參數(shù)估計(jì)與樣本容量

4-1第三節(jié)總體參數(shù)估計(jì)本節(jié)主要內(nèi)容：總體參數(shù)估計(jì)概述總體參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)參數(shù)區(qū)間估計(jì)樣本容量的確定2017-6-5大學(xué)生每周上網(wǎng)花多少時(shí)間？為了解學(xué)生每周上網(wǎng)花費(fèi)的時(shí)間，中國(guó)人民大學(xué)公共管理學(xué)院的4名本科生對(duì)全校部分本科生做了問(wèn)卷調(diào)查。調(diào)查的對(duì)象為中國(guó)人民大學(xué)在校本科生，調(diào)查內(nèi)容包括上網(wǎng)時(shí)間、途徑、支出、目的、關(guān)心的校園網(wǎng)內(nèi)容，以及學(xué)生對(duì)收費(fèi)的態(tài)度，包括收費(fèi)方式、價(jià)格等問(wèn)卷調(diào)查由調(diào)查員直接到宿舍發(fā)放并當(dāng)場(chǎng)回收。對(duì)四個(gè)年級(jí)中每年級(jí)各發(fā)60份問(wèn)卷，其中男、女生各30份。共收回有效問(wèn)卷共200份。其中有關(guān)上網(wǎng)時(shí)間方面的數(shù)據(jù)經(jīng)整理如下表所示2017-6-5大學(xué)生每周上網(wǎng)花多少時(shí)間？回答類別人數(shù)（人）頻率（%）3小時(shí)以下32163～6小時(shí)3517.56～9小時(shí)3316.59～12小時(shí)2914.512小時(shí)以上7135.5合計(jì)200100平均上網(wǎng)時(shí)間為8.58小時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)差為0.69小時(shí)。全校學(xué)生每周的平均上網(wǎng)時(shí)間是多少？每周上網(wǎng)時(shí)間在12小時(shí)以上的學(xué)生比例是多少？你做出估計(jì)的理論依據(jù)是什么？4-4一、總體參數(shù)估計(jì)概述設(shè)待估計(jì)的總體參數(shù)是θ，用以估計(jì)該參數(shù)的統(tǒng)計(jì)量是，抽樣估計(jì)的極限誤差是Δ，即：極限誤差是根據(jù)研究對(duì)象的變異程度和分析任務(wù)的性質(zhì)來(lái)確定的在一定概率下的允許誤差范圍。參數(shù)估計(jì)的兩個(gè)要求：精度：估計(jì)誤差的最大范圍，通過(guò)極限誤差來(lái)反映。顯然，Δ越小，估計(jì)的精度要求越高，Δ越大，估計(jì)的精度要求越低。極限誤差的確定要以實(shí)際需要為基本標(biāo)準(zhǔn)?？煽啃裕汗烙?jì)正確性的一個(gè)概率保證，通常稱為估計(jì)的置信度。2017-6-5參數(shù)估計(jì)(parameterestimation)就是用樣本統(tǒng)計(jì)量去估計(jì)總體的參數(shù)估計(jì)量：用于估計(jì)總體參數(shù)的統(tǒng)計(jì)量的名稱如樣本均值，樣本比例，樣本方差等例如:樣本均值就是總體均值的一個(gè)估計(jì)量參數(shù)用表示，估計(jì)量用表示估計(jì)值：估計(jì)參數(shù)時(shí)計(jì)算出來(lái)的統(tǒng)計(jì)量的具體值如果樣本均值x=80，則80就是的估計(jì)值估計(jì)量與估計(jì)值

