2022-2023學年上海市上海中學高一年級上冊學期期末練習數(shù)學試題【含答案】

2022-2023學年上海市上海中學高一上學期期末練習數(shù)學試題一、填空題1．函數(shù)（）的反函數(shù)為______.【答案】【分析】按定義直接求即可.【詳解】∵，則，故，故反函數(shù)為故答案為：.2．函數(shù)的值域為______．【答案】【分析】利用常數(shù)分離的方法得到，然后利用變量的取值范圍進行求解即可．【詳解】由，又，則，則，所以，故函數(shù)的值域為．故答案為：．3．方程的解是________．【答案】【分析】根據(jù)對數(shù)真數(shù)大于零和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可直接構造不等式組求得結果.【詳解】由得：，即，解得：.故答案為：.4．若函數(shù)則________.【答案】【分析】由函數(shù)的定義得出在時，函數(shù)具有的周期性，利用周期性求函數(shù)值．【詳解】當x>0時，f(x)=f(x－1)－f(x－2)，①∴f(x＋1)=f(x)－f(x－1)，②①＋②得，f(x＋1)=－f(x－2)，∴時，f(x)的周期為6，∴f(2023)=f(337×6＋1)=f(1)=f(0)－f(－1)=20－21=－1.故答案為：．5．函數(shù)的遞增區(qū)間是_________【答案】【分析】先求出定義域，在定義域內(nèi)判斷函數(shù)的單調(diào)性．【詳解】由題意，則或，易知在是遞減，在上遞增，而是增函數(shù)．∴函數(shù)的遞增區(qū)間是．故答案為：【點睛】本題考查對數(shù)型復合函數(shù)的單調(diào)性，掌握對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)是解題關鍵．6．冪函數(shù)的圖像與兩條坐標軸均沒有公共點，則實數(shù)的取值集合是______.【答案】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義及性質(zhì)列方程與不等式求解即可得實數(shù)的取值集合.【詳解】解：因為冪函數(shù)，所以，解得或，冪函數(shù)的圖像與兩條坐標軸均沒有公共點，所以，即，所以或均符合題意，則實數(shù)的取值集合是.故答案為：.7．不等式的解為______.【答案】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)確定冪函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性即可解不等式.【詳解】解：冪函數(shù)的定義域為，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，則為偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減，則由不等式可得，平方后整理得，即，解得，則不等式的解集為.故答案為：.8．已知函數(shù)，，若存在常數(shù)，對任意，存在唯一的，使得，則稱常數(shù)是函數(shù)在上的“倍幾何平均數(shù)”.已知函數(shù)，，則在上的“倍幾何平均數(shù)”是______.【答案】【分析】由“倍幾何平均數(shù)”的定義可知即為函數(shù)，最大值與最小值的幾何平均數(shù)，根據(jù)函數(shù)在上的單調(diào)性，即可求得在上的“倍幾何平均數(shù)”.【詳解】解：由已知中倍幾何平均數(shù)的定義可得即為函數(shù)，最大值與最小值的幾何平均數(shù)又函數(shù)，在為減函數(shù)故其最大值，最小值故.故答案為：.9．定義在上的函數(shù)的反函數(shù)為，若為奇函數(shù)，則的解為______.【答案】##0.9375【分析】由奇函數(shù)的定義，當時，，代入已知解析式，即可得到所求的解析式，再由互為反函數(shù)的兩函數(shù)的自變量和函數(shù)值相反，即可得到所求值．【詳解】解：若為奇函數(shù)，可得當時，，即有，由為奇函數(shù)，可得，則，，由定義在上的函數(shù)的反函數(shù)為，且，可由，可得的解為．故答案為：．10．已知函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是______.【答案】【分析】首項確定函數(shù)的定義域為，然后可得，觀察可得，故不等式可轉換為；再利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、函數(shù)定義證明可判斷在上的單調(diào)性，故不等式解，即，解不等式可得實數(shù)的取值范圍.