高聯(lián)基礎(chǔ)-2講義-3函數(shù)的基本性質(zhì)_第1頁(yè)
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高中數(shù)學(xué)自修講3-函數(shù)的基本性質(zhì)考點(diǎn)1:函數(shù)的概念及函數(shù)的表示【考點(diǎn)精講】函數(shù)的定義A、Bf,使對(duì)對(duì)應(yīng),那么就稱(chēng)f:A→B為集合A到集合B的一個(gè)函數(shù),記作函數(shù)的三要素函數(shù)的定義域、值域、對(duì)應(yīng)關(guān)系,符號(hào)表示為f:A→B,A為定y=f(x)的內(nèi)涵f(x兩個(gè)函數(shù)相等【典例精析】例題 下列對(duì)應(yīng)是從集合M到集合N的函數(shù)的是 1A.

xB.M=R,N=R+(正實(shí)數(shù)組成的集合)f:x→y=C.D.思路導(dǎo)航:本題主要考查函數(shù)的定義A.對(duì)于M中的元素-1,N中沒(méi)有元素與之對(duì)應(yīng),故該對(duì)應(yīng)不是從M到NB.M中任意值為負(fù)數(shù)的元素,Nf:M→N不是函.與之對(duì)應(yīng),故f:x→y2=x不是從MN的函數(shù)。答案:例題 下列四組函數(shù)中,有相同圖象的一組是 A.

(x

B.

x1

xx2x2C.y=2,y=x2 D.思路導(dǎo)航:Ay=x-1

(x1)2=|x-1|的對(duì)應(yīng)法則不同;B.

x1的定義域?yàn)椋?,+∞,y=

x的定義域?yàn)椋?,+∞),兩函數(shù)的定義xD.y=1的定義域?yàn)镽,y=x0的定義域?yàn)椋ǎ蓿?)∪(0,+∞,2x2Cy=2答案:

x22是兩相等的函數(shù),所以圖象相同點(diǎn)評(píng):1.定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系、值域分別相同的函數(shù)有相同的圖象,三要素中只要有一項(xiàng)2.判斷對(duì)應(yīng)法則是否相同,可以化簡(jiǎn)以后再判斷,但是必須通過(guò)原函數(shù)解析式求函數(shù)的定3RABCD的形狀,AB是⊙O的直徑CD的端點(diǎn)在圓周上,梯形周y是否是腰長(zhǎng)x的函數(shù)?如思路導(dǎo)航:判定兩個(gè)變量是否構(gòu)成函數(shù),關(guān)鍵看兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系是否滿足函義yx示周長(zhǎng)的關(guān)系式,應(yīng)知等腰梯形各邊長(zhǎng),已知下底長(zhǎng)為2R,兩腰長(zhǎng)為2x,因此只需用已知(R)x如上圖,AB=2R,C、D在⊙O的半圓周上AD=BC=xDE⊥AE,垂足E,連結(jié)BD,那么∠ADB是直角,由此Rt△ADE∽R(shí)t△ABD。 ∴AD=AE·AB,即 x∴CD=AB-2AE=2R R∴周長(zhǎng)y滿足關(guān)系

即周長(zhǎng)y和腰長(zhǎng)x間的函數(shù)關(guān)系式 +2x+4RR

x∵ABCD是圓內(nèi)接梯形,∴AD>0,AE>0,CD>0,即

解不等式組,得

R}22x函數(shù)關(guān)系式為y=R

,y的定義域?yàn)?/p>

R}點(diǎn)評(píng):該題是實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題,解題過(guò)程是從實(shí)際問(wèn)題出發(fā),利用函數(shù)概念的內(nèi)涵,判斷是問(wèn)題的實(shí)際意義作出回答。這個(gè)過(guò)程實(shí)際上就是建立數(shù)學(xué)模型的最簡(jiǎn)單的情形?!究偨Y(jié)提升】【考點(diǎn)精講】

考點(diǎn)2:函數(shù)的單調(diào)性圖 設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮。如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)D上的任意兩個(gè)自變量的值x1、x2,當(dāng)x1<x2時(shí),都有(x1)<f(x2),那么就說(shuō)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮。如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)D上的任意兩個(gè)自變量的值x1、x2,當(dāng)x1<x2時(shí),都有(x1)>f(x2),那么就說(shuō)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間如果一個(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間M上是增函數(shù)或是減函數(shù),【典例精析】例題 利用單調(diào)性定義證明:函數(shù)

x1在其定義域內(nèi)是增函證明:證法一:函數(shù)

x1x∈[1,+∞,任x1、+∞)且x1<x2,則

x21

x1(x21 x11)(x21) x11) x2 。x21 x1 x21 x1∵x1、x2∈[1,∞,且

x21

x11>0,x2-x1>0∴f(x1)<f(x2,即函數(shù)x

x1在其定義域上是增函證法二:函數(shù) 的定義域是x∈[1,+∞,任取x1、x2∈[1,+∞)且<x2,

f(x1f(x2

x1x21

x1x21∵x1、x2∈[1,+∞,且x1<x2,∴0≤x1-1<x2-1∴0≤x11<1

x1<1?!遞(x >0,∴f(x)<f(x1x

x22x2

∴函數(shù)

x1在其定義域[1,+∞)上是增函數(shù)。點(diǎn)評(píng):x的取值必須是連續(xù)的。用定義當(dāng)函數(shù)在給定區(qū)間或恒負(fù)時(shí),也常用“作商判1”的方法來(lái)解決,特別是函數(shù)中含例題 f(x)是定義在(0,+∞)上的增函數(shù),且求f(1)

