2022-2023學(xué)年北京市昌平區(qū)高二年級上冊學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年北京市昌平區(qū)高二上學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知直線，則直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】將直線方程化成斜截式，可得直線的斜率，再根據(jù)斜率和傾斜角的關(guān)系即可得答案.【詳解】解：因?yàn)橹本€，化成斜截式為，所以直線的斜率，設(shè)直線的傾斜角為，則有，又因?yàn)?，所?故選：D2．已知，且，則（

）A． B．2 C． D．8【答案】B【分析】先利用向量平行充要條件求得，進(jìn)而求得的值.【詳解】，且，則，解之得，則故選：B3．橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程判斷其焦點(diǎn)位置并求得，從而得解.【詳解】因?yàn)闄E圓，所以橢圓焦點(diǎn)落在軸上，，所以，則，所以橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，即.故選：C.4．已知正方體，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先用空間向量的減法表示，然后再用空間向量的加法表示.【詳解】在正方體中，，則，又點(diǎn)是的中點(diǎn)，則，所以.故選：D.5．在的展開式中，的系數(shù)為（

）A． B． C．90 D．270【答案】C【分析】利用二項(xiàng)展開式通項(xiàng)即可求得的系數(shù)【詳解】的展開式的通項(xiàng)令，則，則的系數(shù)為故選：C6．設(shè)是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】C【分析】利用長方體模型舉反例排除A，B，D，再證明C正確即可.【詳解】作長方體，對于選項(xiàng)A，取平面為平面，平面為平面，直線為直線，直線為直線，則，但直線異面，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)B，取平面為平面，平面為平面，直線為直線，直線為直線，則，但直線不垂直，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D，取平面為平面，平面為平面，直線為直線，直線為直線，則，但平面垂直，選項(xiàng)D錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C，如圖過直線作平面與平面相交，且，因?yàn)?，，，所以，又，所以，因?yàn)椋?，所以，又，所以，選項(xiàng)C正確.故選：C.7．“”是“雙曲線的漸近線方程為”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】雙曲線漸近線方程為，再結(jié)合充分條件和必要條件的定義判斷即可.【詳解】若，則，則漸近線方程為；若漸近線方程為，則，則，故“”是“雙曲線的漸近線方程為”的充分而不必要條件，故選：A.8．已知直線與曲線有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)曲線方程可得曲線為橢圓的上半部分包括軸上的部分，由直線經(jīng)過定點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】將得，故曲線為橢圓的上半部分包括軸上的部分，經(jīng)過定點(diǎn),曲線與軸的交點(diǎn)為,，當(dāng)直線與曲線有公共點(diǎn)時(shí)，則或，即或，故選：D9．某社區(qū)征集志愿者參加為期5天的“垃圾分類，全民行動(dòng)”的宣傳活動(dòng)，要求志愿者每人只參加一天且每天至多安排一人.現(xiàn)有甲?乙?丙3人報(bào)名，甲要求安排在乙?丙的前面參加活動(dòng)，那么不同的安排方法共有（

