浙大版概率論第04講

第二章

隨機(jī)變量及其分布為什么要研究學(xué)習(xí)隨機(jī)變量,首先看一個(gè)實(shí)際問(wèn)題.例1從某型電子元件中任取一件,觀測(cè)其壽命(設(shè)為試驗(yàn)E)我們關(guān)心諸如{壽命在15002000小時(shí)},{壽命小于1000小時(shí)}等事件的概率.這些只是隨機(jī)試驗(yàn)事件E的某些特殊的事件.

問(wèn)題我們希望了解隨機(jī)現(xiàn)象某方面的特性，此時(shí)需要掌握某些關(guān)心的事件的概率。如何用數(shù)學(xué)的方法系統(tǒng)地表達(dá)這些事件，從而研究隨機(jī)現(xiàn)象的特性呢？——通過(guò)引入一個(gè)變量，即X:SR1,的方法來(lái)進(jìn)行研究，并且希望通過(guò){e:X(e)B}來(lái)表達(dá)關(guān)心的事件,其中B為R1上可以度量的區(qū)域。這樣我們就可以利用數(shù)學(xué)分析的方法研究隨機(jī)現(xiàn)象。

例2.擲一枚硬幣，觀察其面朝上的情況

樣本空間，S={正面，反面）

滿足

X(正面）=1，X（反面）=0定義映射X:SR

也稱X為擲一枚硬幣，其面朝上的次數(shù)。例3.對(duì)于某型電子元件，任抽一件，觀測(cè)其壽命。

樣本空間，S={t;t0）定義映射X:SRtt

也稱X為任抽該型一電子元件，該電子元件的壽命。以上我們定義了樣本空間到實(shí)數(shù)域上的一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系X：e.X(e)R§2-1隨機(jī)變量

定義：

設(shè)(S，，P)是一概率空間，若X為樣本空間S上的函數(shù)：X：S

R1

e

X(e)滿足：xR1,有{e:X(e)x}

則稱X(e)為(S,,P)上的一個(gè)隨機(jī)變量。常常將{e：X(e)x}簡(jiǎn)記為（Xx）。

隨機(jī)變量與一般實(shí)函數(shù)的比較：

X的取值隨試驗(yàn)的結(jié)果而定，因而在試驗(yàn)之前只知道它可能取值的范圍，而不能預(yù)先肯定它將取哪個(gè)值。我們可以求它取某一值的概率，或它取值落入某一集合的概率。如P(e:X(e)=1)=P(X=1),P(e:X(e)L)=P(XL).

這些性質(zhì)顯示了隨機(jī)變量與普通函數(shù)有著本質(zhì)的差異.

有了隨機(jī)變量，隨機(jī)試驗(yàn)中的各種事件，就可以通過(guò)隨機(jī)變量的取值表達(dá)出來(lái)。

隨機(jī)變量概念的產(chǎn)生是概率論發(fā)展史上的重大事件。引入隨機(jī)變量后，對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的研究，就由對(duì)事件及事件概率的研究擴(kuò)大為對(duì)隨機(jī)變量及其取值規(guī)律的研究.事件及事件概率隨機(jī)變量及其取值規(guī)律§2-2離散型隨機(jī)變量

1

定義

若隨機(jī)變量X所有可能的取值為有限個(gè)或可列無(wú)窮多個(gè)，則稱X為離散型隨機(jī)變量。否則稱為非離散型隨機(jī)變量。

2.離散型隨機(jī)變量的分布

定義：若隨機(jī)變量X所有可能的取值為x1，x2，…，xi，…，且X取這些值的概率為

P(X=xi)=pi,i=1,2,...（2.1）則稱（2.1）式為離散型隨機(jī)變量X的分布律。(2.1)式也可以用表格的形式表示如下:上述表格稱為離散型隨機(jī)變量X的分布列，分布列也可以表示成下列矩陣的形式Xx1x2…xi…Pp1p2…pi…性質(zhì)

(1)pi0,i=1，2，...(2)例4

設(shè)隨機(jī)變量所有可能取的值為1,2,...,n，且已知P(X=i)與i成正比，求X的分布;

例4`設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為X-123P1/41/21/4求P(X1/2),P(3/2<X

5/2),P(2

X3),

例5.

一汽車沿一街道行駛，需要通過(guò)四個(gè)均設(shè)有信號(hào)燈的路口，每個(gè)信號(hào)燈以1/2的概率允許或禁止汽車通過(guò)，設(shè)各信號(hào)燈的工作是相互獨(dú)立的。以X表示該汽車首次停下時(shí)，它已通過(guò)的路口的個(gè)數(shù)，求X的分布律.解：見(jiàn)書(shū)p32例13幾種常見(jiàn)的離散型隨機(jī)變量(1)單點(diǎn)分布例6

若隨機(jī)變量X只取一個(gè)常數(shù)值C，即P(X=C)=1，則稱X服從單點(diǎn)分布。例7

若隨機(jī)變量X只取兩個(gè)數(shù)值0或1，其分布為X01Pqp(2)0-1分布0<p<1,q=1-p，或記為

P(X=k)=pkq1-k,k=0,1則稱X

服從參數(shù)為p

的兩點(diǎn)分布或參數(shù)為p的0-1分布。(3)幾何分布

例8

一射手每次打靶射擊一發(fā)子彈，打中的概率為p(0<p<1),不中的概率為q=1-p。今向靶作獨(dú)立重復(fù)射擊，直到中靶為止，則消耗的子彈數(shù)X

是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其分布為X123…k…Ppqpq2p…qk-1p或記為

