計(jì)算機(jī)專(zhuān)業(yè)英語(yǔ)教程

五、借用詞借用詞一般來(lái)自廠商名、商標(biāo)名、產(chǎn)品代號(hào)名、發(fā)明者名、地名等，它通過(guò)將普通公共英語(yǔ)詞匯演變成專(zhuān)業(yè)詞意而實(shí)現(xiàn)。有的則是將原來(lái)已經(jīng)有的詞匯賦予新的含義。例如：woofer低音喇叭 tweeter高音喇叭 flag標(biāo)志、狀態(tài)cache高速緩存 semaphore信號(hào)量 firewall防火墻mailbomb郵件炸彈 scratchpad高速緩存 fitfall專(zhuān)用程序入口在現(xiàn)代科技英語(yǔ)中借用了大量的公共英語(yǔ)詞匯、日常生活中的常用詞匯，而且，以西方特有的幽默和結(jié)構(gòu)講述科技內(nèi)容。這時(shí)，讀者必須在努力擴(kuò)大自己專(zhuān)業(yè)詞匯的同時(shí)，也要掌握和豐富自己的生活詞匯，并在閱讀和翻譯時(shí)正確采用適當(dāng)?shù)暮x。ComputerEnglishChapter3NumberSystemsandBooleanAlgebraKeypoints:

usefultermsanddefinitionsofNumbersystemandBooleanAlgbra

Difficultpoints:

ConversionoftheNumberSystemsandBooleanAlgbraRequirements:1.ConceptsofNumberSystemandtheirconversion2.BooleanAlgebra

3.Moore’sLaw

4.科技英語(yǔ)中數(shù)學(xué)公式的讀法

NewWords&Expressions:hexadecimaladj.十六進(jìn)制的;n.十六進(jìn)制 radixn.根,基數(shù)octaladj.八進(jìn)制的;n.八進(jìn)制 alphabetn.字母表fractionaladj.分?jǐn)?shù)的,小數(shù)的 wholenumbern.整數(shù)remaindern.余數(shù) significantfiguren.有效數(shù)字quotientn.商 algorithmn.算法complementn.補(bǔ)碼，余角 carryn.進(jìn)位3.1NumberSystems

Abbreviations:

Binary-codedhexadecimal(BCH)二進(jìn)制編碼的十六進(jìn)制Theuseofthemicroprocessorrequiresaworkingknowledgeofbinary,decimal,andhexadecimalnumberingsystems.Thissectionprovidesabackgroundforthosewhoareunfamiliarwithnumbersystems.Conversionsbetweendecimalandbinary,decimalandhexadecimal,andbinaryandhexadecimalaredescribed.3.1NumberSystems

