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文檔簡介
2023年高考數(shù)學模擬試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚,將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知橢圓,直線與直線相交于點,且點在橢圓內(nèi)恒成立,則橢圓的離心率取值范圍為()A. B. C. D.2.的二項展開式中,的系數(shù)是()A.70 B.-70 C.28 D.-283.已知函數(shù),對任意的,,當時,,則下列判斷正確的是()A. B.函數(shù)在上遞增C.函數(shù)的一條對稱軸是 D.函數(shù)的一個對稱中心是4.閱讀如圖的程序框圖,運行相應的程序,則輸出的的值為()A. B. C. D.5.若,則,,,的大小關(guān)系為()A. B.C. D.6.已知函數(shù),關(guān)于的方程R)有四個相異的實數(shù)根,則的取值范圍是(
)A. B. C. D.7.年部分省市將實行“”的新高考模式,即語文、數(shù)學、英語三科必選,物理、歷史二選一,化學、生物、政治、地理四選二,若甲同學選科沒有偏好,且不受其他因素影響,則甲同學同時選擇歷史和化學的概率為A. B.C. D.8.函數(shù)的大致圖象是A. B. C. D.9.復數(shù)滿足,則復數(shù)等于()A. B. C.2 D.-210.執(zhí)行如圖的程序框圖,若輸出的結(jié)果,則輸入的值為()A. B.C.3或 D.或11.過拋物線的焦點的直線交該拋物線于,兩點,為坐標原點.若,則直線的斜率為()A. B. C. D.12.已知集合,則=A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知實數(shù)滿足,則的最小值是______________.14.圓心在曲線上的圓中,存在與直線相切且面積為的圓,則當取最大值時,該圓的標準方程為______.15.已知不等式的解集不是空集,則實數(shù)的取值范圍是;若不等式對任意實數(shù)恒成立,則實數(shù)的取值范圍是___16.在邊長為的菱形中,點在菱形所在的平面內(nèi).若,則_____.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知數(shù)列是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列,,且,,成等差數(shù)列.(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式;(Ⅱ)設(shè),為數(shù)列的前項和,記,證明:.18.(12分)已知矩陣,二階矩陣滿足.(1)求矩陣;(2)求矩陣的特征值.19.(12分)如圖,四棱錐V﹣ABCD中,底面ABCD是菱形,對角線AC與BD交于點O,VO⊥平面ABCD,E是棱VC的中點.(1)求證:VA∥平面BDE;(2)求證:平面VAC⊥平面BDE.20.(12分)的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知,.求C;若,求,的面積21.(12分)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且(1)求數(shù)列{a(2)求數(shù)列{1Sn}的前22.(10分)在一次電視節(jié)目的答題游戲中,題型為選擇題,只有“A”和“B”兩種結(jié)果,其中某選手選擇正確的概率為p,選擇錯誤的概率為q,若選擇正確則加1分,選擇錯誤則減1分,現(xiàn)記“該選手答完n道題后總得分為”.(1)當時,記,求的分布列及數(shù)學期望;(2)當,時,求且的概率.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】
先求得橢圓焦點坐標,判斷出直線過橢圓的焦點.然后判斷出,判斷出點的軌跡方程,根據(jù)恒在橢圓內(nèi)列不等式,化簡后求得離心率的取值范圍.【詳解】設(shè)是橢圓的焦點,所以.直線過點,直線過點,由于,所以,所以點的軌跡是以為直徑的圓.由于點在橢圓內(nèi)恒成立,所以橢圓的短軸大于,即,所以,所以雙曲線的離心率,所以.故選:A【點睛】本小題主要考查直線與直線的位置關(guān)系,考查動點軌跡的判斷,考查橢圓離心率的取值范圍的求法,屬于中檔題.2、A【解析】試題分析:由題意得,二項展開式的通項為,令,所以的系數(shù)是,故選A.考點:二項式定理的應用.3、D【解析】