P(X=k)=qk-1p,k=1,2,...稱X服從參數(shù)為p的幾何分布。(4)超幾何分布例9

設(shè)一批同類型的產(chǎn)品共有N件，其中次品有M件。今從中任取n(假定nN-M)件，則這n件中所含的次品數(shù)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其分布為m=0,1…,l,l=min(M,n)

稱X服從超幾何分布

n重伯努利試驗(yàn)概型：(參見(jiàn)書(shū)p41-43)n重伯努利試驗(yàn)中事件

A出現(xiàn)k次的概率記為且

伯努利(Bernoulli)試驗(yàn)概型

每次試驗(yàn)的結(jié)果與其他次試驗(yàn)無(wú)關(guān)——

稱為這n次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的試驗(yàn)可重復(fù)n次每次試驗(yàn)只有兩個(gè)可能的結(jié)果：

解每取一個(gè)球看作是做了一次試驗(yàn)記取得白球?yàn)槭录嗀有放回地取4個(gè)球看作做了4重Bernoulli試驗(yàn),記第i次取得白球?yàn)槭录嗀i感興趣的問(wèn)題為:4次試驗(yàn)中A發(fā)生2次的概率例4

袋中有3個(gè)白球,2個(gè)紅球,有放回地取球4次,每次一只,求其中恰有2個(gè)白球的概率.設(shè)E為伯努利試驗(yàn)，且P(A)=p(0<p<1)，對(duì)于n重伯努利概型En，事件A恰好發(fā)生k(0kn)次的概率為

k=0,1,2,…,n

證明與前面的例4類似.下面看一些例題:例5某射手的命中率為0.9，他獨(dú)立重復(fù)向目標(biāo)射擊5次，求他恰好命中4次的概率.(2)他恰好不命中3次的概率.

例6把有7個(gè)編號(hào)的同類型的球扔進(jìn)4個(gè)編號(hào)的盒子中，每個(gè)球被扔進(jìn)任何一個(gè)盒子中都是等可能的。求第一個(gè)盒子恰有兩個(gè)球的概率。1例7設(shè)有一批產(chǎn)品，共100件，其中4件廢品，96件正品，任取三件測(cè)試（每次測(cè)試是獨(dú)立的），若有一件測(cè)試不合格就拒絕接受。又設(shè)次品在檢查時(shí)測(cè)試為合格品的概率為0.05，而正品被誤測(cè)為不合格的概率是0.01。求該批產(chǎn)品被接受的概率(5)二項(xiàng)分布

設(shè)在一次伯努利試驗(yàn)中有兩個(gè)可能的結(jié)果，且有P(A)=p。則在n重伯努利試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其分布為k=0,1,2,,n,

稱X服從參數(shù)為n，p的二項(xiàng)分布，記為

X~b(n,p)下面看一看它的分布情況:(c)b(6，0.3)的線條圖(6)泊松分布

定義:若離散型隨機(jī)變量X的分布為

k=0，1，2，其中常數(shù)

>0，

則稱X服從參數(shù)為的泊松分布,記為X()。下面看一看它的分布情況:

假設(shè)電話交換臺(tái)每小時(shí)接到的呼叫次數(shù)服從參數(shù)=3的泊松分布，求

(1)

每小時(shí)恰有4次呼叫的概率

(2)一小時(shí)內(nèi)呼叫不超過(guò)5次的概率例10

例11（請(qǐng)見(jiàn)書(shū)p38例5,同學(xué)們自己看一看）

§2-3隨機(jī)變量的分布函數(shù)

1.概念定義2.1

設(shè)X是一隨機(jī)變量（不論是離散型還是非離散型），對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,令

則稱F(x)為X的分布函數(shù)。例12:

設(shè)X服從參數(shù)為p的二點(diǎn)分布，即：

k=0,1其中0<p<1,q=1-p。求X的分布函數(shù)F(x)。解答如下:

解:對(duì)任意實(shí)數(shù)x,由X的分布律知于是2.離散型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)

若X的分布律為，i=1,2,...,則X的分布函數(shù)為

當(dāng)1x<2時(shí)，

F(x)=P(X=0)+P(X=1)=+=當(dāng)x2時(shí)，

F(x)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1例13，求F(x).F(x)=P(X

x)解:故注意右連續(xù)，分段時(shí)等號(hào)在左邊下面我們從圖形上來(lái)看一下.畫分布函數(shù)圖

不難看出，F(xiàn)(x)

的圖形是階梯狀的圖形，在

x=0，1，2處有跳躍，其躍度分別等于P(X=0),P(X=1),P(X=2).3.隨機(jī)變量分布函數(shù)F(x)的性質(zhì)(1)單調(diào)性：若x1<x2,則

F(x1)F(x2)特別地P(a<Xb)=F(b)-F(a)(2)非負(fù)性，規(guī)一性：對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，均有

0

F(x)1

且(3)右連續(xù)性:對(duì)任意的實(shí)數(shù)x0

,有(4)P(X=x0)=F(x0)-F(x0-0)

若F(x)在X=x0處連續(xù)，則

P(X=x0)=0§2-4連續(xù)型隨機(jī)變量一.連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度

1.定義2.2

設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x),如果存在一個(gè)非負(fù)可積函數(shù)f(x),使對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，均有則稱X是連續(xù)型隨機(jī)變量，稱f(x)是X的概率密度或密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱密度。連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x)和密度函數(shù)f(x)統(tǒng)稱為X的概率分布，簡(jiǎn)稱X的分布。2.概率密度函數(shù)的性質(zhì)（1）（2）

f(x)xo面積為1(3)P(a<Xb)=F(b)-F(a)

(4)在f(x)的連續(xù)點(diǎn)x處，有

故

X的密度f(wàn)(x)

在x

這一點(diǎn)的值，恰好是X落在區(qū)間上的概率與區(qū)間長(zhǎng)度之比的極限.它反映了X在x附近單位