山西省長治市沁州中學高三數學文期末試卷含解析

山西省長治市沁州中學高三數學文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.曲線y=和x2+y2=2及x軸所圍成的封閉圖形的面積是（）A． B． C． D．參考答案：C【考點】定積分在求面積中的應用．【分析】首先求出曲線的交點，S陰影=S扇形0AC﹣S三角形OBA+S曲多邊形OBA，分別求出其面積，問題得以解決．【解答】解：曲線y=和x2+y2=2及x軸所圍成的封閉圖形的面積如圖陰影部所示由，解得x=1，y=1，即A（1，1），B（1，0），因為S曲多邊形OBA=dx=|=，S三角形OBA=×1×1=，S扇形0AC=π×2=，∴S陰影=S扇形0AC﹣S三角形OBA+S曲多邊形OBA=﹣+=+，故選：C．2.已知集合，，則（

）A．

B．

C．

D．R參考答案：D3.（5分）已知2lg（x﹣2y）=lgx+lgy，則的值為（）A．1B．4C．D．或4參考答案：B考點：對數的運算性質．分析：根據對數的運算法則，2lg（x﹣2y）=lg（x﹣2y）2=lg（xy），可知：x2+4y2﹣4xy=xy，即可得答案．解答：解：∵2lg（x﹣2y）=lg（x﹣2y）2=lg（xy），∴x2+4y2﹣4xy=xy∴（x﹣y）（x﹣4y）=0∴x=y（舍）或x=4y∴=4故選B．點評：本題主要考查對數的運算性質．4.設非零向量，滿足，則（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B因為非零向量，滿足，所以，所以，所以，即，所以，故選B.

5.直線與圓相交于M、N兩點，若，則k的取值范圍是A.[,0]

B.（，][）C.[，]

D.[，0）參考答案：A略6.在的展開式中，項的系數為（

）A．200

B．180

C.150

D．120參考答案：C展開式的通項公式為，令可得：，則，展開式的通項公式為，令可得：，據此可得：項的系數為.本題選擇C選項.

7.復數的虛部是A．

B．

C．

D．參考答案：C略8.函數，則此函數的所有零點之和等于（

）A.4

B.8

C.6

D.10參考答案：B9.如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面A1B1C1，∠ACB=90°，P為BC1上的動點，則CP+PA1的最小值為A. B． C．5 D．參考答案：C由題設知△為等腰直角三角形，又平面，故∠=90°，將二面角沿展開成平面圖形，得四邊形如圖示，由此，要取得最小值，當且僅當三點共線，由題設知∠,由余弦定理得.

10.三角函數的振幅和最小正周期分別是（）A． B． C． D．參考答案：B，故選B．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.某輕軌列車有4節(jié)車廂，現有6位乘客準備乘坐，設每一位乘客進入每節(jié)車廂是等可能的，則這6位乘客進入各節(jié)車廂的人數恰好為0，1，2，3的概率為

參考答案：12.如圖，邊長為2a的正方形及其內切圓，隨機向正方形內丟一粒豆子，則豆子落在陰影部分的概率為

.參考答案：13.在極坐標系中，直線被圓所截得的線段長為___________.參考答案：略14.已知函數，則方程f（x）=﹣3的解為．參考答案：1或﹣2【考點】函數的零點．【分析】由函數的解析式可得方程f（x）=﹣3可化為，或．分別求出這兩個混合組的解，即為所求．【解答】解：函數，則由方程f（x）=﹣3可得，，或．解得x=1，或x=﹣2，故答案為1或﹣2．15.已知圓的方程為設該圓過點（3，5）的最長弦和最短弦分別為AC和BD，則四邊形ABCD的面積為

。參考答案：答案：16.已知點和圓，是圓上兩個動點，且，則(為坐標原點)的取值范圍是

.參考答案：【知識點】平面向量數量積的運算．F3【答案解析】[2，22]．

解析：設線段AB的中點為D，∵|AB|=2，∴|AD|==CD|，∴點D在圓：（x﹣2）2+y2=1上，可設點D（2+cosα，sinα），則得==（6，8）?（2+cosα，sinα）=12+6cosα+8sinα=12+10sin（α+θ），其中，sinθ=，cosθ=，∴的最小值為12﹣10=2，最大值為12+10=22，∴的范圍是[2，22]．故答案為：[2，22]．【思路點撥】設線段AB的中點為D，可得CD=|，即點D在圓：（x﹣2）2+y2=1上，可設點D（2+cosα，sinα），求得==12+10sin（α+θ），可得所求．17.已知是虛數單位，實數滿足則