(estimator&estimatedvalue)4-6二、總體參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)點(diǎn)估計(jì)的含義：直接以樣本統(tǒng)計(jì)量作為相應(yīng)總體參數(shù)的估計(jì)量。4-7優(yōu)良估計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)優(yōu)良估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)：無(wú)偏性：要求樣本統(tǒng)計(jì)量的平均數(shù)等于被估計(jì)的總體參數(shù)本身。一致性：當(dāng)樣本容量充分大時(shí)，樣本統(tǒng)計(jì)量充分靠近總體參數(shù)本身。有效性：總體方差的無(wú)偏估計(jì)量為樣本方差點(diǎn)估計(jì)完全正確的概率通常為0。因此，我們更多的是考慮用樣本統(tǒng)計(jì)量去估計(jì)總體參數(shù)的范圍區(qū)間估計(jì)。2017-6-5無(wú)偏性

(unbiasedness)無(wú)偏性：估計(jì)量抽樣分布的數(shù)學(xué)期望等于被估計(jì)的總體參數(shù)2017-6-5有效性

(efficiency)有效性：對(duì)同一總體參數(shù)的兩個(gè)無(wú)偏點(diǎn)估計(jì)量，有更小標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)量更有效

2017-6-5一致性

(consistency)一致性：隨著樣本量的增大，估計(jì)量的值越來(lái)越接近被估計(jì)的總體參數(shù)4-11三、參數(shù)區(qū)間估計(jì)參數(shù)區(qū)間估計(jì)的含義：估計(jì)總體參數(shù)的區(qū)間范圍，并給出區(qū)間估計(jì)成立的概率值。其中：1-α(0<α<1)稱為置信度；α是區(qū)間估計(jì)的顯著性水平，其取值大小由實(shí)際問(wèn)題確定，經(jīng)常取1%、5%和10%。注間對(duì)上式的理解：例如抽取了1000個(gè)樣本，根據(jù)每一個(gè)樣本均構(gòu)造了一個(gè)置信區(qū)間，，這樣，由1000個(gè)樣本構(gòu)造的總體參數(shù)的1000個(gè)置信區(qū)間中，有95%的區(qū)間包含了總體參數(shù)的真值，而5%的置信區(qū)間則沒(méi)有包含。這里，95%這個(gè)值被稱為置信水平（或置信度）。一般地，將構(gòu)造置信區(qū)間的步驟重復(fù)很多次，置信區(qū)間包含總體參數(shù)真值的次數(shù)所占的比例稱為置信水平。4-12樣本統(tǒng)計(jì)量

(點(diǎn)估計(jì))置信區(qū)間置信下限置信上限我們用95%的置信水平得到某班學(xué)生考試成績(jī)的置信區(qū)間為60-80分，如何理解？錯(cuò)誤的理解：60-80區(qū)間以95%的概率包含全班同學(xué)平均成績(jī)的真值；或以95%的概率保證全班同學(xué)平均成績(jī)的真值落在60-80分之間。正確的理解：如果做了多次抽樣（如100次），大概有95次找到的區(qū)間包含真值，有5次找到的區(qū)間不包括真值。真值只有一個(gè)，一個(gè)特定的區(qū)間“總是包含”或“絕對(duì)不包含”該真值。但是，用概率可以知道在多次抽樣得到的區(qū)間中大概有多少個(gè)區(qū)間包含了參數(shù)的真值。如果大家還是不能理解，那你們最好這樣回答有關(guān)區(qū)間估計(jì)的結(jié)果：該班同學(xué)平均成績(jī)的置信區(qū)間是60-80分，置信度為95%。2017-6-5區(qū)間估計(jì)的圖示2017-6-5置信區(qū)間的表述