【詳解】解：因為，定義域滿足，解得，所以，故，所以，則不等式，轉化為，即，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，且設，所以又，因為，所以，所以，由于函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以由函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)可得在上單調(diào)遞增，故，可得，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.11．若函數(shù)有零點，則其所有零點的集合為______.（用列舉法表示）.【答案】【分析】注意到.令，結合時，偶函數(shù)均在上單調(diào)遞增可得答案.【詳解】注意到，令，得或.令，注意到均為偶函數(shù)，.又時，函數(shù)與函數(shù)在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，故在上有唯一零點，得，.則所有零點的集合為.故答案為：.12．已知定義在R上的奇函數(shù)滿足：，且當時，，若對于任意，都有，則實數(shù)的取值范圍為______.【答案】【分析】先由題給條件求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間對稱軸對稱中心，進而將轉化為關于實數(shù)的不等式組，解之即可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】定義在R上的奇函數(shù)滿足，則，則，又由可得，，則函數(shù)的最小正周期為4，由，可得函數(shù)有對稱軸，當時，，單調(diào)遞增，由奇函數(shù)圖像關于原點對稱可得，當時，，單調(diào)遞增，則函數(shù)在單調(diào)遞增，又函數(shù)有對稱軸，則函數(shù)在單調(diào)遞減，又在內(nèi)，由，即，可得，又函數(shù)有對稱軸，則時，，則在內(nèi)，由，可得，令，，由任意，都有，又，則的值域是的子集，①當，即時，在單調(diào)遞減，則，則，不等式組無解，不符合題意；②當，即時，在時取最小值，在時取最大值，則則，則，解之得；③當，即時，在時取最小值，在時取最大值，則則，則，解之得；④當，即時，在單調(diào)遞增，則，則，解之得，綜上，實數(shù)的取值范圍為故答案為：【點睛】分類討論思想是高中數(shù)學一項重要的考查內(nèi)容.分類討論思想要求在不能用統(tǒng)一的方法解決問題的時候，將問題劃分成不同的模塊，通過分塊來實現(xiàn)問題的求解，體現(xiàn)了對數(shù)學問題的分析處理能力和解決能力.二、單選題13．下列進口車的車標經(jīng)過旋轉后可以看成函數(shù)圖像的是（

）.A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)自變量與因變量一對一或多對一的特征判斷.【詳解】函數(shù)圖像滿足：自變量在它的允許范圍內(nèi)取定一個值時，在圖像上都有唯一確定的點與它對應.選項D的進口車的車標經(jīng)過旋轉后可以看成函數(shù)圖像，其它三個選項都不滿足條件.故選：D14．設方程的兩根為，（），則（

）.A．， B．，C． D．【答案】C【分析】對AB，令，由零點存在定理判斷；對CD，由根的方程得，結合根的范圍可得及其符號，即可得的范圍.【詳解】由題意得，，由得，令，，，，對AB，由得，故AB錯；對CD，由得，由得，∴，故C對D錯.故選：C15．設函數(shù)，的定義域分別為、，且.若對任意的，都有，則稱為在上的一個“延拓函數(shù)”.已知函數(shù)（），若為在上一個延拓函數(shù)，且是偶函數(shù)，則函數(shù)的解析式是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由題意函數(shù)，為在上一個延拓函數(shù)，求出，然后利用偶函數(shù)推出函數(shù)的解析式．【詳解】解：，為在上的一個延拓函數(shù)，則當時，，因為是偶函數(shù)當時，，綜上．故選：B．16．是定義在區(qū)間上的奇函數(shù)，其圖象如圖所示：令，則下列關于函數(shù)的敘述正確的是（

