǎn).(1)證明:當(dāng)取得最小值時(shí),橢圓的離心率為.(2)若橢圓的焦距為2,是否存在定圓與直線總相切?若存在,求定圓的方程;若不存在,請說明理由.21.(12分)在中,角所對的邊分別為,若,,,且.(1)求角的值;(2)求的最大值.22.(10分)已知函數(shù)(其中是自然對數(shù)的底數(shù))(1)若在R上單調(diào)遞增,求正數(shù)a的取值范圍;(2)若f(x)在處導(dǎo)數(shù)相等,證明:;(3)當(dāng)時(shí),證明:對于任意,若,則直線與曲線有唯一公共點(diǎn)(注:當(dāng)時(shí),直線與曲線的交點(diǎn)在y軸兩側(cè)).

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

由可得,O在AB的中垂線上,結(jié)合圓的性質(zhì)可知O在兩個(gè)圓心的連線上,從而可求.【詳解】因?yàn)?,所以O(shè)在AB的中垂線上,即O在兩個(gè)圓心的連線上,,,三點(diǎn)共線,所以,得,故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的性質(zhì)應(yīng)用,幾何性質(zhì)的轉(zhuǎn)化是求解的捷徑.2、B【解析】

先利用幾何概型的概率計(jì)算公式算出,能與構(gòu)成銳角三角形三邊長的概率,然后再利用隨機(jī)模擬方法得到,能與構(gòu)成銳角三角形三邊長的概率,二者概率相等即可估計(jì)出.【詳解】因?yàn)?,都是區(qū)間上的均勻隨機(jī)數(shù),所以有,,若,能與構(gòu)成銳角三角形三邊長,則,由幾何概型的概率計(jì)算公式知,所以.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查幾何概型的概率計(jì)算公式及運(yùn)用隨機(jī)數(shù)模擬法估計(jì)概率,考查學(xué)生的基本計(jì)算能力,是一個(gè)中檔題.3、A【解析】

選取中間值和,利用對數(shù)函數(shù),和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】因?yàn)閷?shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以,因?yàn)閷?shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減,所以,因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以,綜上可知,.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查利用對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小;考查邏輯思維能力和知識的綜合運(yùn)用能力;選取合適的中間值是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、??碱}型.4、D【解析】

由三角函數(shù)的周期可得,由函數(shù)圖像的變換可得,平移后得到函數(shù)解析式為,再求其對稱軸方程即可.【詳解】解:函數(shù)的最小正周期是,則函數(shù),經(jīng)過平移后得到函數(shù)解析式為,由,得,當(dāng)時(shí),.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦函數(shù)圖像的性質(zhì)及函數(shù)圖像的平移變換,屬基礎(chǔ)題.5、A【解析】試題分析:由題意,得,解得,故選A.考點(diǎn):函數(shù)的定義域.6、C【解析】

由已知中的三視圖,可知該幾何體是一個(gè)以俯視圖為底面的三棱錐,求出底面面積,代入錐體體積公式,可得答案.【詳解】由已知中的三視圖,可知該幾何體是一個(gè)以俯視圖為底面的三棱錐,其底面面積,高,故體積,故選:.【點(diǎn)睛】本題考查的知識點(diǎn)是由三視圖求幾何體的體積,解決本題的關(guān)鍵是得到該幾何體的形狀.7、B【解析】

先求出,再利用投影公式求解即可.【詳解】解:由已知得,由在方向上的投影為,得,則.故答案為:B.【點(diǎn)睛】本題考查向量的幾何意義,考查投影公式的應(yīng)用,是基礎(chǔ)題.8、B【解析】

根據(jù)題意計(jì)算,,,解不等式得到答案.【詳解】∵是以1為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列,∴.∵是以1為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,∴.∴.∵,∴,解得.則當(dāng)時(shí),的最大值是9.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列,等比數(shù)列,f分組求和,意在考查學(xué)生對于數(shù)列公式方法的靈活運(yùn)用.9、B【解析】

由函數(shù)解析式中含絕對值,所以去絕對值并畫出函數(shù)圖象,結(jié)合圖象即可求得在上的最大值和最小值.【詳解】依題意,,作出函數(shù)的圖象如下所示;由函數(shù)圖像可知,當(dāng)時(shí),有最大值,當(dāng)時(shí),有最小值.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了絕對值函數(shù)圖象的畫法,由函數(shù)圖象求函數(shù)的最值,屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】

利用線面平行和垂直的判定定理和性質(zhì)定理,對選項(xiàng)做出判斷,舉出反例排除.【詳解】解:對于,當(dāng),且,則與的位置關(guān)系不定,故錯(cuò);對于,當(dāng)時(shí),不能判定,故錯(cuò);對于,若,且,則與的位置關(guān)系不定,故錯(cuò);對于,由可得,又,則故正確.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查空間線面位置關(guān)系.判斷線面位置位置關(guān)系利用好線面平行和垂直的判定定理和性質(zhì)定理.一般可借助正方體模型,以正方體為主線直觀感知并準(zhǔn)確判斷.11、C【解析】

利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算即可.【詳解】,故虛部為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算以及復(fù)數(shù)的概念,注意復(fù)數(shù)的虛部為,不是,本題為基礎(chǔ)題,也是易錯(cuò)題.12、C【解析】

