2022-2023學(xué)年北京市師大附中高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期數(shù)學(xué)期末試題【含答案】

2022-2023學(xué)年北京市師大附中高二上學(xué)期數(shù)學(xué)期末試題一、單選題1．已知向量，且，那么（

）A． B．9 C． D．18【答案】D【分析】，則，使得，據(jù)此計(jì)算即可.【詳解】依題意，由可知，，使得，于是，解得于是.故選：D.2．已知為原點(diǎn)，點(diǎn)，以為直徑的圓的方程為(

)A． B．C． D．【答案】A【分析】求圓的圓心和半徑，根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可求解﹒【詳解】由題知圓心為，半徑，∴圓的方程為﹒故選：A﹒3．已知雙曲線的漸近線方程為，則實(shí)數(shù)m的值為（

）A． B．4 C． D．【答案】B【分析】利用雙曲線方程得出，再利用漸近線定義得，解方程求出值.【詳解】已知方程表示的曲線為雙曲線，所以，該雙曲線的漸近線為，又，得出故選：B.4．若拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)重合，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)即是拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出準(zhǔn)線方程.【詳解】∵橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，∴拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，∴拋物線的準(zhǔn)線方程為，故選：D.5．已知直線l過(guò)點(diǎn)，且與直線垂直，則直線l的一般式方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意設(shè)直線方程為，然后將點(diǎn)坐標(biāo)代入求出，從而可求出直線方程【詳解】因?yàn)橹本€與直線垂直，所以設(shè)直線方程為，因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，所以，得，所以直線方程為，故選：B.6．布達(dá)佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達(dá)·芬奇方磚，在正六邊形上畫(huà)了具有視覺(jué)效果的正方體圖案（如圖1），把三片這樣的達(dá)·芬奇方磚形成圖2的組合，這個(gè)組合表達(dá)了圖3所示的幾何體．若圖3中每個(gè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則點(diǎn)A到平面的距離是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求平面的法向量，用點(diǎn)到平面的距離公式計(jì)算即可.【詳解】建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：則，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，則平面的一個(gè)法向量為，則點(diǎn)A到平面的距離.故選：C7．如圖，在正方體中，E是棱CD上的動(dòng)點(diǎn)．則下列結(jié)論不正確的是（

）A．平面B．C．直線AE與所成角的范圍為D．二面角的大小為【答案】C【分析】由平面平面，平面，即可判斷A；建立空間直角坐標(biāo)系計(jì)算即可判斷選項(xiàng)B；求的范圍即可判斷選項(xiàng)C；先找出二面角的平面角為即可判斷選項(xiàng)D，進(jìn)而可得正確選項(xiàng)．【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)槠矫嫫矫?，平面，所以平面，故選項(xiàng)A正確；如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則，，，，，對(duì)于選項(xiàng)B：，，因?yàn)?，所以，即，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：，，設(shè)直線與所成角為，則，當(dāng)時(shí)最大等于，此時(shí)最小為，當(dāng)時(shí)最小等于0，此時(shí)最大為，所以，即直線與所成角的范圍為，故選項(xiàng)C不正確；對(duì)于選項(xiàng)D：二面角即二面角，因?yàn)?，，平面，平面，所以即為二面角的平面角，在正方形中，，所以二面角的大小為，故選項(xiàng)D正確，故選：C.8．設(shè)是首項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，公比為q，則“”是“對(duì)任意正整數(shù)n，”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義判斷．【詳解】是首項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，若公比，則數(shù)列中奇數(shù)項(xiàng)為正，偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)，一定有，充分性滿足，但是時(shí)，數(shù)列各項(xiàng)均為正，，也就是說(shuō)時(shí)，得不出，不必要．故選：A．9．在平面直角坐標(biāo)系中，圓的方程為，若直線上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓與圓有公共點(diǎn)，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】化圓的方程為，求出圓心與半徑，由題意，只需與直線有公共點(diǎn)即可．【詳解】解：圓的方程為，整理得：，即圓是以為圓心，1為半徑的圓；又直線上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓有公共點(diǎn)，只需圓與直線有公共點(diǎn)即可．設(shè)圓心到直線的距離為，則，即，．的最小值是．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，將條件轉(zhuǎn)化為“與直線有公共點(diǎn)”是關(guān)鍵，考查學(xué)生靈活解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．10．已知曲線，點(diǎn)，下面有四個(gè)結(jié)論：①曲線C關(guān)于x軸對(duì)稱；②曲線C與y軸圍成的封閉圖形的面積不超過(guò)4；③曲線C上任意點(diǎn)P滿足；④曲線C與曲線有5個(gè)不同的交點(diǎn)．則其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（

