山西省長治市第十中學2022年高三數(shù)學理月考試題含解析

山西省長治市第十中學2022年高三數(shù)學理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設集合，，，且，則A．1

B．2

C．3

D．9參考答案：B2.關于的方程，給出下列四個命題：①存在實數(shù)，使得方程恰有2個不同的實根；②存在實數(shù)，使得方程恰有4個不同的實根；③存在實數(shù)，使得方程恰有5個不同的實根；④存在實數(shù)，使得方程恰有8個不同的實根；其中假命題的個數(shù)是

（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：A3.已知是定義在R上的奇函數(shù)，且在(－∞,+∞)上是減函數(shù)，，則滿足的實數(shù)x的取值范圍是（）A.(－1,1) B.(－2,0) C.(－2,2) D.(0,2)參考答案：C【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)奇偶性的性質可得f（﹣1）的值，結合函數(shù)的單調性分析可得，解可得x的取值范圍．【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)f（x）是R上的奇函數(shù)，若f（1）＝﹣2，則f（﹣1）＝﹣f（1）＝2，則，又由函數(shù)在上為減函數(shù)，則有，解可得：，即x的取值范圍是（-2，2）；故選：C．【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性與單調性的綜合應用，得出f（﹣1）=2是關鍵．4.已知圓O：x2+y2=1，點P為直線x﹣2y﹣3=0上一動點，過點P向圓O引兩條切線PA，PB，A、B為切點，則直線AB經(jīng)過定點（）A．（2，0） B．（3，0） C．（，﹣1） D．（，﹣）參考答案：D【考點】直線與圓的位置關系．【分析】根據(jù)題意設P的坐標為P（2m+3，m），由切線的性質得點A、B在以OP為直徑的圓C上，求出圓C的方程，將兩個圓的方程相減求出公共弦AB所在的直線方程，再求出直線AB過的定點坐標．【解答】解：因為P是直線x﹣2y﹣3=0的任一點，所以設P（2m+3，m），因為圓x2+y2=1的兩條切線PA、PB，切點分別為A、B，所以OA⊥PA，OB⊥PB，則點A、B在以OP為直徑的圓上，即AB是圓O和圓C的公共弦，則圓心C的坐標是（m+，），且半徑的平方是r2=，所以圓C的方程是（x﹣m﹣）2+（y﹣）2=，①又x2+y2=1，②，②﹣①得，（2m+3）x+my﹣1=0，即公共弦AB所在的直線方程是：（2m+3）x+my﹣1=0，即m（2x+y）+（3x﹣1）=0，由得x=，y=﹣，所以直線AB恒過定點（，﹣），故選D．【點評】本題考查了直線和圓的位置關系，圓和圓的位置關系，圓的切線性質，以及直線過定點問題，屬于中檔題．5.已知向量與向量的夾角為，且，又向量（且，），則的最大值為（

）A．

B．

C．2

D．3參考答案：A考點：向量數(shù)量積、二次函數(shù)（求最值）．6.已知冪函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(，)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)(x1<x2)是函數(shù)圖象上的任意不同兩點，給出以下結論：其中正確結論的序號是

①>

；②<③>；

④<.A．①② B．①③C．②④ D．②③參考答案：B略7.給出下列命題：①在區(qū)間上，函數(shù),,,中有三個是增函數(shù)；②若，則；③若函數(shù)是奇函數(shù)，則的圖象關于點對稱；④若函數(shù)，則方程有個實數(shù)根，其中正確命題的個數(shù)為

（）A．1

B．

C．

D．參考答案：C8.右圖是長和寬分別相等的兩個矩形．給定下列三個命題：①存在三棱柱，其正（主）視圖、俯視圖如下圖；②存在四棱柱，其正（主）視圖、俯視圖如右圖；③存在圓柱，其正（主）視圖、俯視圖如右圖．其中真命題的個數(shù)是

A．3

B．2

C．1

D．0參考答案：A

本題考查了對三棱柱、四棱柱、圓柱在不同放置情況下的三視圖的識別能力，難度中等以上。①存在，只要三棱柱放置時三角形在側面即可；②存在，四棱柱底面與側面相同；③存在，圓柱的圓面為側面即可；三個命題都正確，故選A。

9.甲、乙兩個射手的奧運預選賽的6次射擊的成績統(tǒng)計如下圖的莖葉圖，設甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為，，標準差分別為，，則（

）A．，

B．，

C.，

D．，參考答案：A因為，，所以，因為，所以，故選A.

10.若，則

(

）A．2

B．4

C．

D．10參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.將參數(shù)方程（為參數(shù)，）化為普通方程，所得方程是_____

_____.參考答案：()

略12.正項數(shù)列{an}滿足：a1=1，a2=2，2an2=an+12+an﹣12（n∈N*，n≥2），則a7=．參考答案：考點：數(shù)列遞推式．專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：由2an2=an+12+an﹣12（n∈N*，n≥2），可得數(shù)列{}是等差數(shù)列，通過求出數(shù)列{}的通項公式，求得an，再求a7．解答：解：由2an2=an+12+an﹣12（n∈N*，n≥2），可得數(shù)列{}是等差數(shù)列，公差d==3，首項=1，所以=1+3×（n﹣1）=3n﹣2，an=，∴a7=故答案為：點評：本題考查數(shù)列遞推公式的應用，數(shù)列通項求解，考查轉化構造、計算能力．13.設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a2=?3，S5=?10，則a5=__________，Sn的最小值為__________．參考答案：0

－10【分析】首先確定公差,然后由通項公式可得的值，進一步研究數(shù)列中正項?負項的變化規(guī)律,得到和的最小值.【詳解】等差數(shù)列中,,得,公差,,由等差數(shù)列的性質得時,,時,大于0,所以的最小值為或,即為－10.