利用輔助角公式將正弦函數(shù)化簡,然后通過題目已知條件求出函數(shù)的周期,從而得到,即可求出解析式,然后利用函數(shù)的性質(zhì)即可判斷.【詳解】,又,即,有且僅有滿足條件;又,則,,函數(shù),對于A,,故A錯誤;對于B,由,解得,故B錯誤;對于C,當時,,故C錯誤;對于D,由,故D正確.故選:D【點睛】本題考查了簡單三角恒等變換以及三角函數(shù)的性質(zhì),熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】
根據(jù)給定的程序框圖,計算前幾次的運算規(guī)律,得出運算的周期性,確定跳出循環(huán)時的n的值,進而求解的值,得到答案.【詳解】由題意,,第1次循環(huán),,滿足判斷條件;第2次循環(huán),,滿足判斷條件;第3次循環(huán),,滿足判斷條件;可得的值滿足以3項為周期的計算規(guī)律,所以當時,跳出循環(huán),此時和時的值對應的相同,即.故選:C.【點睛】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的計算與輸出問題,其中解答中認真審題,得出程序運行時的計算規(guī)律是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與計算能力.5、D【解析】因為,所以,因為,,所以,.綜上;故選D.6、A【解析】=,當時時,單調(diào)遞減,時,單調(diào)遞增,且當,當,
當時,恒成立,時,單調(diào)遞增且,方程R)有四個相異的實數(shù)根.令=則,,即.7、B【解析】
甲同學所有的選擇方案共有種,甲同學同時選擇歷史和化學后,只需在生物、政治、地理三科中再選擇一科即可,共有種選擇方案,根據(jù)古典概型的概率計算公式,可得甲同學同時選擇歷史和化學的概率,故選B.8、A【解析】
利用函數(shù)的對稱性及函數(shù)值的符號即可作出判斷.【詳解】由題意可知函數(shù)為奇函數(shù),可排除B選項;當時,,可排除D選項;當時,,當時,,即,可排除C選項,故選:A【點睛】本題考查了函數(shù)圖象的判斷,函數(shù)對稱性的應用,屬于中檔題.9、B【解析】
通過復數(shù)的模以及復數(shù)的代數(shù)形式混合運算,化簡求解即可.【詳解】復數(shù)滿足,∴,故選B.【點睛】本題主要考查復數(shù)的基本運算,復數(shù)模長的概念,屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】
根據(jù)逆運算,倒推回求x的值,根據(jù)x的范圍取舍即可得選項.【詳解】因為,所以當,解得
,所以3是輸入的x的值;當時,解得,所以是輸入的x的值,所以輸入的x的值為
或3,故選:D.【點睛】本題考查了程序框圖的簡單應用,通過結(jié)果反求輸入的值,屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】
根據(jù)拋物線的定義,結(jié)合,求出的坐標,然后求出的斜率即可.【詳解】解:拋物線的焦點,準線方程為,設(shè),則,故,此時,即.則直線的斜率.故選:D.【點睛】本題考查了拋物線的定義,直線斜率公式,屬于中檔題.12、C【解析】
本題考查集合的交集和一元二次不等式的解法,滲透了數(shù)學運算素養(yǎng).采取數(shù)軸法,利用數(shù)形結(jié)合的思想解題.【詳解】由題意得,,則.故選C.【點睛】不能領(lǐng)會交集的含義易致誤,區(qū)分交集與并集的不同,交集取公共部分,并集包括二者部分.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
先畫出不等式組對應的可行域,再利用數(shù)形結(jié)合分析解答得解.【詳解】畫出不等式組表示的可行域如圖陰影區(qū)域所示.由題得y=-3x+z,它表示斜率為-3,縱截距為z的直線系,平移直線,易知當直線經(jīng)過點時,直線的縱截距最小,目標函數(shù)取得最小值,且.故答案為:-8【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃問題,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和數(shù)形結(jié)合分析能力.14、【解析】
由題意可得圓的面積求出圓的半徑,由圓心在曲線上,設(shè)圓的圓心坐標,到直線的距離等于半徑,再由均值不等式可得的最大值時圓心的坐標,進而求出圓的標準方程.【詳解】設(shè)圓的半徑為,由題意可得,所以,由題意設(shè)圓心,由題意可得,由直線與圓相切可得,所以,而,,所以,即,解得,所以的最大值為2,當且僅當時取等號,可得,所以圓心坐標為:,半徑為,所以圓的標準方程為:.故答案為:.【點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系及均值不等式的應用,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力、運算求解能力,求解時注意驗正等號成立的條件.15、【解析】