使用微處理器需要掌握二進(jìn)制、十進(jìn)制和十六進(jìn)制數(shù)制系統(tǒng)的基本知識(shí)，本節(jié)為那些不熟悉數(shù)制系統(tǒng)的讀者提供這方面的背景知識(shí)。說(shuō)明了十進(jìn)制與二進(jìn)制之間、十進(jìn)制與十六進(jìn)制之間，及二進(jìn)制與十六進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)換。Beforenumbersareconvertedfromonenumberbasetoanother,thedigitsofanumbersystemmustbeunderstood.Earlyinoureducation,welearnedthatadecimal,orbase10,numberwasconstructedwith10digits:0through9.Thefirstdigitinanynumberingsystemisalwaysazero.Forexample,abase8(octal)numbercontains8digits:0through7;abase2(binary)numbercontains2digits:0andDigits將數(shù)從—種數(shù)制向另一種數(shù)制轉(zhuǎn)換之前，必須了解數(shù)的計(jì)數(shù)系統(tǒng)。在早期教育中，我們已學(xué)習(xí)了十進(jìn)制數(shù)，或以10為基的數(shù)，它由10個(gè)數(shù)字組成：0到9。任何計(jì)數(shù)制的第一個(gè)數(shù)字總是零，這種規(guī)則適用于任何其他數(shù)制。例如，以8為基的數(shù)(八進(jìn)制)包含8個(gè)數(shù)字：0到7，而以2為基的數(shù)(二進(jìn)制)包含2個(gè)數(shù)字：0和l。Ifthebaseofanumberexceeds10,theadditionaldigitsusethelettersofthealphabet,beginningwithanA,Forexample,abase12numbercontains12digits:0through9,followedbyAfor10andBfor11,Notethatabase10numberdoesnotcontaina10digit,justasabase8numberdoesnetcontainan8digit.Themostcommonnumberingsystemsusedwithcomputersaredecimal,binary,andhexadecimal(base16).(Manyyearsagooctalnumberswerepopular.)Eachsystemisdescribedandusedinthissectionofthechapter.3.1.1Digits如果基數(shù)大于10，其余數(shù)字用從A開(kāi)始的字母表示，例如，以12為基的數(shù)包含12個(gè)數(shù)字，0到9，之后用A代表10，B代表11。注意，以10為基的數(shù)不包含數(shù)字10，如同以8為基的數(shù)不包括數(shù)字8一樣。計(jì)算機(jī)中最通用的計(jì)數(shù)制是十進(jìn)制、二進(jìn)制、八進(jìn)制和十六進(jìn)制(基為16)。每種計(jì)數(shù)制都將在本節(jié)中進(jìn)行說(shuō)明和應(yīng)用。Oncethedigitsofanumbersystemareunderstood,largernumbersareconstructedbyusingpositionalnotation.Ingradeschool,welearnedthatthepositiontotheleftoftheunitspositionwasthetensposition,thepositiontotheleftofthetenspositionwasthehundredsposition,andsoforth.(Anexampleisthedecimalnumber132:Thisnumberhas1hundred,3tens,and2units.)Whatprobablywasnotlearnedwastheexponentialvalueofeachposition:Theunitspositionhasaweightof100or1;thetenspositionhasweightof101,or10;andthehundredspositionhasaweightof102,orPositionalNotation一旦我們理解了計(jì)數(shù)制的數(shù)字后，就可用位計(jì)數(shù)法構(gòu)造更大的數(shù)值。在小學(xué)時(shí)我們都學(xué)過(guò)個(gè)位的左邊一位是十位，十位左邊一位是百位，以此類(lèi)推(例如十進(jìn)制數(shù)132,這個(gè)數(shù)字有—個(gè)百，三個(gè)十和兩個(gè)一)?；蛟S我們沒(méi)有學(xué)過(guò)每個(gè)位的指數(shù)值：個(gè)位的權(quán)為l00，即1；十位的權(quán)為101或10；而百位的權(quán)為102或l00。Theexponentialpowersofthepositionsarecriticalforunderstandingnumbersinothernumberingsystems.Thepositiontotheleftoftheradix(numberbase)point,calledadecimalpointonlyinthedecimalsystem,isalwaystheunitspositioninanynumbersystem.Forexample,thepositiontotheleftofthebinarypointisalways20or1;thepositiontotheleftoftheoctalpointis80or1.Inanycase,anynumberraisedtoitszeropowerisalways1,ortheunitsposition.3.1.2PositionalNotation位的指數(shù)冪在理解其他計(jì)數(shù)制中的數(shù)時(shí)是個(gè)關(guān)鍵?；鶖?shù)小數(shù)點(diǎn)，在十進(jìn)制中稱(chēng)為十進(jìn)制小數(shù)點(diǎn)，其左邊的位在任何數(shù)制中都是個(gè)位。例如，二進(jìn)制小數(shù)點(diǎn)左邊的位是20或1。而八進(jìn)制小數(shù)點(diǎn)左邊的位是80或1。在任何情況下，任何數(shù)的零次冪總是1，或1個(gè)單位。Thepositiontotheleftoftheunitspositionisalwaysthenumberbaseraisedtothefirstpower;inadecimalsystem,thisisl01,orl0.Inabinarysystem,itis21,or2;andinanoctalsystemitis81,or8.Therefore,an11decimalhasadifferentvaluefroman11binary.The1ldecimaliscomposedof1tenplus1unitandhasavalueof11units;whilethebinarynumber11iscomposedof1twoplus1unit,foravalueof3decimalunits.The11octalhasavalueof9units.3.1.2PositionalNotation個(gè)位左邊的位總是基數(shù)的1次冪，在十進(jìn)制系統(tǒng)中是101，或10；在二進(jìn)制中是21，或2；而在八進(jìn)制中是81，或8。