14.一個三棱錐的正視圖和側視圖及其尺寸如圖所示，則該三棱錐俯視圖的面積為

．參考答案：1考點：由三視圖求面積、體積．專題：計算題；空間位置關系與距離．分析：由于三視圖中，正視圖與側視圖一樣高，正視圖與俯視圖一樣長，俯視圖與側視圖一樣寬．又由圖知，所以俯視圖為兩直角邊長為2，1的三角形，即可求面積．解答： 解：由于側視圖是寬為1，高為3的直角三角形，正視圖是長為2，高為3的直角三角形，故三棱錐的底面為直角三角形，且兩直角邊分別為1，2．故該三棱錐的俯視圖的面積為1．故答案為1點評：本題主要考查有三視圖求面積，體積．要注意三視圖中的等價關系：正視圖與側視圖一樣高，正視圖與俯視圖一樣長，俯視圖與側視圖一樣寬．15.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足則f(2013)＝________.參考答案：0略16.如圖，邊長為l的菱形ABCD中，DAB=60o，，則

。參考答案：17.函數(shù)的定義域是

.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在三棱錐P-ABC中，，，，，D為線段AC的中點，將折疊至，使得且PC交平面EBD于F.（1）求證：平面⊥平面PAC.（2）求三棱錐的體積.參考答案：(1)證明見解析；(2).分析：（1）由PA⊥AC可計算出PC，從而由勾股定理逆定理得PB⊥BC，再結合BC⊥AB，得BC⊥平面PAB，從而有PA⊥BC，于是有PA⊥平面ABC，因此PA⊥BD，再計算出AB=BC，從而BD⊥AC，因此得BD⊥平面PAC，從而得證面面垂直；（2）這個體積直接用底面積乘以高再除以3，不太容易，但可間接計算：，這一個三棱錐和一個四棱錐的體積易計算．詳解：（1）證明：在三棱錐中，,,

又又（2）由已知，∥點睛：常用求體積的幾種方法：（1）分割法一般的考試題目不會給你一個簡單的長方體，正方體，圓等等一些能套公式就能求出體積，而是弄一些多面體，讓你求它的體積。分割法，就是把多面體分割成幾個我們常見的立體，然后求各個分割體的體積，最后相加就能得出所要求的體積了。（2）補形法多面體加以拼補，把它拼成我們常見的立體，求出該立體的體積后，把補上去的各個立體的體積算出來，相減就能得出所要求的體積了。（3）等體積法這個方法舉例比較好說明，比如，求四面體P-ABC的體積，但是頂點P到面ABC的距離不好求（即高h），然而我們把頂點和底面換一下，換成四面體A-PBC，此時，頂點A到面PBC的距離可以很容易就得到(AP⊥面PBC,即AP就是高)，這樣四面體A-PBC的體積就很容易就求出來了。顯然，四面體P-ABC和四面體A-PBC是同一個立體，因此，求出四面體A-PBC的體積也就是求出四面體P-ABC的體積。

19.如圖，、是以為直徑的圓上兩點，，，是上一點，且，將圓沿直徑折起，使點在平面的射影在上，已知.（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）求三棱錐的體積．

參考答案：（1）略（2）略（3）（1）證明：依題平面

∴∴平面．

（2）證明：中，，∴中，，∴．∴．∴

在平面外

∴平面．（3）解：由（2）知，，且∴到的距離等于到的距離為1．

∴．平面

∴．

略20.設數(shù)列{an}是前n項和Sn=an﹣1（n∈N*）．（Ⅰ）求a1?a2；（Ⅱ）求證：數(shù)列{an}為等比數(shù)列．參考答案：【考點】數(shù)列遞推式．【專題】轉化思想；定義法；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】（Ⅰ）根據(jù)數(shù)列的遞推關系即可求a1?a2；（Ⅱ）根據(jù)等比數(shù)列的定義即可證明數(shù)列{an}為等比數(shù)列．【解答】解：（Ⅰ）∵Sn=an﹣1，∴當n=1時，a1=a1﹣1，得a1=﹣2，當n=2時，S2=a2﹣1，即a1+a2=a2﹣1，即a2=﹣1﹣a1=﹣1﹣（﹣2）=1，則a2=2，則a1?a2=﹣2×2=﹣4．（Ⅱ）證明：當n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1=an﹣1﹣（an﹣1﹣1）=an﹣an﹣1，即an=﹣an﹣1，則an=﹣an﹣1，即=﹣1，即數(shù)列{an}為公比q=﹣1的等比數(shù)列．【點評】本題主要考查等比數(shù)列的證明，利用數(shù)列的遞推關系是解決本題的關鍵．21.（本小題滿分12分）如圖，四邊形ABCD為正方形，，PD∥QA，.⑴證明：；⑵求二面角的余弦值.參考答案：設是平面PBC的一個法向量，則，即，因此可取………………7分設是平面PBQ的一個法向量，則，即，因此可取，………………9分所以，…………11分因為二面角Q-BP-C為鈍二面角故二面角的余弦值為

………………12分22.已知，（其中常數(shù)）（1）當時，求函數(shù)f(x)的極值；（2）若函數(shù)有兩個零點，求證：.參考答案：（1）f(x)有極小值，無極大值；（2）證明見解析.【分析】（1）求出a＝e的函數(shù)的導數(shù)，求出單調區(qū)間，即可求得極值；（2）先證明：當f（x）≥0恒成立時，有0＜a≤e成立．若，則f（x）＝ex﹣a（lnx+1）≥0顯然成立；若，運用參數(shù)分離，構造函數(shù)通過求導數(shù)，運用單調性，結合函數(shù)零點存在定理，即可得證.【詳解