)=yf(6)1f(x+3

1)<2x思路導(dǎo)航:(1)賦值法,在等式中令x=y=1,則f(1)=0(2)在等式中令x=36,y=6,

f( f(36)f(6),f(362f(62。f(x3f+∞)上為增函數(shù)

1)x

f(36),即fx(x+3)]<f(36又f(x)在x3153153故不等式等價(jià)于

0x 2答案:(1) (2)0x153153點(diǎn)評(píng):對(duì)于這種抽象函數(shù)問(wèn)題,常利用賦值法解題例題 作出函數(shù)單調(diào)區(qū)間

x22x1

x22x1的圖象, 函數(shù)f(x)式,因此可先去掉根號(hào),轉(zhuǎn)化成分段函數(shù)的形式,再作圖寫(xiě)出單調(diào)區(qū)間。原函數(shù)可化

x22x1

x22x1=|x+1|+|x-1|=

x1xx答案:函數(shù)的圖象如圖所所以函數(shù)的遞減區(qū)間是(∞,-1],函數(shù)的遞增區(qū)間是[1+∞點(diǎn)評(píng):若所給的函數(shù)解析式較為復(fù)雜,可先化簡(jiǎn)函數(shù)解析式,作出草圖,再根據(jù)函數(shù)的定義域和圖象的直觀性寫(xiě)出單調(diào)區(qū)去絕對(duì)值的關(guān)鍵是令每一個(gè)絕對(duì)值等于0,找到分再討論去絕對(duì)值?!究偨Y(jié)提升】【考點(diǎn)精講】

考點(diǎn)3:函數(shù)的奇偶性性定偶函圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng);ff(-x)=f(x奇函必過(guò)原點(diǎn),即f(0)=0。ff(-x)=-f(x注意在公共定義域內(nèi)奇函數(shù)與奇函數(shù)之積是偶函數(shù)奇函數(shù)與偶函數(shù)之積是奇函數(shù)偶函數(shù)與偶函數(shù)之積是偶函數(shù)奇函數(shù)與奇函數(shù)的和(差)是奇函數(shù)偶函數(shù)與偶函數(shù)的和(差)是偶函數(shù)【典例精析】例題1 已知f(x)是偶函數(shù),且在(0,+∞)上是減函數(shù),判斷f(x)在(-∞,0)思路導(dǎo)航:利用函數(shù)奇偶性及圖象特征比較容易對(duì)函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行判斷,但是證明單調(diào)性答案:f(x)在(-∞,0)上是增函數(shù)。證明如下:x1<x2<0,-x1>-x2>0,∴f(-x1)<f(-x2由于f(x)是偶函數(shù),因此f(-x1)=f(x1,f(-x2)=f(x∴f(x1)<f(x2,即f(x)在(-∞,0)上是增函數(shù)點(diǎn)評(píng):利用函數(shù)的奇偶性研究關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)區(qū)間上的問(wèn)題,需特別注意求解哪個(gè)區(qū)間的問(wèn)題。例題 若f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x<0時(shí),f(x)=x(1-x,求當(dāng)時(shí),函數(shù)f(x)的解析式思路導(dǎo)航:x<0f(x)的解析式轉(zhuǎn)化到x>0的區(qū)間上,這是解決本題的關(guān)鍵。(x=-f()-(-x[1-(-x]x(1+;當(dāng)x=0時(shí),f(0)=-f(0即f(0)=0∴當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=x(1+x答案:x≥0相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式,最后要綜合得出在定義域內(nèi)總有f(-x)=f(x)或f(-x=-f(x,例題 設(shè)f(x)在R上是偶函數(shù),在區(qū)間(-∞,0)上遞增,且有(3a2-2a+1a的取值范由f(x)在R上是偶函數(shù),在區(qū)間(-∞,0)上遞增知f(x)在(0,+∞)∵2a2+a+1=2(a+1)2+7>0,3a2-2a+1=3(a-1)2+2 (222+1)<(32-2+1a2-3a<0。解得0<a<3點(diǎn)評(píng):該例題在求解過(guò)程中,要注意利用偶函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性,一側(cè)遞增,一側(cè)遞減【總結(jié)提升】復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)與構(gòu)成它的函數(shù)的性質(zhì)密切相關(guān),其規(guī)律可列表如下函y=f[g(x]若函

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