因此，十進(jìn)制的11與二進(jìn)制的11具有不同的數(shù)值。十進(jìn)制11表示—個(gè)10加上一個(gè)1，其值為11；二進(jìn)制11表示—個(gè)2加上—個(gè)1，其值為3；八進(jìn)制11的值為9。Inthedecimalsystem,positionstotherightofthedecimalpointhavenegativepowers.Thefirstdigittotherightofthedecimalpointhasavalueof10-1,or0.1.Inthebinarysystem,thefirstdigittotherightofthebinarypointhasavalueof2-1,or0.5.Ingeneral,theprinciplesthatapplytodecimalnumbersalsoapplytonumbersinanyothernumbersystem.3.1.2PositionalNotation在十進(jìn)制系統(tǒng)中，對(duì)于十進(jìn)制小數(shù)點(diǎn)右邊的位，它的冪為負(fù)數(shù)。十進(jìn)制小數(shù)點(diǎn)右邊第一位數(shù)的值為10-1，或0.1。在二進(jìn)制中,二進(jìn)制小數(shù)點(diǎn)右邊第—位數(shù)的值為2-1或0.5。一般來(lái)說(shuō)，十進(jìn)制使用的計(jì)數(shù)法可以用于任何其他數(shù)制。Example3-1showsa110.101inbinary(oftenwrittenas110.1012).Italsoshowsthepowerandweightorvalueofeachdigitposition.Toconvertabinarynumbertodecimal,addtheweightsofeachdigittoformitsdecimalequivalent.The110.1012isequivalenttoa6.625indecimal(4+2+0.5+0.125).Noticethatthisisthesumof22(or4)plus21(or2),but20(or1)isnotaddedbecausetherearenodigitsunderthisposition.Thefractionpartiscomposedof2-1(0.5)plus2-3(or.125),butthereisnodigitunderthe2-2(or.25).3.1.2PositionalNotation例3-1給出了一個(gè)二進(jìn)制數(shù)110.101(通常寫(xiě)成110.1012)，也給出了這個(gè)數(shù)每個(gè)位的冪、權(quán)和值。為了把二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制，將每位數(shù)字的權(quán)相加，就得到了它的等效十進(jìn)制值。二進(jìn)制110.101等于十進(jìn)制的6.625(4+2+0.5+0.125)。注意，這個(gè)和的整數(shù)部分是由22(4)加21(2)構(gòu)成，之所以沒(méi)有用20(1)是因?yàn)檫@個(gè)位的數(shù)為零。小數(shù)部分由2-1(0.5),加2-3(0.125)構(gòu)成，但是沒(méi)有用2-2(0.25)。Thepriorexampleshaveshownthattoconvertfromanynumberbasetodecimal,determinetheweightsorvaluesofeachpositionofthenumber,andthensumtheweightstoformthedecimalequivalent.Supposethata125.78octalisconvertedtodecimal.Toaccomplishthisconversion,firstwritedowntheweightsofeachpositionofthenumber.ThisappearsinExample3-2.Thevalueof125.78is85.875decimal,or164plus28plus51plus.3ConversiontoDecimal前面的例子說(shuō)明了將任何其他基數(shù)的數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)時(shí)，十進(jìn)制數(shù)的值取決于該數(shù)每個(gè)位上的權(quán)或值，它們的和就是等效的十進(jìn)制數(shù)值。假定要將125.78(八進(jìn)制)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制。為了完成這個(gè)轉(zhuǎn)換，首先寫(xiě)出該數(shù)每一位數(shù)的權(quán)，如例3-2所示，125.78的值是十進(jìn)制的85.875，即164+28+51+70.125。Noticethattheweightofthepositiontotheleftoftheunitspositionis8.Thisis8times1.Thennoticethattheweightofthenextpositionis64,or8times8.Ifanotherpositionexisted,itwouldbe64times8,or512.Tofindtheweightofthenexthigher-orderposition,multiplytheweightofthecurrentpositionbythenumberbase(or8,inthisexample).Tocalculatetheweightsofpositiontotherightoftheradixpoint,dividebythenumberbase.Intheoctalsystem,thepositionimmediatelytothefightoftheoctalpointis1/8,or.125.Thenextpositionis.125/8,or.015625,whichcanalsobewrittenas1/ConversiontoDecimal注意，該數(shù)個(gè)位左邊那位的權(quán)是8(18)。再前一位的權(quán)是64(88)。如果存在更前一位，則其權(quán)將是512(648)。將當(dāng)前位的權(quán)乘上基數(shù)，就可得到更高一位的權(quán)(本例中是乘8)。而計(jì)算小數(shù)點(diǎn)右邊那些位的權(quán)，需要用基數(shù)去除。在八進(jìn)制中，緊跟八進(jìn)制小數(shù)點(diǎn)右邊的那位的權(quán)是1/8，即0.125。下一位是0.125/8，即0.015625，也可以寫(xiě)成1/64。