）A．②③ B．①④ C．①③④ D．①②③【答案】D【分析】根據(jù)點(diǎn)對(duì)稱即可判斷①；根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)可判斷②；根據(jù)雙曲線和橢圓上的點(diǎn)到的距離可做出判斷③；由直線與曲線的關(guān)系可判斷④.【詳解】①：在上時(shí)，也在上，曲線關(guān)于軸對(duì)稱，故①對(duì)；②：當(dāng)，此時(shí)曲線是橢圓的右半部分.矩形的面積為封閉圖形面積不超過(guò)故②對(duì)；③：當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上，可知曲線上任意點(diǎn)滿足，故③對(duì).④：與曲線相交于點(diǎn)，與曲線相交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)雙曲線的漸近線方程為，與，平行，故不會(huì)有交點(diǎn).所以共有3個(gè)交點(diǎn)，故④錯(cuò).故選：D.二、填空題11．已知等比數(shù)列中，，則數(shù)列的前5項(xiàng)和____________．【答案】【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由條件結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式列方程求q，利用等比數(shù)列求和公式求．【詳解】設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，因?yàn)?，，所以，解得，則數(shù)列的前5項(xiàng)和.故答案為：．12．已知圓，若直線與圓C相交得到的弦長(zhǎng)為，則____________．【答案】##-0.75【分析】根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出圓心坐標(biāo)和半徑，利用點(diǎn)到直線的距離公式和幾何法求出圓的弦長(zhǎng)，列出關(guān)于k的方程，解之即可.【詳解】由圓，得圓心，半徑，則圓心到直線即的距離為，所以，有，解得.故答案為：.13．已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，離心率為，點(diǎn)在橢圓上，若，則的面積為_(kāi)___________．【答案】3【分析】根據(jù)已知可得，，.根據(jù)橢圓的定義有，根據(jù)有.即可求出，進(jìn)而求出三角形的面積.【詳解】由已知可得，，，所以，.因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，由橢圓的定義可得，，所以.又，所以為直角三角形，則，所以，所以.故答案為：3.14．已知正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)M，N分別是棱BC，C1D1的中點(diǎn)，點(diǎn)P在平面內(nèi)，點(diǎn)Q在線段A1N上，若，則PQ長(zhǎng)度的最小值為_(kāi)___.【答案】1【分析】取的中點(diǎn)，連接，得到，求得，得到點(diǎn)在以為圓心，1為半徑的半圓上，在平面圖形中，求得，結(jié)合，即可求解.【詳解】如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，則平面，所以，因?yàn)椋襟w的棱長(zhǎng)為2，是的中點(diǎn)，所以，所以點(diǎn)在以為圓心，1為半徑的位于平面內(nèi)的半圓上，單獨(dú)畫(huà)出平面及相關(guān)點(diǎn)、線，如圖所示，所以點(diǎn)到的距離減去半徑就是長(zhǎng)度的最小值，連接，作交于，則，所以，解得所以長(zhǎng)度的最小值為.故答案為：.三、雙空題15．角谷猜想又稱冰雹猜想，是指任取一個(gè)正整數(shù)，如果它是奇數(shù)，就將它乘以3再加1；如果它是偶數(shù)，則將它除以2．反復(fù)進(jìn)行上述兩種運(yùn)算，經(jīng)過(guò)有限次步驟后，必進(jìn)入循環(huán)圈．如取正整數(shù)，根據(jù)上述運(yùn)算法則得出，共需要經(jīng)過(guò)8個(gè)步驟變成1（簡(jiǎn)稱為8步“雹程”），已知數(shù)列滿足：（m為正整數(shù)），①若，則使得至少需要_______步雹程；②若；則m所有可能取值的和為_(kāi)______．【答案】

