山西省長(zhǎng)治市東火聯(lián)校東火中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)理期末試卷含解析

山西省長(zhǎng)治市東火聯(lián)校東火中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則++…+=（

）A.12

B.10

C.8

D.

2+參考答案：B2.直線x=t分別與函數(shù)、g（x）=的圖象交于P、Q兩點(diǎn)，當(dāng)實(shí)數(shù)t變化時(shí)，|PQ|的最大值為（）A．2 B． C．1 D．參考答案：A【考點(diǎn)】三角函數(shù)的最值．【分析】將|PQ|表示成t的三角函數(shù)，利用公式asinx+bcosx=sin（x+θ）化簡(jiǎn)|PQ|，利用三角函數(shù)的有界性求出最大值．【解答】解：∵、g（x）=，∴|PQ|=|f（t）﹣g（t）|=|sin（2t﹣）﹣cos（2t﹣）|=|2sin（2t+）|≤2∴|PQ|的最大值為2，故選：A．3.若存在，使不等式成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)

A.

B.

C.

D.參考答案：A4.當(dāng)時(shí)，，則的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）

A．

B．（0，2）

C

D．參考答案：D5.散點(diǎn)圖在回歸分析過(guò)程中的作用是（

）

A．查找個(gè)體個(gè)數(shù)

B．比較個(gè)體數(shù)據(jù)大小關(guān)系

C．探究個(gè)體分類

D．粗略判斷變量是否線性相關(guān)參考答案：D6.設(shè)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為F，虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為B，如果直線FB與該雙曲線的一條漸近線垂直，那么雙曲線的離心率是（

）A

B

C

D

參考答案：D略7.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》有“米谷粒分”題：糧倉(cāng)開倉(cāng)收糧，有人送來(lái)米1524石，驗(yàn)得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得254粒內(nèi)夾谷28粒，則這批米內(nèi)夾谷約為（）A．1365石 B．338石 C．168石 D．134石參考答案：C【分析】根據(jù)254粒內(nèi)夾谷28粒，可得比例，即可得出結(jié)論．【解答】解：由題意，這批米內(nèi)夾谷約為1524×=168石，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)．8.如圖，在邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)任取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到正六邊形六個(gè)頂點(diǎn)的距離都大于1的概率為（

）A. B. C. D.參考答案：A【分析】先求出正六邊形的面積，再求出到正六邊形一個(gè)頂點(diǎn)的距離小于等于的圖形面積，利用面積比即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)檎呅蔚倪呴L(zhǎng)為2，所以其面積為；又到正六邊形頂點(diǎn)的距離小于等于1的圖像面積為，所以點(diǎn)到正六邊形六個(gè)頂點(diǎn)的距離都大于的概率為.故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查與面積有關(guān)的幾何概型，熟記概率計(jì)算公式即可，屬于基礎(chǔ)題型.9.已知等差數(shù)列前項(xiàng)和為，，210，130，=（

）（A）12

（B）14

（C）16

（D）18參考答案：B10.已知函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的，的對(duì)應(yīng)值如下表：在下列區(qū)間內(nèi)，函數(shù)一定有零點(diǎn)的是(

)A．

B．

C．

D．參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.（3x2+k）dx=10，則k=

．參考答案：1【考點(diǎn)】69：定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用．【分析】欲求k的值，只須求出函數(shù)3x2+k的定積分值即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出3x2+k的原函數(shù)，再結(jié)合積分定理即可求出用k表示的定積分．最后列出等式即可求得k值．【解答】解：∵∫02（3x2+k）dx=（x3+kx）|02=23+2k．由題意得：23+2k=10，∴k=1．故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】本小題主要考查直定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用、定積分、利用導(dǎo)數(shù)研究原函數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力．屬于基礎(chǔ)題．12.已知變量滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最大值是