利用絕對值的幾何意義,確定出的最小值,然后根據(jù)題意即可得到的取值范圍化簡不等式,求出的最大值,然后求出結(jié)果【詳解】的最小值為,則要使不等式的解集不是空集,則有化簡不等式有,即而當時滿足題意,解得或所以答案為【點睛】本題主要考查的是函數(shù)恒成立的問題和絕對值不等式,要注意到絕對值的幾何意義,數(shù)形結(jié)合來解答本題,注意去絕對值時的分類討論化簡16、【解析】
以菱形的中心為坐標原點建立平面直角坐標系,再設(shè),根據(jù)求出的坐標,進而求得即可.【詳解】解:連接設(shè)交于點以點為原點,分別以直線為軸,建立如圖所示的平面直角坐標系,則:設(shè)得,解得,,或,顯然得出的是定值,取則,.故答案為:.【點睛】本題主要考查了建立平面直角坐標系求解向量數(shù)量積的有關(guān)問題,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ),;(Ⅱ)見解析【解析】
(Ⅰ)由,且成等差數(shù)列,可求得q,從而可得本題答案;(Ⅱ)化簡求得,然后求得,再用裂項相消法求,即可得到本題答案.【詳解】(Ⅰ)因為數(shù)列是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列,,可設(shè)公比為q,,又成等差數(shù)列,所以,即,解得或(舍去),則,;(Ⅱ)證明:,,,則,因為,所以即.【點睛】本題主要考查等差等比數(shù)列的綜合應用,以及用裂項相消法求和并證明不等式,考查學生的運算求解能力和推理證明能力.18、(1)(2)特征值為或.【解析】
(1)先設(shè)矩陣,根據(jù),按照運算規(guī)律,即可求出矩陣.(2)令矩陣的特征多項式等于,即可求出矩陣的特征值.【詳解】解:(1)設(shè)矩陣由題意,因為,所以,即所以,(2)矩陣的特征多項式,令,解得或,所以矩陣的特征值為1或.【點睛】本題主要考查矩陣的乘法和矩陣的特征值,考查學生的劃歸與轉(zhuǎn)化能力和運算求解能力.19、(1)見解析(2)見解析【解析】
(1)連結(jié)OE,證明VA∥OE得到答案.(2)證明VO⊥BD,BD⊥AC,得到BD⊥平面VAC,得到證明.【詳解】(1)連結(jié)OE.因為底面ABCD是菱形,所以O(shè)為AC的中點,又因為E是棱VC的中點,所以VA∥OE,又因為OE?平面BDE,VA?平面BDE,所以VA∥平面BDE;(2)因為VO⊥平面ABCD,又BD?平面ABCD,所以VO⊥BD,因為底面ABCD是菱形,所以BD⊥AC,又VO∩AC=O,VO,AC?平面VAC,所以BD⊥平面VAC.又因為BD?平面BDE,所以平面VAC⊥平面BDE.【點睛】本題考查了線面平行,面面垂直,意在考查學生的推斷能力和空間想象能力.20、(1).(2).【解析】
由已知利用正弦定理,同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求,結(jié)合范圍,可求,由已知利用二倍角的余弦函數(shù)公式可得,結(jié)合范圍,可求A,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可解得C的值.由及正弦定理可得b的值,根據(jù)兩角和的正弦函數(shù)公式可求sinC的值,進而根據(jù)三角形的面積公式即可求解.【詳解】由已知可得,又由正弦定理,可得,即,,,,即,又,,或舍去,可得,.,,,由正弦定理,可得,,.【點睛】本題主要考查了正弦定理,同角三角函數(shù)基本關(guān)系式,二倍角的余弦函數(shù)公式,三角形的內(nèi)角和定理,兩角和的正弦函數(shù)公式,三角形的面積公式等知識在解三角形中的應用,考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.21、(1)an=2n【解析】
(1)先設(shè)出數(shù)列的公差為d,結(jié)合題中條件,求出首項和公差,即可得出結(jié)果.(2)利用裂項相消法求出數(shù)列的和.【詳解】解:(1)設(shè)公差為d的等差數(shù)列{an}且a1+a則有:a1解得:a1=3,所以:a(2)由于:an所以:Sn則:1S則:Tn=1【點睛】本題考查的知識要點:數(shù)列的通項公式的求法及應用,裂項相消法在數(shù)列求和中的應用,主要考查學生的運算能力和轉(zhuǎn)化能力,屬于基礎(chǔ)題型.22、(1)見解析,0(2)【解析】
(1)即該選手答完3道題后總得分,可能出現(xiàn)的情況為3道題都答對,答對2道答錯1道
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