Hexadecimalnumbersareoftenusedwithcomputers.A6A.CH(Hforhexadecimal)isillustratedwithitsweightsinExample3-3.Thesumofitsdigitsis106.75,or106.Thewholenumberpartisrepresentedwith616plus10(A)1.Thefractionpartis12(C)asanumeratorand16(16-1)asthedenominator,or12/16,whichisreducedto3/ConversiontoDecimal計(jì)算機(jī)經(jīng)常使用十六進(jìn)制。例3-2給出了一個(gè)十六進(jìn)制數(shù)6A.CH(H表示十六進(jìn)制)，以及它的權(quán)。它的各位數(shù)值之和是106.75，即106。整數(shù)部分用616加10(A)1表示；分?jǐn)?shù)部分用12(C)作為分子，16作為分母(16-1)，或表示為12/16，化簡(jiǎn)得3/4。

Conversionsfromdecimaltoothernumbersystemsaremoredifficulttoaccomplishthanconversiontodecimal.Toconvertthewholenumberportionofanumbertodecimal,dividebytheradix.Toconvertthefractionalportion,multiplybytheradix.

3.1.4ConversionFromDecimal

由十進(jìn)制轉(zhuǎn)換成其他進(jìn)制比由其他進(jìn)制轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制困難。轉(zhuǎn)換十進(jìn)制整數(shù)部分時(shí)，要用基數(shù)去除，轉(zhuǎn)換分?jǐn)?shù)部分時(shí)，要用基數(shù)去乘它們。WholeNumberConversionfromDecimal.Toconvertadecimalwholenumbertoanothernumbersystem,dividebytheradixandsavetheremaindersassignificantdigitsoftheresult.Analgorithmforthisconversionasisfollows:1.Dividethedecimalnumberbytheradix(numberbase).2.Savetheremainder(firstremainderistheleastsignificantdigit),3.Repeatsteps1and2untilthequotientiszero.3.1.4ConversionFromDecimal

轉(zhuǎn)換十進(jìn)制整數(shù)部分將十進(jìn)制整數(shù)轉(zhuǎn)換成其他數(shù)制時(shí)，要用基數(shù)去除，并且保存余數(shù)，作為結(jié)果的有效數(shù)字。這種轉(zhuǎn)換的算法如下：1.用基數(shù)除十進(jìn)制數(shù)。2.保存余數(shù)(最先得到的余數(shù)是最低有效位數(shù)字)。3.重復(fù)步驟l和2，直到商為零。ConvertingfromaDecimalFraction.Conversionfromdecimalfractiontoanothernumberbaseisaccomplishedwithmultiplicationbytheradix.Forexample,toconvertadecimalfractionintobinary,multiplyby2.Afterthemultiplication,thewholenumberportionoftheresultissavedasasignificantdigitoftheresult,andthefractionalremainderisagainmultipliedbytheradix.Whenthefractionremainderiszero,multiplicationends.Notethatsomenumbersarenever-ending.Thatis,azeroisneveraremainder.Analgorithmforconversionfromadecimalfractionisasfollows3.1.4ConversionFromDecimal