9

385【分析】根據(jù)題目所給的步驟逐步計(jì)算即可.【詳解】m=13，依題意，，共9共步驟；若，，

或，若，若，的集合為，其和為385；故答案為：9,385.四、解答題16．已知公差不為零的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)為等差數(shù)列，前項(xiàng)和為，，且成等比數(shù)列．利用公式即可求解公差和首項(xiàng)，可得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）將的帶入求解的通項(xiàng)公式，利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．【詳解】（1）根據(jù)為等差數(shù)列，．前項(xiàng)和為，且，即，…①∵成等比數(shù)列．可得：．∴…②由①②解得：，∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為（2）由，即=．那么：數(shù)列的前項(xiàng)和.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“裂項(xiàng)求和”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．17．如圖.在正方體中，E為的中點(diǎn)．(1)求證：平面ACE；(2)求直線AD與平面ACE所成角的正弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)詳解(2)【分析】（1）連連接BD與AC交于點(diǎn)O，根據(jù)中位線定理可知，然后根據(jù)線面平行的判定定理可得.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算，平面的一個(gè)法向量，然后根據(jù)空間向量的夾角公式計(jì)算即可.【詳解】（1）如圖所示：，連接BD與AC交于點(diǎn)O，因?yàn)镺，E為中點(diǎn)，所以,又平面，平面，所以平面；（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系令，所以設(shè)平面的一個(gè)法向量為所以，令所以，所以直線AD與平面ACE所成角的正弦值18．如圖，在三棱柱中，平面，是邊長(zhǎng)為的正三角形，分別為的中點(diǎn)．(1)求證：平面．(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）證明，，進(jìn)而根據(jù)判定定理即可證明；（2）取的中點(diǎn)為，連接，證明，，進(jìn)而建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz，利用坐標(biāo)法求解即可；【詳解】（1）解：在三棱柱中，因?yàn)槠矫?，平面，所以．又為等邊三角形，為的中點(diǎn)，所以．因?yàn)槠矫?，所以平面．?）解：取的中點(diǎn)為，連接，因?yàn)樵谌庵校倪呅螢槠叫兴倪呅?，分別為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以所以．由?）知，故建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz，由題意得所以，．設(shè)平面的法向量，則，令，則，所以．由題意可知，平面的一個(gè)法向量因?yàn)椋梢阎傻枚娼菫殇J角，所以二面角的余弦值為．19．已知橢圓：的離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)作直線與橢圓相較于，兩點(diǎn)，試問(wèn)在軸上是否存在定點(diǎn)，使得兩條不同直線，恰好關(guān)于軸對(duì)稱，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）存在，使得兩條不同直線，恰好關(guān)于軸對(duì)稱.【解析】（1）將點(diǎn)坐標(biāo)代入方程，結(jié)合離心率公式及，即可求出，進(jìn)而可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線l的方程為，與橢圓聯(lián)立，可得，的表達(dá)式，根據(jù)題意可得，直線，的斜率互為相反數(shù)，列出斜率表達(dá)式，計(jì)算化簡(jiǎn)，即可求出Q點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】（1）有題意可得，解得，所以橢圓的方程為.（2）存在定點(diǎn)，滿足直線，恰好關(guān)于x軸對(duì)稱，設(shè)直線l的方程為，由，聯(lián)立得，，設(shè)，定點(diǎn)，由題意得，所以，因?yàn)橹本€，恰好關(guān)于x軸對(duì)稱，所以直線，的斜率互為相反數(shù)，所以，即，所以，即，所以，即，所以當(dāng)時(shí)，直線，恰好關(guān)于x軸對(duì)稱，即.