.參考答案：3

略13.直線：與曲線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_________。

參考答案：314.設(shè)m∈R，復(fù)數(shù)z=2m2﹣3m﹣5+（m2﹣2m﹣3）i，當(dāng)m=

時(shí)，z為純虛數(shù)．參考答案：【考點(diǎn)】A2：復(fù)數(shù)的基本概念．【分析】直接由實(shí)部為0且虛部不為0列式求解．【解答】解：由題意，得，解得m=．故答案為：．15.設(shè)a∈R，則“a＝1”是“直線l1：ax+2y=0與直線l2：x+(a+1)y+4=0平行的

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條件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”)參考答案：充分不必要條件16.方程組的增廣矩陣為

．參考答案：略17.不等式x2﹣3x﹣18≤0的解集為． 參考答案：[﹣3，6]【考點(diǎn)】一元二次不等式的解法． 【專題】計(jì)算題；方程思想；定義法；不等式的解法及應(yīng)用． 【分析】不等式可化為（x+3）（x﹣6）≤0．解得x≤﹣3≤x≤6，由此得到不等式的解集． 【解答】解：不等式x2﹣3x﹣18≤0，即（x+3）（x﹣6）≤0． 解得x≤﹣3≤x≤6， 故不等式解集為[﹣3，6]， 故答案為：[﹣3，6]． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了一元二次不等式的解法，體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知拋物線的焦點(diǎn)為,直線與軸交點(diǎn)為,與的交點(diǎn)為,且.(Ⅰ)求的方程;(Ⅱ)過(guò)的直線與相交于兩點(diǎn),若的垂直平分線與相交于兩點(diǎn),且四點(diǎn)在同一圓上,求的方程.參考答案：(Ⅰ)(Ⅱ)或試題分析：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，4），把點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入拋物線C的方程，求得，根據(jù)求得p的值，可得C的方程．（Ⅱ）設(shè)l的方程為x=my+1（m≠0），代入拋物線方程化簡(jiǎn)，利用韋達(dá)定理、中點(diǎn)公式、弦長(zhǎng)公式求得弦長(zhǎng)|AB|．把直線l′的方程代入拋物線方程化簡(jiǎn)，利用韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式求得|MN|．由于MN垂直平分線段AB，故AMBN四點(diǎn)共圓等價(jià)于|AE|=|BE|=|MN|，由此求得m的值，可得直線l的方程試題解析：(Ⅰ)設(shè)點(diǎn),,則由拋物線定義知,所以得,即的方程為;(Ⅱ)如右圖所示,設(shè),中點(diǎn)為,,則由得,其中恒成立,所以,,易求得,又,所以,,即,代入中得,,其中恒成立,故,,又易求得的中點(diǎn),故,而由共圓知,,即,代入得,同時(shí)約去且化簡(jiǎn)得,又,所以,即,也即直線或.考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題19.如圖，中心在原點(diǎn)的橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，焦距為2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）是否存在過(guò)M（0，2）的直線與橢圓交于A，B兩個(gè)不同點(diǎn)，使以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)？若存在，求出直線方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題．【專題】圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題．【分析】（Ⅰ）設(shè)橢圓的方程為：，由繼而求出b2=a2﹣c2=1，繼而得出橢圓方程．（Ⅱ）設(shè)直線斜率為k，則直線l的方程為：y=kx+2，由得：（4k2+1）x2+16kx+12=0，由OA⊥OB得到x1x2+y1y2=0．代入求解即可．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的方程為：，∵2a=4∴a=2…∵…∴b2=a2﹣c2=1…所以，橢圓的方程為：…（Ⅱ）法一：假設(shè)存在過(guò)M（0，2）的直線l與橢圓交于A、B兩個(gè)不同點(diǎn)，使以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，依題意可知OA⊥OB．①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，A、B分別為橢圓短軸的端點(diǎn)，不符合題意