(95%的置信區(qū)間)從均值為185的總體中抽出n=10的20個(gè)樣本構(gòu)造出的20個(gè)置信區(qū)間我沒(méi)有抓住參數(shù)！點(diǎn)估計(jì)值2017-6-5使用一個(gè)較大的置信水平會(huì)得到一個(gè)比較寬的置信區(qū)間，而使用一個(gè)較大的樣本則會(huì)得到一個(gè)較準(zhǔn)確(較窄)的區(qū)間。直觀地說(shuō)，較寬的區(qū)間會(huì)有更大的可能性包含參數(shù)但實(shí)際應(yīng)用中，過(guò)寬的區(qū)間往往沒(méi)有實(shí)際意義比如，天氣預(yù)報(bào)說(shuō)“在一年內(nèi)會(huì)下一場(chǎng)雨”，雖然這很有把握，但有什么意義呢？另一方面，要求過(guò)于準(zhǔn)確(過(guò)窄)的區(qū)間同樣不一定有意義，因?yàn)檫^(guò)窄的區(qū)間雖然看上去很準(zhǔn)確，但把握性就會(huì)降低，除非無(wú)限制增加樣本量，而現(xiàn)實(shí)中樣本量總是有限的區(qū)間估計(jì)總是要給結(jié)論留點(diǎn)兒余地置信區(qū)間的表述

(confidenceinterval)4-16區(qū)間估計(jì)的基本要素包括：樣本點(diǎn)估計(jì)值、抽樣極限誤差、估計(jì)的可靠程度樣本點(diǎn)估計(jì)值抽樣極限誤差：可允許的誤差范圍。抽樣估計(jì)的可靠程度（置信度、概率保證程度）及概率度注意：本教材所進(jìn)行的區(qū)間估計(jì)僅指對(duì)總體平均數(shù)或比例的區(qū)間估計(jì)，并且在際計(jì)算過(guò)程中使用下面的式子。式中Δ是極限誤差。4-17區(qū)間估計(jì)的內(nèi)容2

已知2未知均值方差比例置信區(qū)間4-18平均數(shù)的區(qū)間估計(jì)對(duì)總體平均數(shù)或成數(shù)的區(qū)間估計(jì)時(shí)，使用下面的式子

(式中Δ是極限誤差)有兩種模式：1、根據(jù)置信度1-α，求出極限誤差Δ，并指出總體平均數(shù)的估計(jì)區(qū)間。2、給定極限誤差，求置信度。2017-6-5總體均值區(qū)間的一般表達(dá)式總體均值的置信區(qū)間是由樣本均值加減估計(jì)誤差得到的估計(jì)誤差由兩部分組成：一是點(diǎn)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)誤差，它取決于樣本統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布。二是估計(jì)時(shí)所要的求置信水平為時(shí)，統(tǒng)計(jì)量分布兩側(cè)面積為的分位數(shù)值，它取決于事先所要求的可靠程度總體均值在置信水平下的置信區(qū)間可一般性地表達(dá)為樣本均值±分位數(shù)值×樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差4-20當(dāng)σ已知時(shí)，根據(jù)相關(guān)的抽樣分布定理，服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

N(0,1)。查正態(tài)分布概率表，

可得（一般記為），則，根據(jù)重復(fù)抽樣與不重復(fù)抽樣的求法的不同，進(jìn)一步可得總體平均數(shù)的估計(jì)區(qū)間：重復(fù)抽樣時(shí)，區(qū)間的上下限為：不重復(fù)抽樣時(shí)，區(qū)間的上下限為：平均數(shù)區(qū)間估計(jì)—第1種模式(求置信區(qū)間)4-214-22平均數(shù)區(qū)間估計(jì)—第1種模式(求置信區(qū)間)若總體方差未知，則在計(jì)算時(shí)，使用樣本方差代替總體方差，此時(shí)

服從自由度為n-1的t分布。查t分布表可得，并記為于是：重復(fù)抽樣時(shí)，區(qū)間的上下限為：不重復(fù)抽樣時(shí)，區(qū)間的上下限為：大樣本時(shí)，t分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布非常接近，可直接從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表查臨界值4-23例：總體平均數(shù)的區(qū)間估計(jì)1對(duì)某型號(hào)的電子元件進(jìn)行耐用性能檢查，抽查資料分組如下表，要求估計(jì)該批電子元件的平均耐用時(shí)數(shù)的置信區(qū)間（置信度95%）。4-2468.27%的樣本表示樣本均值落在…區(qū)間的概率是1-α，例對(duì)總體均值區(qū)間估計(jì)的進(jìn)一步理解2017-6-5總體均值的區(qū)間估計(jì)

