理論力學(xué)011理力-動量定理

第十章動量定理1動力學(xué)實際上的問題是：

1、聯(lián)立求解微分方程(尤其是積分問題)非常困難。

2、大量的問題中，不需要了解每一個質(zhì)點的運動，僅需要研究質(zhì)點系整體的運動情況。動力學(xué)普遍定理概述對質(zhì)點動力學(xué)問題：建立質(zhì)點運動微分方程求解。對質(zhì)點系動力學(xué)問題：理論上講，n個質(zhì)點列出3n個微分方程，聯(lián)立求解它們即可。

從本章起，將要講述解答動力學(xué)問題的其它方法，而首先要討論的是動力學(xué)普遍定理（包括動量定理、動量矩定理、動能定理及由此推導(dǎo)出來的其它一些定理）。2動力學(xué)

它們以簡明的數(shù)學(xué)形式，表明兩種量

——一種是同運動特征相關(guān)的量(動量、動量矩、動能等)，一種是同力相關(guān)的量(沖量、力矩、功等)——之間的關(guān)系，從不同側(cè)面對物體的機械運動進行深入的研究。在一定條件下，用這些定理來解答動力學(xué)問題非常方便簡捷。本章中研究質(zhì)點和質(zhì)點系的動量定理，建立了動量的改變與力的沖量之間的關(guān)系，并研究質(zhì)點系動量定理的另一重要形式——質(zhì)心運動定理。3§10–1質(zhì)點系的質(zhì)心·內(nèi)力與外力§10–2動量與沖量§10–3動量定理§10–4質(zhì)心運動定理第十章動量定理動力學(xué)4一.質(zhì)點系的質(zhì)心

質(zhì)點系的質(zhì)量中心稱為質(zhì)心。是表征質(zhì)點系質(zhì)量分布情況的一個重要概念。動力學(xué)§10-1質(zhì)點系的質(zhì)心內(nèi)力與外力質(zhì)心C點的位置：5

在均勻重力場中，質(zhì)點系的質(zhì)心與重心的位置重合?？刹捎渺o力學(xué)中確定重心的各種方法來確定質(zhì)心的位置。但是，質(zhì)心與重心是兩個不同的概念，質(zhì)心比重心具有更加廣泛的力學(xué)意義。動力學(xué)內(nèi)力：所考察的質(zhì)點系內(nèi)各質(zhì)點之間相互作用的力。對整個質(zhì)點系來講，內(nèi)力系的主矢恒等于零，內(nèi)力系對任一點（或軸）的主矩恒等于零。即：二、質(zhì)點系的內(nèi)力與外力外力：所考察的質(zhì)點系以外的物體作用于該質(zhì)點系中各質(zhì)點的力。6動力學(xué)§10-2動量與沖量

一、動量

1.質(zhì)點的動量：質(zhì)點的質(zhì)量與速度的乘積mv稱為質(zhì)點的動量。是瞬時矢量，方向與v相同。單位是kgm/s。動量是度量物體機械運動強弱程度的一個物理量。例如：槍彈：速度大，質(zhì)量小；船：速度小，質(zhì)量大。7

2.質(zhì)點系的動量：質(zhì)點系中所有各質(zhì)點的動量的矢量和。動力學(xué)質(zhì)點系的質(zhì)量與其質(zhì)心速度的乘積就等于質(zhì)點系的動量。則：

3.剛體系統(tǒng)的動量：設(shè)第i個剛體 則整個系統(tǒng)：8解:曲柄OA：滑塊B：連桿AB：（P為速度瞬心）

動力學(xué)[例１]

曲柄連桿機構(gòu)的曲柄OA以勻轉(zhuǎn)動，設(shè)OA=AB=l，曲柄OA及連桿AB都是勻質(zhì)桿，質(zhì)量各為m，滑塊B的質(zhì)量也為m。求當(dāng)=45o時系統(tǒng)的動量。9動力學(xué)系統(tǒng)的動量為102．力是變矢量：（包括大小和方向的變化）

