2023年電大作業(yè)工程數(shù)學考核作業(yè)第二次

第3章線性方程組第４章矩陣的特性值及二次型一、單項選擇題1用消元法得的解為(Ｃ）ＡBCＤ2線性方程組（B)A有無窮多解B有唯一解C無解Ｄ只有零解注：經(jīng)初等行變換,有,線性方程組有唯一解.3向量組,,，,得秩為(A）Ａ３Ｂ２C４設向量組為,,,，則（Ｂ）是極大無關組。ABCD注：極大無關組為:或.５與分別代表一個線性方程組的系數(shù)矩陣和增廣矩陣,若這個方程組有解，則(A）ＡBCD６若某個線性方程組相應的齊次方程組只有零解，則該線性方程組(A)A也許無解B有唯一解C有無窮多解D無解注:若線性方程組相應的齊次方程組只有零解只能說明:系數(shù)矩陣的秩等于未知量的個數(shù)，至于系數(shù)矩陣的秩與增廣矩陣的秩是否相等不得而知。例與７以下結論對的的是（Ｄ)A方程個數(shù)小于未知量個數(shù)的線性方程組一定有解B方程個數(shù)等于未知量個數(shù)的線性方程組一定有唯一解C方程個數(shù)大于未知量個數(shù)的線性方程組一定有無窮多解D齊次線性方程組一定有解(至少有零解,所以對的)８若向量組線性相關，則向量組內(A）可被該向量組內其余向量線性表出。Ａ至少有一個向量B沒有一個向量C至多有一個向量D任何一個向量定理3.6９設A,Ｂ為n階矩陣，既是A又是Ｂ的特性值，既是A又是B的屬于的特性向量，則結論（A）成立。A是的特性值B是的特性值C是的特性值D注：由已知得,,，從而選AB和D不對的１０設A，B,P為n階矩陣，若等式（C)成立，則稱Ａ和B相似。ABＣD定義4．２二、填空題1當１時,齊次線性方程組有非零解．注:2向量組，線性相關.注:第五行：包含零向量的向量組一定是線性相關的.３向量組,，,得秩是3.４設齊次線性方程組的系數(shù)行列式,則這個方程組有非零解，且系數(shù)列向量是線性相關的.5向量組的極大線性無關組是.６向量組的秩與矩陣的秩相等.注：定理3．９7設線性方程組中有5個未知量,且秩(A）=3,則其基礎解系中線性無關的解向量有2個.８設線性方程組有解,是它的一個特解，且的基礎解系為,則的通解為:（為任意常數(shù)）.9若是的特性值,則是方程的根.注:（3)10若矩陣滿足為方陣且，則稱為正交矩陣.注：定義4．5三、解答題１用消元法解線性方程組解：將增廣矩陣通過初等行變換化為階梯陣：于是知，,,，為唯一解.2設有線性方程組，為什么值時,方程組有唯一解?或有無窮多解？解:方法一:①當時,有,方程組有唯一解，于是有于是當且時，方程有唯一解。②當時,有,有,知有無窮多解．當時,有由，方程組無解．于是,當時,方程組有無窮多解.方法二：于是當時,,方程組無解.當時,方程組有無窮多解.當且時，方程有唯一解。3判斷向量能否由向量組線性表出,若能，寫出一種表出方式．其中：,,,解：若能由向量組線性表達,有寫作線性方程組即為:,于是有，所以不能由線性表出．4計算下列向量組的秩,并且判斷該向量組是否線性相關?，，，解:由矩陣（認為列）進行初等行變換，有知向量組的秩為３，由于,所以向量組線性相關.５求齊次線性方程組的一個基礎解系.解:將系數(shù)矩陣進行初等行變換，有于是有即，令，得化簡，令,則為齊次線性方程組的一個基礎解系.6求線性方程組的所有解．解：將增廣矩陣進行初等行變換,有令，得相應的解向量,令,得相應的解向量,令,得相應的特解，于是線性方程組的所有解為：（其中為任意常數(shù)）．７試證：任一4維向量都可由向量組，,，線性表出,且表出方式唯一，寫出這種表出方式.證：由已知可由線性表達，有寫作線性方程組,有由于系數(shù)行列式所以由克拉默法則,線性方程組有唯一解又由于所以.且表出方式唯一。８試證：線性方程組有解時,它有唯一解的充足必要條件是：相應的齊次線性方程組只有零解.證:本題前提條件為:線性方程組有解一方面證明“”即:“有唯一解相應齊次線性方程組只有零解”由線性方程組有解鑒定定理，有當，即滿秩時,線性方程組有唯一解.這時當然有相應齊次方程組,即滿秩，所以,相應齊次線性方程組只有零解．另一方面證明“”即：“相應齊次線性方程組只有零解有唯一解“一方面，由線性方程組有解,有;又相應齊次線性方程組只有零解,有，即滿秩;于是有,有結論:線性方程組有唯一解.9設是可逆矩陣的特性值，且，試證:是矩陣的特性值．證；由已知條件有非零向量,使得即上式兩端左乘,得-即整理得由定義可知，是矩陣的特性值，命題得證.10用配方法將二