綜上，在軸上存在定點(diǎn)，使直線，恰好關(guān)于x軸對(duì)稱.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的方程及幾何性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是將條件：直線，恰好關(guān)于x軸對(duì)稱，轉(zhuǎn)化為直線，的斜率互為相反數(shù)，再根據(jù)韋達(dá)定理及斜率公式，進(jìn)行求解，考查分析理解，計(jì)算求值的能力，屬中檔題.20．已知拋物線E：x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)為F，A(2，y0)是E上一點(diǎn)，且|AF|＝2.（1）求E的方程；（2）設(shè)點(diǎn)B是E上異于點(diǎn)A的一點(diǎn)，直線AB與直線y＝x－3交于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交E于點(diǎn)M，證明：直線BM過(guò)定點(diǎn).【答案】（1）x2＝4y；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）利用拋物線的定義與性質(zhì)求得的值，即可寫(xiě)出拋物線方程；（2）設(shè)點(diǎn)、，由直線的方程和拋物線方程聯(lián)立，消去，利用韋達(dá)定理和、、三點(diǎn)共線，化簡(jiǎn)整理可得的方程，從而求出直線所過(guò)的定點(diǎn)．【詳解】（1）由題意得，解得，所以，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）證明：設(shè)點(diǎn)、，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去得，由韋達(dá)定理得，，由軸以及點(diǎn)在直線上，得，則由、、三點(diǎn)共線，得，整理得，將韋達(dá)定理代入上式并整理得，由點(diǎn)的任意性，得，得，所以，直線的方程為，即直線過(guò)定點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的性質(zhì)，直線和拋物線的位置關(guān)系，以及直線過(guò)定點(diǎn)的應(yīng)用問(wèn)題，利用韋達(dá)定理處理由、、三點(diǎn)共線是解第二問(wèn)的關(guān)鍵，是中檔題．21．已知有限數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列．若存在等差數(shù)列，對(duì)于A中任意一項(xiàng)，都有，則稱數(shù)列A是長(zhǎng)為m的數(shù)列．（1）判斷下列數(shù)列是否為數(shù)列（直接寫(xiě)出結(jié)果）：①數(shù)列1，4，5，8；②數(shù)列2，4，8，16．（2）若，證明：數(shù)列a，b，c為數(shù)列；（3）設(shè)M是集合的子集，且至少有28個(gè)元素，證明：M中的元素可以構(gòu)成一個(gè)長(zhǎng)為4的數(shù)列．【答案】（1）①數(shù)列，，，是數(shù)列；②數(shù)列，，，是數(shù)列；（2）證明見(jiàn)解析；（3）證明見(jiàn)解析．【分析】（1）由數(shù)列的新定義，可直接判定，得到答案；（2）分當(dāng)，和三種情況討論，結(jié)合數(shù)列的新定義，即可求解；（3）假設(shè)中沒(méi)有長(zhǎng)為的數(shù)列，先考慮集合，得到存在一個(gè)，使得中沒(méi)有一個(gè)元素屬于，再考慮集合，得到存在一個(gè)，使得中沒(méi)有一個(gè)元素屬于，進(jìn)而證得集合中至多有個(gè)元素，即可得到結(jié)論.【詳解】（1）由數(shù)列的新定義，可得數(shù)列，，，是數(shù)列；數(shù)列，，，是數(shù)列．（2）①當(dāng)時(shí)，令，，，，所以數(shù)列，，，為等差數(shù)列，且，所以數(shù)列，，為數(shù)列．②當(dāng)時(shí)，令，，，，所以數(shù)列，，，為等差數(shù)列，且．所以數(shù)列，，為數(shù)列．③當(dāng)時(shí)，令，，，，所以數(shù)列，，，為等差數(shù)列，且．所以數(shù)列，，為數(shù)列．綜上，若，數(shù)列，，為數(shù)列．（3）假設(shè)中沒(méi)有長(zhǎng)為的數(shù)列，考慮集合，，，，．因?yàn)閿?shù)列，，，，是一個(gè)共有5項(xiàng)的等差數(shù)列，所以存在一個(gè)，使得中沒(méi)有一個(gè)元素屬于．對(duì)于其余的，再考慮集合，，，，．因?yàn)?，，，，是一個(gè)共有5項(xiàng)的等差數(shù)列，所以存在一個(gè)，使