高等數(shù)學(xué) 函數(shù)

一、集合二、映射三、函數(shù)§1.1映射與函數(shù)上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁主講唐輝成1.集合集合集合是指具有某種特定性質(zhì)的事物的總體.

集合可用大寫的字母A,B,C,D等標識.元素組成集合的事物稱為集合的元素.

集合的元素可用小寫的字母a,b,c,d等標識.

a是集合M的元素記為aM,讀作：a屬于M.

a不是集合M的元素記為aM,讀作：a不屬于M.一、集合下頁集合的表示列舉法

把集合的全體元素一一列舉出來.

例如A{a,b,c,d,e,f,g}.描述法

若集合M是由元素具有某種性質(zhì)P的元素x的全體所組成,則M可表示為

M{x

|x具有性質(zhì)P}.

例如M{(x,y)|x,y為實數(shù),x2y21}.下頁幾個數(shù)集所有自然數(shù)構(gòu)成的集合記為N,稱為自然數(shù)集.

所有實數(shù)構(gòu)成的集合記為R,稱為實數(shù)集.

所有整數(shù)構(gòu)成的集合記為Z,稱為整數(shù)集.

所有有理數(shù)構(gòu)成的集合記為Q,稱為有理集.子集如果集合A的元素都是集合B的元素,則稱A是B的子集,記為AB(讀作A包含于B).AB若xA,則xB.

顯然,NZ,ZQ,QR.下頁2.集合的運算

設(shè)A、B是兩個集合,則

AB{x|xA或xB}稱為A與B的并集(簡稱并).

AB{x|xA且xB}稱為A與B的交集(簡稱交).A-B{x|xA且xB}稱為A與B的差集(簡稱差).

CIA{x|xA}為稱A的余集或補集,其中I為全集.提示:

如果研究某個問題限定在一個大的集合I中進行,所研究的其他集合A都是I的子集.則稱集合I為全集或基本集.下頁集合運算的法則

設(shè)A、B、C為任意三個集合,則有

(1)交換律

ABBA,

ABBA;(2)結(jié)合律

(AB)CA(BC),(AB)CA(BC);(3)分配律

(AB)C(AC)(BC),(AB)C(AC)(BC);

下頁

直積(笛卡兒乘積)

設(shè)A、B是任意兩個集合,則有序?qū)?/p>

AB{(x,y)|xA且yB}稱為集合A與集合B的直積.

例如,RR{(x,y)|

xR且yR}即為xOy面上全體點的集合,RR常記作R2.

下頁數(shù)集{x|a<x<b}稱為開區(qū)間,記為(a,

b),即(a,

b)={x|a<x<b}.

[a,b]={x|axb}——閉區(qū)間.

[a,b)={x|ax<b}——半開區(qū)間,(a,b]={x|a<xb}——半開區(qū)間.有限區(qū)間上述區(qū)間都是有限區(qū)間,其中a和b稱為區(qū)間的端點,b-a稱為區(qū)間的長度.下頁3.區(qū)間和鄰域

(-,b]={x|xb},

(-,+)={x||x|<+}.

[a,+)={x|ax},無限區(qū)間

(-,b)={x|x<b},

(a,+)={x|a<x},下頁3.區(qū)間和鄰域鄰域以點a為中心的任何開區(qū)間稱為點a的鄰域,記作U(a).

設(shè)>0,則稱

U(a,)=(a-,a+)={x||x-a|<}為點a的鄰域,其中點a稱為鄰域的中心,

稱為鄰域的半徑.去心鄰域U(a,)={x|0<|x-a|<}.。首頁二、映射1.映射的概念設(shè)X、Y是兩個非空集合,如果存在一個法則f,使得對X中每個元素x,按法則f,在Y中有唯一確定的元素y與之對應(yīng),則稱f為從X到Y(jié)的映射,記作

f:XY.定義

y稱為元素x(在映射f下)的像,并記作f(x),即yf(x),X中所有元素的像所組成的集合稱為映射f的值域,記為Rf

,或f(X),即

Rf

f(X){f(x)|xX}.元素x稱為元素y(在映射f下)的一個原像;集合X稱為映射f的定義域,記作Df

,即DfX.下頁二、映射1.映射的概念設(shè)X、Y是兩個非空集合,如果存在一個法則f,使得對X中每個元素x,按法則f,在Y中有唯一確定的元素y與之對應(yīng),則稱f為從X到Y(jié)的映射,記作

f:XY.定義

(1)構(gòu)成一個映射必須具備以下三個要素:集合X,即定義域DfX;集合Y,即值域的范圍:Rf

Y;對應(yīng)法則f,使對每個xX,有唯一確定的yf(x)與之對應(yīng).需要注意的問題下頁二、映射1.映射的概念設(shè)X、Y是兩個非空集合,如果存在一個法則f,使得對X中每個元素x,按法則f,在Y中有唯一確定的元素y與之對應(yīng),則稱f為從X到Y(jié)的映射,記作

f:XY.定義需要注意的問題

(2)對每個xX,元素x的像y是唯一的;而對每個yRf,元素y的原像不一定是唯一的;映射f的值域Rf是Y的一個子集,即Rf

Y,不一定RfY.下頁說明:Rf

是R的一個真子集.

