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文檔簡介
2023年高考數(shù)學模擬試卷注意事項1.考生要認真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.若,,,則下列結(jié)論正確的是()A. B. C. D.2.已知雙曲線(,)的左、右焦點分別為,以(為坐標原點)為直徑的圓交雙曲線于兩點,若直線與圓相切,則該雙曲線的離心率為()A. B. C. D.3.有一改形塔幾何體由若千個正方體構(gòu)成,構(gòu)成方式如圖所示,上層正方體下底面的四個頂點是下層正方體上底面各邊的中點.已知最底層正方體的棱長為8,如果改形塔的最上層正方體的邊長小于1,那么該塔形中正方體的個數(shù)至少是()A.8 B.7 C.6 D.44.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為,已知,則為()A. B. C.或 D.或5.已知七人排成一排拍照,其中甲、乙、丙三人兩兩不相鄰,甲、丁兩人必須相鄰,則滿足要求的排隊方法數(shù)為().A.432 B.576 C.696 D.9606.己知集合,,則()A. B. C. D.7.已知函數(shù),若函數(shù)的所有零點依次記為,且,則()A. B. C. D.8.函數(shù)(或)的圖象大致是()A. B. C. D.9.在中,,則()A. B. C. D.10.已知函數(shù),集合,,則()A. B.C. D.11.如圖是二次函數(shù)的部分圖象,則函數(shù)的零點所在的區(qū)間是()A. B. C. D.12.已知向量,,則與共線的單位向量為()A. B.C.或 D.或二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.為激發(fā)學生團結(jié)協(xié)作,敢于拼搏,不言放棄的精神,某校高三5個班進行班級間的拔河比賽.每兩班之間只比賽1場,目前(—)班已賽了4場,(二)班已賽了3場,(三)班已賽了2場,(四)班已賽了1場.則目前(五)班已經(jīng)參加比賽的場次為__________.14.已知是拋物線的焦點,過作直線與相交于兩點,且在第一象限,若,則直線的斜率是_________.15.圓關于直線的對稱圓的方程為_____.16.經(jīng)過橢圓中心的直線與橢圓相交于、兩點(點在第一象限),過點作軸的垂線,垂足為點.設直線與橢圓的另一個交點為.則的值是________________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓:(),四點,,,中恰有三點在橢圓上.(1)求橢圓的方程;(2)設橢圓的左右頂點分別為.是橢圓上異于的動點,求的正切的最大值.18.(12分)在直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù),以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸,取相同長度單位建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.(1)求曲線的極坐標方程和曲線的普通方程;(2)設射線與曲線交于不同于極點的點,與曲線交于不同于極點的點,求線段的長.19.(12分)一年之計在于春,一日之計在于晨,春天是播種的季節(jié),是希望的開端.某種植戶對一塊地的個坑進行播種,每個坑播3粒種子,每粒種子發(fā)芽的概率均為,且每粒種子是否發(fā)芽相互獨立.對每一個坑而言,如果至少有兩粒種子發(fā)芽,則不需要進行補播種,否則要補播種.(1)當取何值時,有3個坑要補播種的概率最大?最大概率為多少?(2)當時,用表示要補播種的坑的個數(shù),求的分布列與數(shù)學期望.20.(12分)已知矩陣,求矩陣的特征值及其相應的特征向量.21.(12分)己知,,.(1)求證:;(2)若,求證:.22.(10分)運輸一批海鮮,可在汽車、火車、飛機三種運輸工具中選擇,它們的速度分別為60千米/小時、120千米/小時、600千米/小時,每千米的運費分別為20元、10元、50元.這批海鮮在運輸過程中每小時的損耗為m元(),運輸?shù)穆烦虨镾(千米).設用汽車、火車、飛機三種運輸工具運輸時各自的總費用(包括運費和損耗費)分別為(元)、(元)、(元).(1)請分別寫出、、的表達式;(2)試確定使用哪種運輸工具總費用最省.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】
根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),取得的取值范圍,即可求解,得到答案.【詳解】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),可得,即,又由,所以.故選:D.【點睛】本題主要考查了指數(shù)冪的比較大小,其中解答中熟記指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),求得的取值范圍是解答的關鍵,著重考查了計算能力,屬于基礎題.2、D【解析】