轉(zhuǎn)換十進(jìn)制小數(shù)部分轉(zhuǎn)換10進(jìn)制小數(shù)部分是用基數(shù)乘來(lái)完成的。例如，要將十進(jìn)制小數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制，要用2乘。乘法之后，乘積的整數(shù)部分保存起來(lái)作為結(jié)果的一個(gè)有效位，剩余的小數(shù)再用基數(shù)2去乘。當(dāng)剩余的小數(shù)部分為0時(shí)，乘法結(jié)束。有些數(shù)可能永遠(yuǎn)不會(huì)結(jié)束，即余數(shù)總不為0。轉(zhuǎn)換十進(jìn)制小數(shù)部分的算法如下：1.Multiplythedecimalfractionbytheradix(numberbase).2.Savethewholenumberportionoftheresult(evenifzero)asadigit.Notethatthefirstresultiswrittenimmediatelytothefightoftheradixpoint.3.Repeatsteps1and2,usingthefractionalpartofstep2untilthefractionalpartofstep2iszero.3.1.4ConversionFromDecimal

1.用基數(shù)乘十進(jìn)制小數(shù)。2.保存結(jié)果的整數(shù)部分（即使是零）作為一位數(shù)。注意，第一個(gè)得到的結(jié)果寫(xiě)在緊挨著小數(shù)點(diǎn)的右邊。3.用步驟2的小數(shù)部分重復(fù)步驟l和2，直到步驟2的小數(shù)部分是零。Binary-codedhexadecimal(BCH)isusedtorepresenthexadecimaldatainbinarycode.Abinary-codedhexadecimalnumberisahexadecimalnumberwrittensothateachdigitisrepresentedbya4-bitbinarynumber.ThevaluesfortheBCHdigitsappearinTable3--1.HexadecimalnumbersarerepresentedinBCHcodebyconvertingeachdigittoBCHcode,withaspacebetweeneachcodeddigit.3.1.5Binary-CodedHexadecimal

二進(jìn)制編碼的十六進(jìn)制(BCH)是用二進(jìn)制編碼表示的十六進(jìn)制數(shù)據(jù)，二進(jìn)制編碼的十六進(jìn)制數(shù)是將十六進(jìn)制數(shù)的每一位都用4位二進(jìn)制數(shù)表示。表3-1給出了BCH數(shù)的值。用BCH表示十六進(jìn)制數(shù)時(shí)，將每個(gè)十六進(jìn)制數(shù)字都轉(zhuǎn)換成BCH碼，并且每個(gè)數(shù)位之間用空格分開(kāi)。

ThepurposeofBCHcodeistoallowabinaryversionofahexadecimalnumbertobewritteninaformthatcaneasilybeconvertedbetweenBCHandhexadecimal.Example3-8showsaBCHcodednumberconvertedbacktohexadecimalcode.

3.1.5Binary-CodedHexadecimal

BCH碼的目的在于能將十六進(jìn)制數(shù)以二進(jìn)制的形式寫(xiě)出，使BCH與十六進(jìn)制之間轉(zhuǎn)換很容易。例3-8表示如何將BCH代碼數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為十六進(jìn)制碼。Attimes,dataarestoredincomplementformtorepresentnegativenumbers.Therearetwosystemsthatareusedtorepresentnegativedata:radixandradix-1complements.Theearliestsystemwastheradix-1complement,inwhicheachdigitofthenumberissubtractedfromtheradix-1togeneratetheradix-1complementtorepresentanegativenumber.

3.1.6Complements

有時(shí)，數(shù)據(jù)以補(bǔ)碼的形式存儲(chǔ)，以便表示負(fù)數(shù)。有兩種表示負(fù)數(shù)的方式：補(bǔ)碼和反碼(基數(shù)減l的補(bǔ))，最早的方式是反碼。為了得到負(fù)數(shù)的反碼表示，用基數(shù)-1減去該數(shù)的每一個(gè)數(shù)位上的數(shù)字。Example3-9showshowthe8-bitbinarynumber01001100isone's(radix-1)complementedtorepresentitasanegativevalue.Noticethateachdigitofthenumberissubtractedfromonetogeneratetheradix-1(one's)complement.Inthisexample,thenegativeof01001100is10110011.Thesametechniquecanbeappliedtoanynumbersystem,asillustratedinExample3-10,inwhichthefifteen's(radix-l)complementofa5CDhexadecimaliscomputedbysubtractingeachdigitfromafifteen.3.1.6Complements