(大樣本的估計(jì))1. 假定條件總體服從正態(tài)分布,且方差(２)

已知如果不是正態(tài)分布，可由正態(tài)分布來(lái)近似(n

30)使用正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)量z總體均值在1-置信水平下的置信區(qū)間為例5-7某企業(yè)加工的產(chǎn)品直徑X是一隨機(jī)變量，且服從方差為0.0025的正態(tài)分布。從某日生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中隨機(jī)抽取6個(gè)，測(cè)得平均直徑為16厘米，試在0.95的置信度下，求該產(chǎn)品直徑的均值置信區(qū)間。解：本例產(chǎn)品數(shù)量很多，即總體單位數(shù)N很大，故采用放回抽樣的有關(guān)公式計(jì)算。樣本平均數(shù)樣本平均的標(biāo)準(zhǔn)差抽樣極限誤差所求μ的置信區(qū)間為：16-0.04<μ<16+0.04即（15.96，16.04）。2017-6-5總體均值的區(qū)間估計(jì)

(小樣本的估計(jì))1. 假定條件總體服從正態(tài)分布,但方差(２)

未知小樣本(n<30)使用t

分布統(tǒng)計(jì)量總體均值在1-置信水平下的置信區(qū)間為例5-8在例5-3中，若總體方差未知，但通過(guò)抽取的6個(gè)樣本測(cè)得的樣本方差為0.0025，試在0.95的置信度下，求該產(chǎn)品直徑的均值置信區(qū)間。解： 所求μ的置信區(qū)間為：16-0.0525<μ<16+0.0525，即（15.95，16.05）。4-29平均數(shù)區(qū)間估計(jì)—第2種模式(求置信度)給定極限誤差，求置信度4-30例：總體平均數(shù)的區(qū)間估計(jì)2例：經(jīng)抽樣調(diào)查計(jì)算樣本畝產(chǎn)糧食600公斤，并求得抽樣平均誤差為3公斤，現(xiàn)給定允許極限誤差為6公斤，求置信區(qū)間包含總體平均畝產(chǎn)的概率，即求置信水平。結(jié)果表明，如果多次反復(fù)抽樣，每次都可以由樣本值確定一個(gè)估計(jì)區(qū)間，每個(gè)區(qū)間或者包含總體參數(shù)的真值，或者不包含總體參數(shù)的真值，包含真值的區(qū)間占F(z),即每一萬(wàn)次抽樣，就有9545個(gè)樣本區(qū)間包括總體畝產(chǎn)，其余455個(gè)樣本區(qū)間不包括總體平均數(shù)，即若接受估計(jì)區(qū)間的判斷要冒4.55%的機(jī)會(huì)犯錯(cuò)誤的風(fēng)險(xiǎn)。4-31例：總體平均數(shù)的區(qū)間估計(jì)3對(duì)某型號(hào)的電子元件進(jìn)行耐用性能檢查，抽查資料分組如下表，設(shè)該廠的產(chǎn)品質(zhì)量檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定，元件耐用時(shí)數(shù)達(dá)到1000小時(shí)以上為合格品。要求估計(jì)該批電子元件的合格率，置信水平95%。4-32總體均值區(qū)間估計(jì)總結(jié)總體平均數(shù)估計(jì)區(qū)間的上下限總體方差已知N(0,1)重復(fù)抽樣不重復(fù)抽樣總體方差未知t(n-1)大樣本時(shí)近似服從N(0,1)重復(fù)抽樣不重復(fù)抽樣