連接,可得,在中,由余弦定理得,結(jié)合雙曲線的定義,即得解.【詳解】連接,則,,所以,在中,,,故在中,由余弦定理可得.根據(jù)雙曲線的定義,得,所以雙曲線的離心率故選:D【點睛】本題考查了雙曲線的性質(zhì)及雙曲線的離心率,考查了學生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學運算的能力,屬于中檔題.3、A【解析】
則從下往上第二層正方體的棱長為:,從下往上第三層正方體的棱長為:,從下往上第四層正方體的棱長為:,以此類推,能求出改形塔的最上層正方體的邊長小于1時該塔形中正方體的個數(shù)的最小值的求法.【詳解】最底層正方體的棱長為8,則從下往上第二層正方體的棱長為:,從下往上第三層正方體的棱長為:,從下往上第四層正方體的棱長為:,從下往上第五層正方體的棱長為:,從下往上第六層正方體的棱長為:,從下往上第七層正方體的棱長為:,從下往上第八層正方體的棱長為:,∴改形塔的最上層正方體的邊長小于1,那么該塔形中正方體的個數(shù)至少是8.故選:A.【點睛】本小題主要考查正方體有關計算,屬于基礎題.4、D【解析】
由正弦定理可求得,再由角A的范圍可求得角A.【詳解】由正弦定理可知,所以,解得,又,且,所以或。故選:D.【點睛】本題主要考查正弦定理,注意角的范圍,是否有兩解的情況,屬于基礎題.5、B【解析】
先把沒有要求的3人排好,再分如下兩種情況討論:1.甲、丁兩者一起,與乙、丙都不相鄰,2.甲、丁一起與乙、丙二者之一相鄰.【詳解】首先將除甲、乙、丙、丁外的其余3人排好,共有種不同排列方式,甲、丁排在一起共有種不同方式;若甲、丁一起與乙、丙都不相鄰,插入余下三人產(chǎn)生的空檔中,共有種不同方式;若甲、丁一起與乙、丙二者之一相鄰,插入余下三人產(chǎn)生的空檔中,共有種不同方式;根據(jù)分類加法、分步乘法原理,得滿足要求的排隊方法數(shù)為種.故選:B.【點睛】本題考查排列組合的綜合應用,在分類時,要注意不重不漏的原則,本題是一道中檔題.6、C【解析】
先化簡,再求.【詳解】因為,又因為,所以,故選:C.【點睛】本題主要考查一元二次不等式的解法、集合的運算,還考查了運算求解能力,屬于基礎題.7、C【解析】
令,求出在的對稱軸,由三角函數(shù)的對稱性可得,將式子相加并整理即可求得的值.【詳解】令,得,即對稱軸為.函數(shù)周期,令,可得.則函數(shù)在上有8條對稱軸.根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可知,將以上各式相加得:故選:C.【點睛】本題考查了三角函數(shù)的對稱性,考查了三角函數(shù)的周期性,考查了等差數(shù)列求和.本題的難點是將所求的式子拆分為的形式.8、A【解析】
確定函數(shù)的奇偶性,排除兩個選項,再求時的函數(shù)值,再排除一個,得正確選項.【詳解】分析知,函數(shù)(或)為偶函數(shù),所以圖象關于軸對稱,排除B,C,當時,,排除D,故選:A.【點睛】本題考查由函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象,解題時可通過研究函數(shù)的性質(zhì),如奇偶性、單調(diào)性、對稱性等,研究特殊的函數(shù)的值、函數(shù)值的正負,以及函數(shù)值的變化趨勢,排除錯誤選項,得正確結(jié)論.9、A【解析】
先根據(jù)得到為的重心,從而,故可得,利用可得,故可計算的值.【詳解】因為所以為的重心,所以,所以,所以,因為,所以,故選A.【點睛】對于,一般地,如果為的重心,那么,反之,如果為平面上一點,且滿足,那么為的重心.10、C【解析】
分別求解不等式得到集合,再利用集合的交集定義求解即可.【詳解】,,∴.故選C.【點睛】本題主要考查了集合的基本運算,難度容易.11、B【解析】
根據(jù)二次函數(shù)圖象的對稱軸得出范圍,軸截距,求出的范圍,判斷在區(qū)間端點函數(shù)值正負,即可求出結(jié)論.【詳解】∵,結(jié)合函數(shù)的圖象可知,二次函數(shù)的對稱軸為,,,∵,所以在上單調(diào)遞增.又因為,所以函數(shù)的零點所在的區(qū)間是.故選:B.【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及函數(shù)的零點,屬于基礎題.12、D【解析】
根據(jù)題意得,設與共線的單位向量為,利用向量共線和單位向量模為1,列式求出即可得出答案.【詳解】因為,,則,所以,設與共線的單位向量為,則,解得或所以與共線的單位向量為或.故選:D.【點睛】本題考查向量的坐標運算以及共線定理和單位向量的定義.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、2【解析】