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.參考答案：0略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數f（x）=﹣x2+ax﹣4lnx﹣a+1（a∈R）．（1）若，求a的值；（2）若存在，使函數f（x）的圖象在點（x0，f（x0））和點處的切線互相垂直，求a的取值范圍；（3）若函數f（x）在區(qū)間（1，+∞）上有兩個極值點，則是否存在實數m，使f（x）＜m對任意的x∈[1，+∞）恒成立？若存在，求出m的取值范圍，若不存在，說明理由．參考答案：【考點】利用導數研究曲線上某點切線方程；利用導數研究函數的極值．【分析】（1）若，代入計算，建立方程，即可求a的值；（2）利用切線互相垂直，整理得，設f（t）=8t2﹣6at+a2+5，則f（t）在t∈（2，3）上有零點，考慮到f（2）=32﹣12a+a2+5=（a﹣6）2+1＞0，所以或，即可解得a的取值范圍；（3）若函數f（x）在區(qū)間（1，+∞）上有兩個極值點，g（x）在區(qū)間（1，+∞）上有兩個不同零點，求出a的取值范圍，即可得出結論．【解答】解：（1）由得，，解得…（2）函數f（x）的定義域為（0，+∞），，，由題意得，即，…整理得，設，由，得t∈（2，3），則有8t2﹣6at+a2+5=0，…設f（t）=8t2﹣6at+a2+5，則f（t）在t∈（2，3）上有零點，考慮到f（2）=32﹣12a+a2+5=（a﹣6）2+1＞0，所以或，解得或8≤a＜11，所以a的取值范圍是…（3），令g（x）=﹣2x2+ax﹣4，由題意，g（x）在區(qū)間（1，+∞）上有兩個不同零點，則有，解得…設函數f（x）的兩個極值點為x1和x2，則x1和x2是g（x）在區(qū)間（1，+∞）上的兩個不同零點，不妨設x1＜x2，則①，得且關于a在上遞增，因此…又由①可得②，當x∈（1，x1）時，g（x）＜0，f'（x）＜0，f（x）遞減；x∈（x1，x2）時，g（x）＞0，f'（x）＞0，f（x）遞增；當x∈（x2，+∞）時，g（x）＜0，f'（x）＜0，f（x）遞減，結合②可得=…設，則，所以h（x）在上遞增，所以，從而，所以，又f（1）=0，所以存在m≥3﹣4ln2，使f（x）＜m，綜上，存在滿足條件的m，m的取值范圍為[3﹣4ln2，+∞）…19.（本題滿分12分）已知在處有極值，其圖象在處的切線與直線平行.（1）求函數的單調區(qū)間；（2）若時，恒成立，求實數的取值范圍。參考答案：試題分析：（1）由題意：

直線的斜率為；由已知

所以

-----------------3分所以由得心或；所以當時，函數單調遞減；當時，函數單調遞增。-----------------6分（2）由(1)知,函數在時單調遞減，在時單調遞增；所以函數在區(qū)間有最小值要使恒成立只需恒成立，所以。故的取值范圍是{}

-----------------12分

略20.（本小題滿分12分）

已知函數（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）當時，若在區(qū)間上的最小值為-2，求的取值范圍；（3）若對任意，且恒成立，求的取值范圍.參考答案：解：（Ⅰ）當時，.………………2分因為.

所以切線方程是

……4分（Ⅱ）函數的定義域是.

………………5分當時，令，即，

所以或.……7分當，即時，在［1，e]上單調遞增，所以在［1，e]上的最小值是；當時，在［1，e]上的最小值是，不合題意；當時，在（1，e）上單調遞減，所以在［1，e]上的最小值是，不合題意………………8分（Ⅲ）設，則，只要在上單調遞增即可.………………9分

而當時，，此時在上單調遞增；……10分當時，只需在上恒成立，因為，只要，則需要，………………12分對于函數，過定點（0，1），對稱軸，只需，即.綜上.

………………12分ks5u略21.隨著移動互聯網的快速發(fā)展，基于互聯網的共享單車應運而生．某市場研究人員為了了解共享單車運營公司M的經營狀況，對該公司最近六個月內的市場占有率進行了統(tǒng)計，并繪制了相應的折線圖．（Ⅰ）由折線圖可以看出，可用線性回歸模型擬合月度市場占有率y與月份代碼x之間的關系．求y關于x的線性回歸方程，并預測M公司2017年4月份的市場占有率；（Ⅱ）為進一步擴大市場，公司擬再采購一批單車．現有采購成本分別為1000元/輛和1200元/輛的A、B兩款車型可供選擇，按規(guī)定每輛單車最多使用4年，但由于多種原因（如騎行頻率等）會導致車輛報廢年限各不相同．考慮到公司運營的經濟效益，該公司決定先對兩款車型的單車各100輛進行科學模擬測試，得到兩款單車使用壽命頻數表如下：

報廢年限車型1年2年3年4年總計A20353510100B10304020100經測算，平均每輛單車每年可以帶來收入500元．不考慮除采購成本之外的其他成本，假設每輛單車的使用壽命都是整數年，且以頻率作為每輛單車使用壽命的概率．如果你是M公司的負責人，以每輛單車產生利潤的期望值為決策依據，你會選擇采購哪款車型？參考數據：，，=17.5．參考公式：回歸直線方程為其中=，=﹣．參考答案：【考點】BK：線性回歸方程．【分析】（Ⅰ）求出回歸系數，可得回歸方程，即可得出結論；（Ⅱ）分別計算相應的數學期望，即可得出結論．【解答】解：（Ⅰ）由題意，=3.5，=16，==2，=﹣?=16﹣2×3.5=9，∴=2x+9，x=7時，=2×7+9=23，即預測M公司2017年4月份（即x=7時）的市場占有率為23%；（Ⅱ）由頻率估計概率，每輛A款車可使用1年，2年，3年、4年的概率分別為0.2，0.35，0.35，0.1，∴每輛A款車的利潤數學期望為×0.2+×0.35+×0.35+×0.1=175元；每輛B款車可使用1年，2年，3年、4年的概率分別為0.1，0.3，0.4，0.2，∴每輛B款車的利潤數學期望為×0.1+×0.3+×0.4+×0.2=150元；∵175＞150，∴應該采購A款車．22.（本題滿分14分）如圖，已知菱形的邊長為，,.將菱形沿對角線折起，使，得到三棱錐.(Ⅰ)若點是棱的中點，求證:平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）設點是線段上一個動點，試確定點的位置，使得，并證明你的結論.參考答案：（Ⅰ）因為點是菱形的對角線的交點,所以是的中點.又點是棱的中點,所以.

（2分）因為平面,平面,所以平面.

（4分）（Ⅱ）由題意,,因