連續(xù)系統(tǒng)振動(dòng)(b)-梁的彎曲振動(dòng)

2023年2月6日《振動(dòng)力學(xué)》1一維波動(dòng)方程梁的彎曲振動(dòng)集中質(zhì)量法假設(shè)模態(tài)法模態(tài)綜合法有限元法機(jī)械振動(dòng)理論連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)2023年2月6日《振動(dòng)力學(xué)》2梁的彎曲振動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程細(xì)長(zhǎng)梁的橫向彎曲振動(dòng)梁各截面的中心慣性軸在同一平面xoy內(nèi)外載荷作用在該平面內(nèi)在低頻振動(dòng)時(shí)可以忽略剪切變形以及截面繞中性軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響梁在該平面作橫向振動(dòng)（微振）,這時(shí)梁的主要變形是彎曲變形歐拉－伯努利梁（Bernoulli-EulerBeam）

f(x,t):單位長(zhǎng)度梁上分布的外力m(x,t):單位長(zhǎng)度梁上分布的外力矩梁參數(shù)：I截面對(duì)中性軸的慣性積

單位體積梁的質(zhì)量S梁橫截面積E彈性模量外部力：假設(shè)：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)2023年2月6日《振動(dòng)力學(xué)》3f(x,t):單位長(zhǎng)度梁上分布的外力

m(x,t):單位長(zhǎng)度梁上分布的外力矩微段受力分析令：y(x,t):

距原點(diǎn)x

處的截面在t

時(shí)刻的橫向位移

截面上的剪力和彎矩微段的慣性力微段所受的外力微段所受的外力矩連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)2023年2月6日《振動(dòng)力學(xué)》4力平衡方程：以右截面上任一點(diǎn)為矩心，力矩平衡：略去高階小量得：材料力學(xué)的等截面假設(shè)，彎矩與撓度的關(guān)系：變截面梁的動(dòng)力學(xué)方程：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)5變截面梁的動(dòng)力學(xué)方程：等截面梁的動(dòng)力學(xué)方程：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)2023年2月6日《振動(dòng)力學(xué)》6固有頻率和模態(tài)函數(shù)變截面梁：討論梁的自由振動(dòng)根據(jù)對(duì)桿縱向振動(dòng)的分析，梁的主振動(dòng)可假設(shè)為：代入自由振動(dòng)方程：等截面梁：通解：和可通過(guò)梁的邊界條件確定

連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)2023年2月6日《振動(dòng)力學(xué)》7等截面梁：主振動(dòng)：第i階主振動(dòng)：

無(wú)窮多個(gè)和由系統(tǒng)的初始條件確定

系統(tǒng)的自由振動(dòng)是無(wú)窮多個(gè)主振動(dòng)的疊加：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)2023年2月6日《振動(dòng)力學(xué)》8常見(jiàn)的約束狀況與邊界條件（1）固定端撓度和截面轉(zhuǎn)角為零（2）簡(jiǎn)支端撓度和彎矩為零（3）自由端彎矩和剪力為零連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)2023年2月6日《振動(dòng)力學(xué)》9例：求懸臂梁固有頻率和模態(tài)函數(shù)解：一端固定，一端自由邊界條件固定端：撓度和截面轉(zhuǎn)角為零自由端：彎矩和截面剪力為零非零解條件：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)2023年2月6日《振動(dòng)力學(xué)》10頻率方程當(dāng)

i=1,2,3時(shí)當(dāng)

時(shí)各階固有頻率：對(duì)應(yīng)的各階模態(tài)函數(shù)：簡(jiǎn)化連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)2023年2月6日《振動(dòng)力學(xué)》11鉛垂梁的前三階模態(tài)形狀第一階模態(tài)第二階模態(tài)第三階模態(tài)一個(gè)節(jié)點(diǎn)兩個(gè)節(jié)點(diǎn)無(wú)節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)位置連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)2023年2月6日《振動(dòng)力學(xué)》12例：簡(jiǎn)支梁固有頻率和模態(tài)函數(shù)解：一端固定鉸，一端滑動(dòng)鉸固定鉸：撓度和截面彎矩為零滑動(dòng)鉸：撓度和截面彎矩為零頻率方程：固有頻率：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)2023年2月6日《振動(dòng)力學(xué)》13頻率方程：固有頻率：模態(tài)函數(shù)：第一階模態(tài)第二階模態(tài)第三階模態(tài)第四階模態(tài)模態(tài)形狀節(jié)點(diǎn)位置無(wú)節(jié)點(diǎn)一個(gè)節(jié)點(diǎn)兩個(gè)節(jié)點(diǎn)三個(gè)節(jié)點(diǎn)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)2023年2月6日《振動(dòng)力學(xué)》14例：兩端自由梁的固有頻率和模態(tài)函數(shù)背景：導(dǎo)彈飛行系統(tǒng)類別：半正定系統(tǒng)存在剛體模態(tài)導(dǎo)彈飛行1導(dǎo)彈飛行2連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)2023年2月6日《振動(dòng)力學(xué)》15頻率方程：模態(tài)函數(shù)：當(dāng)