如果是正態(tài)總體4-33

如果不是正態(tài)總體，或分布未知總體方差已知且是大樣本總體方差未知且是大樣本

此時(shí)不考慮小樣本情況因此，大樣本情況下，直接用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布求置信區(qū)間即可?？傮w均值的區(qū)間估計(jì)總體分布小樣本正態(tài)分布未知分布樣本容量大樣本區(qū)間估計(jì)（放回）總體方差已知未知未知已知大樣本小樣本大樣本大樣本4-35比例的區(qū)間估計(jì)由于總體的分布是（0，1）分布，只有在大樣本的情況下，才服從正態(tài)分布?？傮w比例可以看成是一種特殊的平均數(shù)，類似于總體平均數(shù)的區(qū)間估計(jì)，總體比例的區(qū)間估計(jì)的上下限是：注意：在實(shí)踐中，由于總體比例常常未知，這時(shí)，抽樣平均誤差公式中的總體成數(shù)用樣本成數(shù)代替。大樣本的條件：np≥5且n(1-p)≥5，由于總體比例p通常未知，可以用樣本比例來(lái)近似判斷。4-36總體比例估計(jì)區(qū)間估計(jì)總結(jié)總體成數(shù)比例估計(jì)區(qū)間的上下限 只考慮大樣本情況（請(qǐng)記住大樣本條件）

【例6-6】估計(jì)某市居民家庭電腦的普及率，隨機(jī)抽取900戶居民調(diào)查，其中675戶居民擁有個(gè)人電腦。以概率95.45%的保證程度，估計(jì)該市居民電腦的普及率的置信區(qū)間。

解：樣本比例：，

，所以=（72.2%，77.8%）即以概率95.45%的保證程度，此次抽樣得該市居民電腦的普及率的區(qū)間估計(jì)為72.2~78.8%之間。2017-6-5總體方差的區(qū)間估計(jì)1. 估計(jì)一個(gè)總體的方差或標(biāo)準(zhǔn)差2. 假設(shè)總體服從正態(tài)分布總體方差2

的點(diǎn)估計(jì)量為s2,且4.總體方差在1-置信水平下的置信區(qū)間為2017-6-5總體方差的區(qū)間估計(jì)

(圖示)2017-6-5總體方差的區(qū)間估計(jì)

(例題分析)【例5-5】一家食品生產(chǎn)企業(yè)以生產(chǎn)袋裝食品為主，現(xiàn)從某天生產(chǎn)的一批食品中隨機(jī)抽取了25袋，測(cè)得每袋重量如下表所示。已知產(chǎn)品重量的分布服從正態(tài)分布。以95%的置信水平建立該種食品重量方差的置信區(qū)間

25袋食品的重量112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.595.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.695.497.8108.6105.0136.8102.8101.598.493.32017-6-5總體方差的區(qū)間估計(jì)

(例題分析)解:已知n＝25，1-＝95%,根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得

s2=93.21

2置信度為95%的置信區(qū)間為該企業(yè)生產(chǎn)的食品總體重量標(biāo)準(zhǔn)差的的置信區(qū)間為7.54g~13.43g4-43對(duì)總量指標(biāo)的區(qū)間估計(jì)在對(duì)總體平均數(shù)進(jìn)行區(qū)間估計(jì)的基礎(chǔ)上，可進(jìn)一步推斷相應(yīng)的總量指標(biāo)，即用總體單位總數(shù)N分別乘以總體平均數(shù)的區(qū)間下限和區(qū)間上限，便得到相應(yīng)總量（Nμ）的區(qū)間范圍。4-44例1某廠對(duì)一批產(chǎn)品的質(zhì)量進(jìn)行抽樣檢驗(yàn)，采用重復(fù)抽樣抽取樣品200只，樣本優(yōu)質(zhì)率為85%，試計(jì)算當(dāng)把握程度為90%時(shí)優(yōu)質(zhì)品率的區(qū)間范圍。4-45例2某商場(chǎng)從一批食品（共800袋）中隨機(jī)抽取40袋（假設(shè)用重復(fù)抽樣），測(cè)得每袋平均重量為791.1克，標(biāo)準(zhǔn)差為17.136克，要求以95%的把握程度，估計(jì)這批食品的平均每袋重量以及這批食品總重量的區(qū)間范圍。[800*778.84,800*803.36]，即[623072,642688]