）A．18種 B．20種 C．24種 D．30種【答案】B【分析】根據(jù)組合以及分步乘法計(jì)數(shù)原理即可求解.【詳解】根據(jù)題意可知：需要從5天中選擇3天分別安排甲乙丙3名志愿者，且甲在乙丙的前面，第一步：從5天中選擇3天，共有種選擇，第二步：將甲乙丙按照“甲乙丙”或者“甲丙乙”的順序安排在已選好的3天中，共有2種選擇，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理得：不同的安排方法共有，故選：B10．已知正四棱錐的八條棱長均為是四邊形及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合.設(shè)集合，則表示的區(qū)域的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意，相當(dāng)于求出以為球心，3為半徑的球與底面的截面圓的半徑后，即可求區(qū)域的面積.【詳解】解：設(shè)頂點(diǎn)在底面上的投影為，連接，則為正方形的中心，如圖，且，故.因?yàn)楫?dāng)時(shí)，故，故的軌跡為以為圓心，1為半徑的圓上以及圓內(nèi)，而正方形內(nèi)切圓的圓心為，半徑為，故的軌跡在正方形內(nèi)部，故其面積為.故選：B.二、填空題11．已知直線.若，則實(shí)數(shù)__________.【答案】6【分析】根據(jù)兩直線一般式中垂直滿足的關(guān)系即可求解.【詳解】由于，所以，解得故答案為：612．從0，2中選一個(gè)數(shù)字，從1，3，5中選兩個(gè)數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有__________個(gè)．（用數(shù)字作答）【答案】12【分析】由分步乘法計(jì)數(shù)原理結(jié)合排列組合直接求解即可．【詳解】根據(jù)題意，要使組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)為偶數(shù)，則從0，2中選一個(gè)數(shù)字為個(gè)位數(shù)，有2種可能，從1，3，5中選兩個(gè)數(shù)字為十位數(shù)和百位數(shù)，有種可能，故這個(gè)無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)為偶數(shù)的個(gè)數(shù)為．故答案為：12．13．若，則__________.（用數(shù)字作答）【答案】40【分析】利用賦值法求解.【詳解】解：由，令，得，令，得，兩式聯(lián)立得，故答案為：4014．?dāng)?shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美?寓意美好的曲線，曲線就是其中之一（如圖）.給出下列四個(gè)結(jié)論：①曲線有且僅有四條對稱軸；②曲線上任意兩點(diǎn)之間的距離的最大值為6；③曲線恰好經(jīng)過8個(gè)整點(diǎn)（即橫坐標(biāo)?縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）；④曲線所圍成的區(qū)域的面積大于16.其中所有正確結(jié)論的序號是__________.【答案】①③④【分析】設(shè)點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，分別求出點(diǎn)關(guān)于軸、軸、直線、直線對稱的點(diǎn)，檢驗(yàn)是否滿足方程可得有四條對稱軸.再由圖象知，沒有其他的對稱軸即可判斷①正確；根據(jù)基本不等式可得，即有，所以曲線上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，進(jìn)而可判斷②錯(cuò)誤；分別令，，，可得到8個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而說明當(dāng)時(shí)，不存在這樣的點(diǎn)，即可判斷③正確；易知曲線的范圍大于以，，，，，，，這8個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的正方形，又正方形的面積為16，即可得到④正確.【詳解】對于①：設(shè)點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，則有成立.顯然點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)也滿足該式成立，所以軸、軸、直線、直線都是曲線的對稱軸.由圖象易得，曲線沒有其他的對稱軸，故①正確；對于②：因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立.所以有，則，所以有，即曲線上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離.又曲線的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，所以曲線上任意兩點(diǎn)之間的距離的最大值為，故②錯(cuò)誤；對于③：令，則，解得，可得點(diǎn)，；令，則，顯然無整數(shù)解；令，則，解得或，可得點(diǎn)，，，，，；當(dāng)，，此時(shí)將看做關(guān)于的方程，此時(shí).因?yàn)?，所以，則，方程無解.綜上所述，曲線恰好經(jīng)過8個(gè)整點(diǎn).故③正確；對于④：顯然由，，，，，，，這8個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的正方形在曲線的內(nèi)部.正方形的邊長為4，面積為16.所以曲線所圍成的區(qū)域的面積大于16.故④正確.故答案為：①③④.三、雙空題15．在三棱錐中，底面，則異面直線與所成角的大小為__________；點(diǎn)到平面的距離為__________.【答案】

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【分析】以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出與所成角，根據(jù)點(diǎn)面距離的空間向量法即可求解.【詳解】在三棱錐中，底面，，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則,，，設(shè)異面直線與所成角為，則,由于，所以，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，所以點(diǎn)到平面的距離為故答案為：，16．已知雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，離心率為，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為__________；其焦距為__________.【答案】