根據(jù)比賽場次,分析,畫出圖象,計算結(jié)果.【詳解】畫圖所示,可知目前(五)班已經(jīng)賽了2場.故答案為:2【點睛】本題考查推理,計數(shù)原理的圖形表示,意在考查數(shù)形結(jié)合分析問題的能力,屬于基礎題型.14、【解析】
作出準線,過作準線的垂線,利用拋物線的定義把拋物線點到焦點的距離轉(zhuǎn)化為點到準線的距離,利用平面幾何知識計算出直線的斜率.【詳解】設是準線,過作于,過作于,過作于,如圖,則,,∵,∴,∴,∴,,∴,∴直線斜率為.故答案為:.【點睛】本題考查拋物線的焦點弦問題,解題關鍵是利用拋物線的定義,把拋物線上點到焦點距離轉(zhuǎn)化為該點到準線的距離,用平面幾何方法求解.15、【解析】
求出圓心關于直線的對稱點,即可得解.【詳解】的圓心為,關于對稱點設為,則有:,解得,所以對稱后的圓心為,故所求圓的方程為.故答案為:【點睛】此題考查求圓關于直線的對稱圓方程,關鍵在于準確求出圓心關于直線的對稱點坐標.16、【解析】
作出圖形,設點,則、,設點,利用點差法得出,利用斜率公式得出,進而可得出,可得出,由此可求得的值.【詳解】設點,則、,設點,則,兩式相減得,即,即,由斜率公式得,,,故,因此,.故答案為:.【點睛】本題考查橢圓中角的余弦值的求解,涉及了點差法與斜率公式的應用,考查計算能力,屬于中等題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)【解析】
(1)分析可得必在橢圓上,不在橢圓上,代入即得解;(2)設直線PA,PB的傾斜角分別為,斜率為,可得.則,,利用均值不等式,即得解.【詳解】(1)因為關于軸對稱,所以必在橢圓上,∴不在橢圓上∴,,即.(2)設橢圓上的點(),設直線PA,PB的傾斜角分別為,斜率為又∴.,,(不妨設).故當且僅當,即時等號成立【點睛】本題考查了直線和橢圓綜合,考查了學生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學運算的能力,屬于較難題.18、(1);(2)【解析】
曲線的參數(shù)方程轉(zhuǎn)換為直角坐標方程為.再用極直互化公式求解,曲線的極坐標方程用極直互化公式轉(zhuǎn)換為直角坐標方程.射線與曲線的極坐標方程聯(lián)解求出,射線與曲線的極坐標方程聯(lián)解求出,再用得解【詳解】解:曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù),轉(zhuǎn)換為直角坐標方程為.把,代入得:曲線的極坐標方程為.轉(zhuǎn)換為直角坐標方程為.設射線與曲線交于不同于極點的點,所以,解得.與曲線交于不同于極點的點,所以,解得,所以【點睛】本題考查參數(shù)方程、極坐標方程直角坐標方程相互轉(zhuǎn)換及極坐標下利用和的幾何意義求線段的長.(1)直角坐標方程化為極坐標方程只需將直角坐標方程中的分別用,代替即可得到相應極坐標方程.參數(shù)方程化為極坐標方程必須先化成直角坐標方程再轉(zhuǎn)化為極坐標方程.(2)直接求解,能達到化繁為簡的解題目的;如果幾何關系不容易通過極坐標表示時,可以先化為直角坐標方程,將不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題加以解決.19、(1)當或時,有3個坑要補播種的概率最大,最大概率為;(2)見解析.【解析】
(1)將有3個坑需要補種表示成n的函數(shù),考查函數(shù)隨n的變化情況,即可得到n為何值時有3個坑要補播種的概率最大.(2)n=1時,X的所有可能的取值為0,1,2,3,1.分別計算出每個變量對應的概率,列出分布列,求期望即可.【詳解】(1)對一個坑而言,要補播種的概率,有3個坑要補播種的概率為.欲使最大,只需,解得,因為,所以當時,;當時,;所以當或時,有3個坑要補播種的概率最大,最大概率為.(2)由已知,的可能取值為0,1,2,3,1.,所以的分布列為01231的數(shù)學期望.【點睛】本題考查了古典概型的概率求法,離散型隨機變量的概率分布,二項分布,主要考查簡單的計算,屬于中檔題.20、矩陣屬于特征值的一個特征向量為,矩陣屬于特征值的一個特征向量為【解析】
先由矩陣特征值的定義列出特征多項式,令解方程可得特征值,再由特征值列出方程組,即可求得相應的特征向量.【詳解】由題意,矩陣的特征多項式為,令,解得,,將代入二元一次方程組,解得,所以矩陣屬于特征值的一個特征向量為;同理,矩陣屬于特征值的一個特征向量為v【點睛】本題主要考查了矩陣的特征值與特征向量的計算,其中解答中熟記矩陣的特征值和特征向量的計算方法是解答的關鍵,著重考查了推理與運算能力,屬于基礎題.21、(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】
(1)采用分析法論證,要證,分式化整式為,再利用立方和公式轉(zhuǎn)化為,再作差提取公因式論證.(2)由基本不等式得,再用不等式的基本性質(zhì)論證.【詳解】(1)要證,即證,即證,即證,即證,即證,該式顯然成立,當且僅當時等號成立,故.(2)由基本不等式得,,當且僅當時等號成立.將上面四式相加,可得
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