）A．若，則函數(shù)的圖象關于原點對稱B．若，，則方程有大于2的實根C．若，，則方程有兩個實根D．若，，則方程有三個實根【答案】B【分析】A.取，判斷；B.由，仍是奇函數(shù)，2仍是它的一個零點，再由上下平移判斷；C.取，判斷；D.取，判斷.【詳解】A.若，，則函數(shù)不是奇函數(shù)，其圖象不可能關于原點對稱，故錯誤；B.當時，仍是奇函數(shù)，2仍是它的一個零點，但單調(diào)性與相反，若再加b，，則圖象又向下平移個單位長度，所以有大于2的實根，故正確；C.若，，則，其圖象由的圖象向上平移2個單位長度，那么只有1個零點，所以只有1個實根，故錯誤；D.若，，則的圖象由的圖象向下平移3個單位長度，它只有1個零點，即只有一個實根，故錯誤.故選：B.三、解答題17．（1）求函數(shù)的值域；（2）求函數(shù)的值域.【答案】（1）；（2）【分析】（1）函數(shù)化成，結合均值不等式分別判斷、的最值，從而得出值域.（2）由換元法將函數(shù)轉換成二次函數(shù)的值域問題.【詳解】（1），，當時，，當且僅當時等號成立；當時，，當且僅當時等號成立.故函數(shù)值域為；（2）函數(shù)定義域為，令，則，故函數(shù)值域為.18．（1）判斷函數(shù)的奇偶性并說明理由；（2）證明：函數(shù)在上嚴格增.【答案】（1）函數(shù)為奇函數(shù)，證明見解析；（2）證明見解析【分析】（1）根據(jù)函數(shù)解析式先確定函數(shù)定義域，定義域對稱后化簡解析式，按照奇偶性判斷即可；（2）按照函數(shù)單調(diào)性定義取值、作差、變形、定號、下結論等步驟證明即可.【詳解】解：（1）函數(shù)為奇函數(shù)，理由如下：函數(shù)定義域滿足，即函數(shù)定義域為，所以，則，故函數(shù)為奇函數(shù)；（2）證明：任取，且，所以，因為，所以，又恒成立，所以，即，故函數(shù)在上嚴格增.19．某醫(yī)藥研究所開發(fā)一種新藥，如果成年人按規(guī)定的劑量服用，據(jù)監(jiān)測，服藥后每毫升血液中的含藥量（毫克）與時間（小時）之間近似滿足如圖所示的曲線．(1)寫出服藥后與之間的函數(shù)關系式；(2)進一步測定：每毫升血液中的含藥量不少于毫克時，藥物對治療疾病有效，求服藥一次治療疾病的有效時間．【答案】(1)(2)小時【分析】（1）將點的坐標代入函數(shù)的解析式，求出的值，將點的坐標代入函數(shù)的解析式，由此可得出函數(shù)的解析式；（2）解不等式，即可得解.【詳解】（1）解：當時，設函數(shù)的解析式為，將點的坐標代入得，此時；當時，函數(shù)的解析式為，將點的坐標代入得，所以．綜上，.（2）解：當時，由，可得；當時，由，可得.所以，不等式的解集為.因為，服藥一次治療疾病的有效時間為小時．20．（1）求證：關于的方程（，）在區(qū)間內(nèi)存在唯一解.（2）已知，函數(shù).若關于的方程的解集中恰好有一個元素，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）證明見解析；（2）或或.【分析】（1）記.判斷出在為增函數(shù)，利用零點存在定理即可證明；（2）把方程轉化為只有一個根，討論根的情況，求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）記.因為和在均為增函數(shù)，所以在均為增函數(shù).因為，，所以所以在有且只有一個零點，即關于的方程（，）在區(qū)間內(nèi)存在唯一解.（2）方程即,亦即當時，方程①有一解.①式化簡為②.當時，方程②的解為，滿足條件，符合題意；當時，方程②的解為，滿足條件，符合題意；當且時，方程②的解為或.若是方程①的根，則，即；若是方程①的根，則，即；所以要使方程①有且只有一解，只需.綜上所述：方程的解集中恰好有一個元素，實數(shù)的取值范圍或或21．設，是的兩個非空子集，如果函數(shù)滿足：①；②對任意，，當時，恒有，那么稱函數(shù)為集合到集合的“保序同構函數(shù)”.(1)寫出集合到集合且的一個保序同構函數(shù)（不需要證明）；(2)求證：不存在從整數(shù)集的到有理數(shù)集的保序同構函數(shù)；(3)已知存在正實數(shù)和使得函數(shù)是集合到集合的保序同構函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍和的最大值（用表示）.【答案】(1)(2)見解析(3)，的最大值為【分析】（1）根據(jù)保序同構函數(shù)的概念以及常見基本初等函數(shù)的性質(zhì)即可求解，（2）利用反證法，結合保序同構函數(shù)的定義即可證明，（3）根據(jù)保序同構函數(shù)的定義可知為單調(diào)遞增的函數(shù)，結合對勾函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】（1）（2）假設存在一個從集合到集合的“保序同構函數(shù)”，由“保序同構函數(shù)”的定義可知，集合和集合中的元素必須是一一對應的，不妨設整數(shù)0和1在中的像分別為和，根據(jù)保序性，因為，所以，又也