對于Rf中的元素y,除y0外,它的原像不是唯一的.如y4的原像就有x2和x2兩個.

例1

設(shè)f:RR,對每個xR,f(x)x2.

f是一個映射,f的定義域Df

R,值域Rf

{y|y0}.

例2設(shè)X{(x,y)|x2y21},Y{(x,0)||x|1},f:XY,對每個(x,y)X,有唯一確定的(x,0)Y與之對應(yīng).

f是一個映射,f的定義域DfX,值域Rf

Y.說明:在幾何上,這個映射表示將平面上一個圓心在原點的單位圓周上的點投影到x軸的區(qū)間[1,1]上.下頁

例1

設(shè)f:RR,對每個xR,f(x)x2.

f是一個映射,f的定義域Df

R,值域Rf

{y|y0}.

例2設(shè)X{(x,y)|x2y21},Y{(x,0)||x|1},f:XY,對每個(x,y)X,有唯一確定的(x,0)Y與之對應(yīng).

f是一個映射,f的定義域DfX,值域Rf

Y.例3

f(x)sin

x.下頁滿射、單射和雙射設(shè)f是從集合X到集合Y的映射.若Rf

Y,即Y中任一元素y都是X中某元素的像,則稱f為X到Y(jié)上的映射或滿射;若對X中任意兩個不同元素x1x2,它們的像f(x1)f(x2),則稱f為X到Y(jié)的單射;若映射f既是單射,又是滿射,則稱f為一一映射(或雙射).

討論:

下述三個映射各是什么映射？

(1)f:RR,對每個xR,f(x)x2.

(2)設(shè)X{(x,y)|x2y21},Y{(x,0)||x|1},f:XY,對每個(x,y)X,有唯一確定的(x,0)Y與之對應(yīng).下頁滿射、單射和雙射設(shè)f是從集合X到集合Y的映射.若Rf

Y,即Y中任一元素y都是X中某元素的像,則稱f為X到Y(jié)上的映射或滿射;若對X中任意兩個不同元素x1x2,它們的像f(x1)f(x2),則稱f為X到Y(jié)的單射;若映射f既是單射,又是滿射,則稱f為一一映射(或雙射).討論:

下述三個映射各是什么映射？下頁2.逆映射與復(fù)合映射設(shè)f是X到Y(jié)的單射,則由定義,對每個yRf,有唯一的xX,適合f(x)y,于是,我們可定義一個從Rf

到X的新映射g,即

g:R

f

X,對每個yRf,規(guī)定g(y)x,這x滿足f(x)y.這個映射g稱為f的逆映射,記作f

1,其定義域為Rf,值域為X.逆映射討論:

下述三個映射是否存在逆映射？

(1)f:RR,對每個xR,f(x)x2.

(2)設(shè)X{(x,y)|x2y21},Y{(x,0)||x|1},f:XY,對每個(x,y)X,有唯一確定的(x,0)Y與之對應(yīng).下頁2.逆映射與復(fù)合映射設(shè)f是X到Y(jié)的單射,則由定義,對每個yRf,有唯一的xX,適合f(x)y,于是,我們可定義一個從Rf

到X的新映射g,即

g:Rf

X,對每個yRf,規(guī)定g(y)x,這x滿足f(x)y.這個映射g稱為f的逆映射,記作f

1,其定義域為Rf,值域為X.逆映射討論:

下述三個映射是否存在逆映射？下頁說明:

映射g和f構(gòu)成復(fù)合映射的條件是:g的值域Rg必須包含在f的定義域內(nèi),RgDf.否則,不能構(gòu)成復(fù)合映射.說明:

映射的復(fù)合是有順序的,fo

g有意義并不表示go

f也有意義.即使它們都有意義,fo

g與go

f也未必相同.2.逆映射與復(fù)合映射設(shè)有兩個映射g:XY1,f:Y2Z,其中Y1Y2.則由映射g和f可以定出一個從X到Z的對應(yīng)法則,它將每個xX映射成f[g(x)]Z.顯然,這個對應(yīng)法則確定了一個從X到Z的映射,這個映射稱為映射g和f構(gòu)成的復(fù)合映射,記作f

o

g,即

fo

g:XZ,(fo

g)(x)f[g(x)],xX.復(fù)合映射下頁

例4

設(shè)有映射g:R[1,1],對每個xR,g(x)sin

x,則映射g和f構(gòu)成復(fù)映射fo

g:R[0,1],對每個xR,有首頁因變量自變量數(shù)集D叫做這個函數(shù)的定義域三、函數(shù)自變量因變量對應(yīng)法則f函數(shù)的兩要素:定義域與對應(yīng)法則.約定:

定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切實數(shù)值.構(gòu)成函數(shù)的要素是定義域Df及對應(yīng)法則f.