4-46三、樣本容量確定什么是樣本容量確定問(wèn)題？4-47確定樣本容量在設(shè)計(jì)抽樣時(shí)，先確定允許的誤差范圍和必要的概率保證程度，然后根據(jù)歷史資料或試點(diǎn)資料確定總體的標(biāo)準(zhǔn)差，最后來(lái)確定樣本容量。估計(jì)總體均值時(shí)樣本容量的確定重復(fù)抽樣不重復(fù)抽樣估計(jì)成數(shù)時(shí)樣本容量的確定重復(fù)抽樣不重復(fù)抽樣4-48確定樣本容量應(yīng)注意的問(wèn)題計(jì)算樣本容量時(shí)，一般總體的方差與比例都是未知的，可用有關(guān)資料替代：一是用歷史資料已有的方差與比例代替；二是在進(jìn)行正式抽樣調(diào)查前進(jìn)行幾次試驗(yàn)性調(diào)查，用試驗(yàn)中方差的最大值代替總體方差；三是成數(shù)方差在完全缺乏資料的情況下，就用比例方差的最大值0.25代替。如果進(jìn)行一次抽樣調(diào)查，同時(shí)估計(jì)總體均值與比例，用上面的公式同時(shí)計(jì)算出兩個(gè)樣本容量，可取一個(gè)最大的結(jié)果，同時(shí)滿足兩方面的需要。上面的公式計(jì)算結(jié)果如果帶小數(shù)，這時(shí)樣本容量不按四舍五入法則取整數(shù)，取比這個(gè)數(shù)大的最小整數(shù)代替。例如計(jì)算得到：n=56.03，那么，樣本容量取57，而不是56。4-49例：確定樣本容量1對(duì)某批木材進(jìn)行檢驗(yàn)，根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，木材長(zhǎng)度的標(biāo)準(zhǔn)差為0.4米，而合格率為90%?，F(xiàn)采用重復(fù)抽樣方式，要求在95.45%的概率保證程度下，木材平均長(zhǎng)度的極限誤差不超過(guò)0.08米，抽樣合格率的極限誤差不超過(guò)5%，問(wèn)必要的樣本單位數(shù)應(yīng)該是多少？4-50例：確定樣本容量2對(duì)某批木材進(jìn)行檢驗(yàn)，根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，木材的合格率為90%、92%、95%?，F(xiàn)采用重復(fù)抽樣方式，要求在95.45%的概率保證程度下，抽樣合格率的極限誤差不超過(guò)5%，問(wèn)必要的樣本單位數(shù)應(yīng)該是多少？2017-6-5

練習(xí)1

一家保險(xiǎn)公司收集到由36個(gè)投保人組成的隨機(jī)樣本，得到每個(gè)投保人的年齡(單位：周歲)數(shù)據(jù)如下表。試建立投保人年齡90%的置信區(qū)間

36個(gè)投保人年齡的數(shù)據(jù)2335392736443642464331334253455447243428393644403949383448503439454845322017-6-5總體均值的區(qū)間估計(jì)

(大樣本的估計(jì))解：已知n=36,1-=90%，z/2=1.645。根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得：，

總體均值在1-置信水平下的置信區(qū)間為投保人平均年齡的置信區(qū)間為37.37歲~41.63歲2017-6-5練習(xí)2已知某種燈泡的壽命服從正態(tài)分布，現(xiàn)從一批燈泡中隨機(jī)抽取16只，測(cè)得其使用壽命(單位：h)如下。建立該批燈泡平均使用壽命95%的置信區(qū)間16燈泡使用壽命的數(shù)據(jù)15101520148015001450148015101520148014901530151014601460147014702017