i=1,2,3時(shí)解得：當(dāng)

時(shí)自由端：彎矩和截面剪力為零當(dāng)

時(shí)對(duì)應(yīng)剛體模態(tài)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)2023年2月6日《振動(dòng)力學(xué)》16第二階模態(tài)第三階模態(tài)第四階模態(tài)第五階模態(tài)自由梁的模態(tài)形狀連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)2023年2月6日《振動(dòng)力學(xué)》17例：試用數(shù)值確定一根一端固定另一端簡(jiǎn)支的梁的頻率方程，并且繪出第一階模態(tài)和第二階模態(tài)的撓度曲線。連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)2023年2月6日《振動(dòng)力學(xué)》18解：梁的自由振動(dòng)方程：邊界條件固定端：自由端：模態(tài)函數(shù)：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)2023年2月6日《振動(dòng)力學(xué)》19連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)2023年2月6日《振動(dòng)力學(xué)》20非零解條件：頻率方程：求得：對(duì)應(yīng)的各階模態(tài)函數(shù)：代入：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)2023年2月6日《振動(dòng)力學(xué)》21第一階模態(tài)：第二階模態(tài)：0.560連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)2023年2月6日《振動(dòng)力學(xué)》22例：懸臂梁一端固定，另一端有彈性支撐邊界條件固定端：撓度和截面轉(zhuǎn)角為零彈性支撐端：剪力、彎矩分別與直線彈簧反力、卷簧反力矩相等彈簧二：直線彈簧與撓度成正比彈簧一：卷簧與截面轉(zhuǎn)角成正比彎矩平衡條件：剪力平衡條件：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)2023年2月6日《振動(dòng)力學(xué)》23固定端：彈性支撐端：由固定端條件解得：由彈性支撐固定端條件解得：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)2023年2月6日《振動(dòng)力學(xué)》24或非零解條件導(dǎo)出頻率方程：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)2023年2月6日《振動(dòng)力學(xué)》25（1）若k1、k2

同時(shí)為零，則退化為懸臂梁的情形討論：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)2023年2月6日《振動(dòng)力學(xué)》26（2）若k1＝0、k2無(wú)窮大，則退化為一端固定另一端簡(jiǎn)支的情形討論：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)2023年2月6日《振動(dòng)力學(xué)》27例：懸臂梁自由端附有質(zhì)量求頻率方程解：固定端：自由端：彎矩為零，剪力與質(zhì)量慣性力平衡利用同上述算例相同的方法，得頻率方程：其中：為集中質(zhì)量與梁質(zhì)量之比為梁質(zhì)量連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)2023年2月6日《振動(dòng)力學(xué)》28說(shuō)明：以上分析中沒(méi)有考慮剪切變形和截面轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響，因此以上有關(guān)梁的分析只適用于細(xì)長(zhǎng)梁（梁的長(zhǎng)度大于梁高度5倍以上）若梁為非細(xì)長(zhǎng)梁，必須考慮剪切變形和截面轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響鐵木辛柯梁（Timoshenkobeam）考慮剪切變形使得梁的剛度降低，考慮轉(zhuǎn)動(dòng)慣量使得梁的慣性增加，這兩個(gè)因素都會(huì)使梁的固有頻率降低連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)2023年2月6日《振動(dòng)力學(xué)》29模態(tài)函數(shù)的正交性等截面梁：變截面梁自由振動(dòng)方程：主振動(dòng)：代入，得：設(shè)：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)2023年2月6日《振動(dòng)力學(xué)》30（1）（2）(1)式兩邊乘并沿梁長(zhǎng)