如果兩個函數(shù)的定義域相同,對應(yīng)法則也相同,那么這兩個函數(shù)就是相同的,否則就是不同的.P13函數(shù)的兩要素函數(shù)的定義域通常按以下兩種情形來確定:

對有實際背景的函數(shù),根據(jù)實際背景中變量的實際意義確定.函數(shù)的定義域?qū)Τ橄蟮赜盟闶奖磉_的函數(shù),其定義域是使得算式有意義的一切實數(shù)組成的集合,這種定義域稱為函數(shù)的自然定義域.下頁單值函數(shù)與多值函數(shù)在函數(shù)的定義中,對每個xD,對應(yīng)的函數(shù)值y總是唯一的,這樣定義的函數(shù)稱為單值函數(shù).

如果給定一個對應(yīng)法則,按這個法則,對每個xD,總有確定的y值與之對應(yīng),但這個y不總是唯一的,我們稱這種法則確定了一個多值函數(shù).例如,由方程x2y2r2確定的函數(shù)是一個多值函數(shù):下頁此多值函數(shù)附加條件“y0”后可得到一個單值分支下頁表示函數(shù)的主要方法有三種:表格法、圖形法、解析法(公式法).

用圖形法表示函數(shù)是基于函數(shù)圖形的概念,坐標平面上的點集

{P(x,y)|yf(x),xD}稱為函數(shù)yf(x),xD的圖形.函數(shù)的表示法此函數(shù)稱為絕對值函數(shù),其定義域為D=(-,+),其值域為Rf

=[0,+).

例6

例5

函數(shù)y=2.

這是一個常值函數(shù),其定義域為D=(-,

+),其值域為Rf

={2}.下頁函數(shù)舉例

此函數(shù)稱為符號函數(shù),其定義域為D=(-,+),其值域為Rf

={-1,0,1}.

例8

函數(shù)y=[x].

例7

下頁注:

設(shè)x為任上實數(shù),不超過x的最大整數(shù)稱為x的整數(shù)部分,記作[x].此函數(shù)稱為取整函數(shù),其定義域為D=(-,+),其值域為Rf

=Z.

例9

此函數(shù)的定義域為D=[0,1](1,+)=[0,+).

f(3)=1+3=4.分段函數(shù)在自變量的不同變化范圍中,對應(yīng)法則用不同式子來表示的函數(shù)稱為分段函數(shù).下頁設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D,數(shù)集XD.

如果存在數(shù)K1,使對任意xD,有f(x)K1,則稱函數(shù)f(x)在D上有上界.(1)函數(shù)的有界性如果存在數(shù)K2,使對任意xD,有f(x)K2,則稱函數(shù)f(x)在D上有下界.如果存在正數(shù)M,使對任意xD,有|f(x)|M,則稱函數(shù)f(x)在D上有界;如果這樣的M不存在,則稱函數(shù)f(x)在D上無界.下頁2.函數(shù)的幾種特性

f(x)=sinx在(-,+)上是有界的:

|sinx|1.所以函數(shù)無上界.下頁函數(shù)的有界性舉例2．函數(shù)的單調(diào)性:xyoxyo3．函數(shù)的奇偶性:偶函數(shù)yxox-x奇函數(shù)yxox-x設(shè)函數(shù)f(x)的定義域D關(guān)于原點對稱,

如果在D上有f(-x)=f(x),則稱f(x)為偶函數(shù).

如果在D上有f(-x)=-f(x),則稱f(x)為奇函數(shù).奇偶函數(shù)舉例

y=x2,

y=cos

x都是偶函數(shù).

y=x3,

y=sinx都是奇函數(shù).下頁(4)函數(shù)的周期性設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D.如果存在一個不為零的數(shù)T,使得對于任一xD有(xT)D,且f(x+T)=f(x),則稱f(x)為周期函數(shù),T稱為f(x)的周期.周期函數(shù)的圖形特點下頁反函數(shù)

⑴定義：設(shè)y=f（x）為定義在X上的函數(shù)，其值域為Y，若對于Y中的每個數(shù)y，在數(shù)集X中都有唯一的一個數(shù)x，使f（y）=x，則x是y的函數(shù)，此時稱其為函數(shù)y=f（x）的反函數(shù)，記為其定義域為Y，值域為X。x=f-1（y）3.反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)其反函數(shù)(減).

(減)，1)y＝f(x)單調(diào)遞增且也單調(diào)遞增

（2）性質(zhì):

2)函數(shù)直線對稱.、的圖形關(guān)于習(xí)慣上,的反函數(shù)記成反函數(shù)的圖象

下頁一般地，若y是u的函數(shù)y=f(u)，其定義域為D(f)，同時u又是x的函數(shù)u=g(x),它的值域為R（g),則當(dāng)D(f)和R(g)的交集非空時，可以確定一個函數(shù)y=f(u)=f[g(x)],這個函數(shù)稱為由y=f(u)和u=g(x)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)。復(fù)合函數(shù)下頁例如：設(shè)函數(shù)y=cosu,u=x2,則由這兩個函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)為y=cosx2，它的定義域為（－∞