…②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)為k，則直線l的方程為：y=kx+2由得：（4k2+1）x2+16kx+12=0…令△＞0，得：（16k）2﹣4?（4k2+1）?12=4k2﹣3＞0∴…設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則…又y1=kx1+2，y2=kx2+2∴==…∵OA⊥OB∴x1x2+y1y2=0…∴∴∴k=±2…∴直線l的方程為：y=±2x+2，即2x﹣y+2=0或2x+y﹣2=0，所以，存在過(guò)M（0，2）的直線與橢圓交于A、B兩個(gè)不同點(diǎn)，使以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，其方程為：2x﹣y+2=0或2x+y﹣2=0．…（Ⅱ）法二：假設(shè)存在過(guò)M（0，2）的直線l與橢圓交于A、B兩個(gè)不同點(diǎn)，使以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，依題意可知OA⊥OB，設(shè)直線l的方程為：x=m（y﹣2）…由得：（m2+4）y2﹣4m2y+4m2﹣4=0…令△＞0，得：16m4﹣4?（m2+4）?（4m2﹣4）=64﹣48m2＞0∴…設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則…又=…∵OA⊥OB∴x1x2+y1y2=0…∴∴，∴…∴所求直線的方程為：，即2x﹣y+2=0或2x+y﹣2=0所以，存在過(guò)M（0，2）的直線與橢圓交于A、B兩個(gè)不同點(diǎn)，使以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，其方程為：2x﹣y+2=0或2x+y﹣2=0…【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合題，屬于難度較大的題目，計(jì)算量大，在高考中經(jīng)常在壓軸題中出現(xiàn)．20.如圖，A，B，C三個(gè)觀察哨，A在B的正南，兩地相距6km，C在B的北偏東60°，兩地相距4km.在某一時(shí)刻，A觀察哨發(fā)現(xiàn)某種信號(hào)，并知道該信號(hào)的傳播速度為1km/s；4秒后B,C兩個(gè)觀察哨同時(shí)發(fā)現(xiàn)這種信號(hào)。在以過(guò)A,B兩點(diǎn)的直線為y軸，以線段AB的垂直平分線為x軸的平面直角坐標(biāo)系中，指出發(fā)了這種信號(hào)的地點(diǎn)P的坐標(biāo)。參考答案：解:設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x,y）,則A(0,-3),B(0,3),C().因?yàn)閨PB|=|PC|，所以點(diǎn)P在BC的中垂線上．因?yàn)?，BC中點(diǎn)D（），所以直線PD方程為①。又因?yàn)閨PB|-|PA|=4，所以點(diǎn)P必在以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線的下支上，雙曲線方程為②聯(lián)立①②，解得y=,或y=(舍去)所以x=所以P點(diǎn)坐標(biāo)為（）21.已知圓O：，直線.（1）若直線l與圓O交于不同的兩點(diǎn)A，B，當(dāng)∠AOB=時(shí)，求k的值.（2）若，P是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作圓O的兩條切線PC、PD，切點(diǎn)為C、D，探究：直線CD是否過(guò)定點(diǎn)；（3）若EF、GH為圓O：的兩條相互垂直的弦，垂足為M（1，），求四邊形EGFH的面積的最大值.參考答案：（1）∵∠AOB=，∴點(diǎn)O到l的距離

………2分∴=·

………4分（2）由題意可知：O、P、C、D四點(diǎn)共圓且在以O(shè)P為直徑的圓上，設(shè).其方程為：即

又C、D在圓O：上∴

即

………7分由

得

∴直線CD過(guò)定點(diǎn)

………9分（3）設(shè)圓心Ogc直線EF、GH的距離分別為.則

………11分∴

∴當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，取“=”∴四邊形EGFH的面積的最大值為.

………14分22.（本小題滿分13分）已知函數(shù)f(x)＝x3＋x－16，(1)求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，－6)處的切線的方程；(2)直線l為曲線y＝f(x)的切線，且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，求直線l的方程及切點(diǎn)坐標(biāo)；參考答案：解：(1)∵f(2)＝23＋2－16＝－6，

……………2分∴點(diǎn)(2，－6)在曲線上．∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，

∴在點(diǎn)(2，－6)處的切線的斜率為k＝f′(2)＝3×22＋1＝13.

……………4分∴切線的方程為y＝13(x－2)＋(－6)．即y＝13x－32.

……………6分(2)設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，則直線l的斜率為f′(x0)＝