積分：分部積分：在梁的簡(jiǎn)單邊界上，總有撓度或剪力中的一個(gè)與轉(zhuǎn)角或彎矩中的一個(gè)同時(shí)為零

(3)代入（3）式：同理，(2)式兩邊乘并沿梁長(zhǎng)積分：相減：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)2023年2月6日《振動(dòng)力學(xué)》31時(shí)，主振型關(guān)于質(zhì)量的正交性

主振型關(guān)于剛度的正交性

i=j恒成立第j

階主質(zhì)量第j

階主剛度第j

階固有頻率連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)2023年2月6日《振動(dòng)力學(xué)》32第j

階主質(zhì)量第j

階主剛度第j

階固有頻率時(shí)時(shí)主振型中的常數(shù)按歸一化條件確定：正則振型正則振型的正交性：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)2023年2月6日《振動(dòng)力學(xué)》33梁橫向振動(dòng)的強(qiáng)迫響應(yīng)方程：令：代入：兩邊乘并沿梁長(zhǎng)積分：由正交性條件：第j

個(gè)正則坐標(biāo)方程第j

個(gè)正則坐標(biāo)的廣義力由分部積分：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)2023年2月6日《振動(dòng)力學(xué)》34梁初始條件的處理兩式乘并沿梁長(zhǎng)積分，由正交性條件：

第j

個(gè)正則坐標(biāo)方程：第j

個(gè)正則模態(tài)響應(yīng)：得到后，即可得到梁的響應(yīng)連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)2023年2月6日《振動(dòng)力學(xué)》35如果作用在梁上的載荷不是分布力矩，而是集中力和集中力矩利用函數(shù):

連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)2023年2月6日《振動(dòng)力學(xué)》36中點(diǎn)受常力P作用產(chǎn)生靜變形例：簡(jiǎn)支梁求：當(dāng)P突然移出時(shí)梁的響應(yīng)解：由材力得初始條件:

梁中點(diǎn)的靜撓度連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)2023年2月6日《振動(dòng)力學(xué)》37梁兩端簡(jiǎn)支固有頻率：振型函數(shù)：歸一化條件：模態(tài)初始條件：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)2023年2月6日《振動(dòng)力學(xué)》38模態(tài)初始條件：沒(méi)有激振力，正則廣義力為零正則廣義力模態(tài)響應(yīng)：梁響應(yīng)：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)2023年2月6日《振動(dòng)力學(xué)》39例：簡(jiǎn)支梁求：梁的響應(yīng)中點(diǎn)受力矩

作用連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)2023年2月6日《振動(dòng)力學(xué)》40解：由上例知：固有頻率：振型函數(shù)：正則廣義力：第i

個(gè)正則方程：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)2023年2月6日《振動(dòng)力學(xué)》41例：懸臂梁自由端作用有正弦力求穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng)，以及梁自由端的響應(yīng)。連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)2023年2月6日《振動(dòng)力學(xué)》42解：強(qiáng)迫振動(dòng)方程：模態(tài)函數(shù)：設(shè)解為：代入方程：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)2023年2月6日《振動(dòng)力學(xué)》43利用正則模態(tài)正交性條件：兩邊乘并沿梁長(zhǎng)對(duì)x

積分：模態(tài)穩(wěn)態(tài)解：梁的響應(yīng)：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)2023年2月6日《振動(dòng)力學(xué)》44梁自由端的響應(yīng)令x=l：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)2023年2月6日《振動(dòng)力學(xué)》45例：簡(jiǎn)支梁，左端承受正弦支撐運(yùn)動(dòng)試求梁的響應(yīng)。連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)2023年2月6日《振動(dòng)力學(xué)》46解：振動(dòng)方程解釋：微段分析力平衡方程連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)2023年2月6日《振動(dòng)力學(xué)》47以右截面上任一點(diǎn)為矩心，力矩平衡：略去高階小量：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)2023年2月6日《振動(dòng)力學(xué)》48材料力學(xué)的等截面假設(shè)，彎矩與撓度的關(guān)系：梁的振動(dòng)方程：連續(xù)系統(tǒng)的振動(dòng)/梁的彎曲振動(dòng)2023