元沖量：

沖量：1．力是常矢量：動力學(xué)二．沖量

力與其作用時間的乘積稱為力的沖量，沖量表示力在其作用時間內(nèi)對物體作用的累積效應(yīng)的度量。例如，推動車子時，較大的力作用較短的時間，與較小的力作用較長的時間，可得到同樣的總效應(yīng)。11動力學(xué)

3．合力的沖量：等于各分力沖量的矢量和．沖量的單位：與動量單位同。12§10-3動量定理一．質(zhì)點的動量定理質(zhì)點的動量對時間的導(dǎo)數(shù)等于作用于質(zhì)點的力（在某一時間間隔內(nèi)，動量的增量等于力在該時間內(nèi)的沖量）動力學(xué)—質(zhì)點的動量定理①微分形式：（動量的微分等于力的元沖量）②積分形式：13③投影形式：④質(zhì)點的動量守恒若，則常矢量，質(zhì)點作慣性運動若，則常量，質(zhì)點沿x軸的運動是慣性運動二．質(zhì)點系的動量定理

質(zhì)點系的動量定理動力學(xué)對整個質(zhì)點系：對質(zhì)點系內(nèi)任一質(zhì)點i，14質(zhì)點系動量對時間的導(dǎo)數(shù)等于作用在質(zhì)點系上所有外力的矢量和。質(zhì)點系動量的微分等于作用在質(zhì)點系上所有外力元沖量的矢量和。

在某一時間間隔內(nèi)，質(zhì)點系動量的改變量等于作用在質(zhì)點系上的所有外力在同一時間間隔內(nèi)的沖量的矢量和。②積分形式)(12eiIKK?=-動力學(xué)①eiKieIdtF?微分形式

)()(dd==?15

③投影形式：?=)(eixxFdtdK?=)(eiyyFdtdK?=)(eizzFdtdK??ò==-21)()(12tteixexxdtFSixKK??ò==-21)()(12tteiyeyydtFSiyKK??ò==-21)()(12tteizezzdtFSizKK動力學(xué)④質(zhì)點系的動量守恒若則常矢量。若則常量。

只有外力才能改變質(zhì)點系的動量，內(nèi)力不能改變整個質(zhì)點系的動量，但可以引起系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點動量的傳遞。16動力學(xué)[例2]設(shè)作用在活塞上的合力為F，按規(guī)律變化，其中為活塞的質(zhì)量為，。已知，活塞的速度m/s，方向沿水平向右。試求s時活塞的速度。解以活塞為研究對象。已知作用在活塞上的合力F隨時間的變化規(guī)律及，欲求，故采用積分形式的動量定理。取坐標(biāo)軸Ox向右為正，根據(jù)公式，有在給定條件下，(a)(b)17動力學(xué)將式(b)及代入式(a)，得解得

m/s[例3]有一質(zhì)量kg的郵包從傳送帶上以速度m/s沿斜面落入一郵車內(nèi)，如圖所示。已知郵車的質(zhì)量kg，原處于靜止，不計車與地面間的摩擦，求郵包落入車內(nèi)后車的速度。18動力學(xué)解

將郵包及郵車分別視為兩質(zhì)點，組成一質(zhì)點系。因作用于質(zhì)點系上的外力在軸上投影的代數(shù)和等于零，即，故質(zhì)點系的動量在軸上的投影應(yīng)保持不變，即

解得

m/s19動力學(xué)[例4]如圖所示物塊，重量各為(W1>W2)，掛在繩子兩端，繩子繞在重量為W的均質(zhì)滑輪上，設(shè)下降時其加速度為。求支座對滑輪的約束反力。解兩物塊和滑輪組成一質(zhì)點系。作用于質(zhì)點系上的外力有重力和支座對滑輪的約束反力。設(shè)M1下降時，其速度為，應(yīng)用質(zhì)點系的動量定理微分形式，在坐標(biāo)軸上有：20其中質(zhì)點系的動量及作用于質(zhì)點系上的外力分別為代入上式得解得