例3-9表示了如何將8位二進(jìn)制數(shù)01001100對(duì)l取補(bǔ)(基數(shù)減1的補(bǔ))，以便表示成—個(gè)負(fù)數(shù)。注意，用1減去該數(shù)的每一位數(shù)字，以便生成反碼。在此例中，01001100的負(fù)數(shù)是10110011。同樣的技術(shù)可適用于任何數(shù)制。如例3-10所示，十六進(jìn)制數(shù)5CD的反碼是從15(基-1)中減去它的每一位數(shù)字得到的。

Today,theradix-1complementisnotusedbyitself;itisusedasastepforfindingtheradixcomplement.Theradixcomplementisusedtorepresentnegativenumbersinmoderncomputersystems.(Theradix-1complementwasusedintheearlydaysofcomputertechnology.)Themainproblemwiththeradix-1complementisthatanegativeorapositivezeroexists;intheradixcomplementsystem,onlyapositivezerocanexist.

3.1.6Complements

如今，反碼已不單獨(dú)使用，而作為求補(bǔ)碼的一個(gè)步驟使用，補(bǔ)碼是當(dāng)代計(jì)算機(jī)系統(tǒng)表示負(fù)數(shù)的方法(反碼用于早期的計(jì)算技術(shù)中)。反碼的主要問(wèn)題是它存在負(fù)零或者正零，而補(bǔ)碼系統(tǒng)中只能存在正零。Toformtheradixcomplement,firstfindtheradix-1complement,andthenaddaonetotheresult.Example3-11showshowthenumber01001000isconvertedtoanegativevaluebytwo's(radix)complementingit.

3.1.6Complements

為得到補(bǔ)碼，先求反碼，然后將1加到結(jié)果上。例3-11表示了如何通過(guò)對(duì)2(基為2)取補(bǔ)的方式，將數(shù)01001000轉(zhuǎn)換成負(fù)數(shù)。Toprovethata01001000istheinverse(negative)ofa10110111,addthetwotogethertoforman8-digitresult.Theninthdigitisdroppedandtheresultiszerobecausea0l00100isapositive72,whilea10110111isanegative72.Thesametechniqueappliedtoanynumbersystem.Example3-12showshowtheinverseofa345hexadecimalisfoundbyfirstfifteen'scomplementingthenumber,andthenbyaddingonetotheresulttoformthesixteen’scomplement.Asbefore,iftheoriginal3-digitnumber345isaddedtotheinverseofCBB,theresultisa3-digit000.Asbefore,thefourthbit(carry)isdropped.Thisprovesthat345istheinverseofCBB.3.1.6Complements

為驗(yàn)證01001000是10111000的反(負(fù)數(shù))，將兩者相加得到一個(gè)8位結(jié)果。去掉第9位數(shù)字，結(jié)果是零。因?yàn)?1001000是正數(shù)72，而10110111是負(fù)數(shù)72。同樣的枝術(shù)可用于任何數(shù)制。例3-12表示如何求十六進(jìn)制數(shù)345的負(fù)數(shù)，首先求該數(shù)15的補(bǔ)，然后將1加到結(jié)果上，得到16的補(bǔ)，同前面類(lèi)似，如把原來(lái)的3位數(shù)345加上其負(fù)數(shù)CBB，則結(jié)果是3位000，第4位(進(jìn)位)被丟掉。這證明了345是CBB的反。TheconceptofaBooleanalgebrawasfirstproposedbytheEnglishmathematicianGeorgeBoolein1847.Sincethattime,Boole’soriginalconceptionhasbeenextensivelydevelopedandrefinedbyalgebraistsandlogicians.TherelationshipsamongBooleanalgebra,setalgebra,logic,andbinaryarithmetichavegivenBooleanalgebrasacentralroleinthedevelopmentofelectronicdigitalcomputers.

3.2BooleanAlgebra

布爾代數(shù)的概念最初是由英國(guó)數(shù)學(xué)家GeorgeBoole于1847年提出來(lái)的，從那時(shí)起，代數(shù)學(xué)家和邏輯學(xué)家們更廣泛地發(fā)展了Boole最初的概念，并使之更加精練。由于布爾代數(shù)、集合代數(shù)、邏輯學(xué)和二進(jìn)制算術(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，使得布爾代數(shù)的理論在電子計(jì)算機(jī)的發(fā)展中起到舉足輕重的作用。ThemostintuitivedevelopmentofBooleanalgebrasarisesfromtheconceptofasetalgebra.LetS