【分析】先分類討論雙曲線的焦點(diǎn)在軸或是在軸上，再由題意求出的值，從而得出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其焦距.【詳解】當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，可設(shè)雙曲線為：，離心率為，則，，，又因?yàn)殡p曲線經(jīng)過點(diǎn)，則有，聯(lián)立方程，解得，不符合題意；當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，可設(shè)雙曲線為：，離心率為，則，，，又因?yàn)殡p曲線經(jīng)過點(diǎn)，則有，聯(lián)立方程，解得，，則，所以，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，焦距為：.故答案為：,.四、解答題17．已知圓的圓心坐標(biāo)為，且經(jīng)過點(diǎn).(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若過點(diǎn)作圓的切線與軸交于點(diǎn)，求直線的方程及的面積.【答案】(1)(2)；【分析】（1）利用待定系數(shù)法設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，代入即可求解.（2）首先利用點(diǎn)斜式設(shè)出直線方程，再利用直線與圓相切的條件求出斜率，即可得到直線方程，再結(jié)合三角形為直角，即可求解面積.【詳解】（1）有題意可知，設(shè)圓的方程為，又因?yàn)樵趫A上，則，則，故圓的方程為.（2）由題意知，直線的斜率存在，則設(shè)直線方程為，即，因?yàn)橹本€與圓相切，則圓心到直線的距離，解得，則直線方程為.則點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)題意知，為直角三角形，其中，而，所以的面積為.18．如圖,在三棱柱中,平面.(1)求證:平面;(2)求直線與平面所成角的大小.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】(1)先說明為正方形,即,再證明平面,即,根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明;(2)根據(jù)(1)中結(jié)論平面,則直線與平面所成角即為,在正方形求出該角即可.【詳解】（1）證明:平面,平面,,,平行四邊形為正方形,,平面,平面,,,平面,平面,平面,平面,,平面,平面,平面得證;（2）記與交點(diǎn)為,由(1)知平面,所以平面,故直線與平面所成角為,由(1)知平行四邊形為正方形,,故直線與平面所成角為.19．已知拋物線經(jīng)過點(diǎn).(1)求拋物線的方程及其準(zhǔn)線方程；(2)設(shè)，直線與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn).若是以為底邊的等腰三角形，求證：直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn).【答案】(1),(2)證明見解析【分析】(1)應(yīng)用點(diǎn)在拋物線上即可求出,即可求出拋物線的方程及其準(zhǔn)線方程;(2)直線方程和拋物線聯(lián)立方程組,再把等腰三角形轉(zhuǎn)化為斜率關(guān)系,列式計(jì)算即可求出,進(jìn)而得證.【詳解】（1）因?yàn)閽佄锞€經(jīng)過點(diǎn),所以,所以拋物線的方程為,準(zhǔn)線方程為;（2）設(shè),中點(diǎn)聯(lián)立方程組,可得,即可得，即，,則，所以，因?yàn)槭且詾榈走叺牡妊切?所以,即可得，又因?yàn)?,,則,即得所以所以，經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn).20．如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，平面，點(diǎn)在棱上，且平面.(1)求證：是棱的中點(diǎn)；(2)再從條件①?條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求：（i）二面角的余弦值；（ii）在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.條件①：；條件②：.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】(1)證明見解析(2)（i）；（ii）不存在點(diǎn)，理由見解析【分析】（1）連結(jié)，交于，連結(jié)，又線面平行的性質(zhì)可推導(dǎo)出，由此能證明結(jié)論；（2）由已知分析，選擇條件①：，或選擇條件②：，均可得為正三角形，取中點(diǎn)，連接，建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解二面角的余弦值及驗(yàn)證是否存在點(diǎn)，使得平面即可.【詳解】（1）證明：連接交于，連接則是平面與平面的交線，平面，平面，．又底面為平行四邊形，則是的中點(diǎn)，是棱的中點(diǎn)，（2）解：因?yàn)榈酌鏋槠叫兴倪呅?，又，則底面為菱形，選擇條件①：，或選擇條件②：，均可得為正三角形.取中點(diǎn)，連接，則，即又平面，平面，所以，如圖以為原點(diǎn)，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，（i）由于平面，則時(shí)平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的法向量為，又，所以，令得，則，由圖可知二面角為銳角，所以二面角的余弦值為；（ii）若在棱上否存在點(diǎn)，設(shè)，則，且，所以，則，若平面，則，所以，此方程無解，故在棱上不存在點(diǎn)，使得平面.21．已知橢圓的離心率為，其左?右頂點(diǎn)分別為，過點(diǎn)作與軸不重合的直線交橢圓于點(diǎn)（點(diǎn)在軸的上方）.(1)求橢圓的方程；(2)若線段的長等于，求直線的方程；(3)設(shè)直線的斜率分別為，試判斷是否為定值？若是定值，求出這個(gè)定值，并加以證明；若不是定值，說明理由.【答案】(1)(2)或(3)為定值，理由見解析.【分析】（1）根據(jù)橢圓離心率公式，代入計(jì)算，