動力學(xué)21

[例5]質(zhì)量為M的大三角形柱體，放于光滑水平面上，斜面上另放一質(zhì)量為m的小三角形柱體，求小三角形柱體滑到底時，大三角形柱體的位移。動力學(xué)解：選兩物體組成的系統(tǒng)為研究對象。受力分析，水平方向常量。由水平方向動量守恒及初始靜止；則設(shè)大三角塊速度，小三角塊相對大三角塊速度為，則小三角塊運動分析，22運動分析，設(shè)經(jīng)過ｔ時間后，流體AB運動到位置ab，

[例6]流體流過彎管時，在截面A和B處的平均流速分別為求流體對彎管產(chǎn)生的動壓力(附加動壓力)。設(shè)流體不可壓縮，流量Q(m3/s)為常量，密度為(kg/m3）。動力學(xué)解：取截面A與B之間的流體作為研究的質(zhì)點系。受力分析如圖示。由質(zhì)點系動量定理；得23靜反力，動反力

計算時，常采用投影形式與相反的力就是管壁上受到的流體作用的動壓力。動力學(xué)即24§10-4質(zhì)心運動定理將代入到質(zhì)點系動量定理，得若質(zhì)點系質(zhì)量不變，則或動力學(xué)

上式稱為質(zhì)心運動定理（或質(zhì)心運動微分方程）。質(zhì)點系的質(zhì)量與加速度的乘積，等于作用于質(zhì)點系上所有外力的矢量和（外力系的主矢）。1.投影形式：①②25

3.質(zhì)心運動定理是動量定理的另一種表現(xiàn)形式，與質(zhì)點運動微分方程形式相似。對于任意一個質(zhì)點系，無論它作什么形式的運動，質(zhì)點系質(zhì)心的運動可以看成為一個質(zhì)點的運動，并設(shè)想把整個質(zhì)點系的質(zhì)量都集中在質(zhì)心這個點上，所有外力也集中作用在質(zhì)心這個點上。動力學(xué)2.剛體系統(tǒng)：設(shè)第i個剛體mi，vCi，則有或26

4.質(zhì)心運動守恒定律

①若，則常矢量，質(zhì)心作勻速直線運動；若開始時系統(tǒng)靜止，即則常矢量,質(zhì)心位置守恒。②若則常量，質(zhì)心沿x方向速度不變；若存在則常量，質(zhì)心在x軸的位置坐標(biāo)保持不變。

5．質(zhì)心運動定理可求解兩類動力學(xué)問題：

①已知質(zhì)點系質(zhì)心的運動,求作用于質(zhì)點系的外力(包括約束反力)。②已知作用于質(zhì)點系的外力，求質(zhì)心的運動規(guī)律。

只有外力才能改變質(zhì)點系質(zhì)心的運動,內(nèi)力不能改變質(zhì)心的運動，但可以改變系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點的運動。動力學(xué)27解:取整個電動機作為質(zhì)點系研究，分析受力，受力圖如圖示。運動分析：定子質(zhì)心加速度a1=0，轉(zhuǎn)子質(zhì)心O2的加速度a2=e2，方向指向O1。動力學(xué)

[例7]

電動機的外殼固定在水平基礎(chǔ)上，定子的質(zhì)量為m1,轉(zhuǎn)子質(zhì)量為m2,轉(zhuǎn)子的軸通過定子的質(zhì)心O1,但由于制造誤差,轉(zhuǎn)子的質(zhì)心O2到O1的距離為e。求轉(zhuǎn)子以角速度作勻速轉(zhuǎn)動時，基礎(chǔ)作用在電動機底座上的約束反力。28根據(jù)質(zhì)心運動定理，有可見，由于偏心引起的動反力是隨時間而變化的周期函數(shù)。動力學(xué)a1=0，a2=e229

解：取起重船，起重桿和重物組成的質(zhì)點系為研究對象。動力學(xué)

[例8]