先解不等式,可得出,求出函數(shù)的值域,由題意可知,不等式在定義域上恒成立,可得出關(guān)于的不等式,即可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】,先解不等式.①當(dāng)時(shí),由,得,解得,此時(shí);②當(dāng)時(shí),由,得.所以,不等式的解集為.下面來求函數(shù)的值域.當(dāng)時(shí),,則,此時(shí);當(dāng)時(shí),,此時(shí).綜上所述,函數(shù)的值域?yàn)椋捎谠诙x域上恒成立,則不等式在定義域上恒成立,所以,,解得.因此,實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)不等式恒成立求參數(shù),同時(shí)也考查了分段函數(shù)基本性質(zhì)的應(yīng)用,考查分類討論思想的應(yīng)用,屬于中等題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、4【解析】

作出可行域如圖所示:由,解得.目標(biāo)函數(shù),即為,平移斜率為-1的直線,經(jīng)過點(diǎn)時(shí),.14、1【解析】

根據(jù)程序框圖直接計(jì)算得到答案.【詳解】程序在運(yùn)行過程中各變量的取值如下所示:是否繼續(xù)循環(huán)ix循環(huán)前14第一圈是44+2第二圈是74+2+8第三圈是104+2+8+14退出循環(huán),所以打印紙上打印出的結(jié)果應(yīng)是:1故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題考查了程序框圖,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和理解能力.15、1【解析】

由題得,解不等式得解.【詳解】因?yàn)?,所以,所以c=1.故答案為1【點(diǎn)睛】本題主要考查正態(tài)分布的圖像和性質(zhì),意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.16、【解析】

根據(jù)圖示分析出、、的坐標(biāo)表示,然后根據(jù)坐標(biāo)形式下向量的數(shù)量積為零計(jì)算出的取值.【詳解】由圖可知:,所以,又因?yàn)?,所以,所?故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)表示以及坐標(biāo)形式下向量的數(shù)量積運(yùn)算,難度較易.已知,若,則有.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析;(2).【解析】

(1)利用線面平行的定義證明即可(2)取的中點(diǎn),并分別連接,,然后,證明相應(yīng)的線面垂直關(guān)系,分別以,,為軸,軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系,利用坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行求解即可【詳解】證明:(1)在圖1中,連接.又,分別為,中點(diǎn),所以.即圖2中有.又平面,平面,所以平面.解:(2)在圖2中,取的中點(diǎn),并分別連接,.分析知,,.又平面平面,平面平面,平面,所以平面.又,所以,,.分別以,,為軸,軸,軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,所以,,.設(shè)平面的一個(gè)法向量,則,取,則,,所以.又,所以.分析知,直線與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的證明以及利用空間向量求解線面角問題,屬于基礎(chǔ)題18、(1)分布見解析,期望為;(2).【解析】

(1)先明確X的可能取值,分別求解其概率,然后寫出分布列,利用期望公式可求期望;(2)獲得的獎(jiǎng)金恰好為60元,可能是三次二等獎(jiǎng),也可能是一次一等獎(jiǎng),兩次三等獎(jiǎng),然后分別求解概率即可.【詳解】(1)由題意知,隨機(jī)變量X的可能取值為10,20,40且,,所以,即隨機(jī)變量X的概率分布為X102040P所以隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望.(2)由題意知,趙四有三次抽獎(jiǎng)機(jī)會,設(shè)恰好獲得60元為事件A,因?yàn)?0=20×3=40+10+10,所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望,明確隨機(jī)變量的所有取值是求解的第一步,再求解對應(yīng)的概率,側(cè)重考查數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).19、(1)見解析;(2)【解析】

(1)取的中點(diǎn),結(jié)合三角形中位線和長度關(guān)系,為平行四邊形,進(jìn)而得到,根據(jù)線面平行判定定理可證得結(jié)論;(2)以,,為,,軸建立空間直角坐標(biāo)系,分別求得兩面的法向量,求得法向量夾角的余弦值;根據(jù)二面角為銳角確定最終二面角的余弦值;【詳解】(1)取的中點(diǎn),連結(jié),因?yàn)闉橹悬c(diǎn),,,所以,,∴為平行四邊形,所以,又因?yàn)?,所以;?)由題及(1)易知,,兩兩垂直,所以以,,為,,軸建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,,易知面的法向量為設(shè)面的法向量為則可得所以,如圖可知二面角為銳角,所以余弦值為【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中直線與平面平行關(guān)系的證明、空間向量法求解二面角,正確求解法向量是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.20、(1)證明見解析;(2)存在,【解析】

(1)將點(diǎn)代入橢圓方程得到,結(jié)合基本不等式,求得取得最小值時(shí),進(jìn)而證得橢圓的離心率為.(2)當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),根據(jù)橢圓的對稱性,求得到直線的距離.當(dāng)直線的斜率存在時(shí),聯(lián)立直線的方程和橢圓方程,寫出韋達(dá)定理,利用,則列方程,求得的關(guān)系式,進(jìn)而求得到直線的距離.根據(jù)上述分析判斷出所求的圓存在,進(jìn)而求得定圓的方程.【詳解】(1)證明:∵橢圓經(jīng)過點(diǎn),∴,∴,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號成立,此時(shí)橢圓的離心率.(2)解:∵橢圓的焦距為2,∴,又,∴,.當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),由對稱性,設(shè),.∵,在橢圓上,∴,∴,∴到直線的距離.當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)的方程為.由,得,.設(shè),,則,.∵,∴,∴,∴,即,∴到直線的距離.綜上,到直線的距離為定值,且定值為,故存在定圓:,使得圓與直線總相切.【點(diǎn)睛】本小題主要考查點(diǎn)和橢圓的位置關(guān)系,考查基本不等式求最

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