理論力學(xué)8-動(dòng)量定理1

動(dòng)力學(xué)引言動(dòng)力學(xué)研究物體機(jī)械運(yùn)動(dòng)與受力之間的關(guān)系。動(dòng)力學(xué)中所研究的力學(xué)模型是質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系(包括剛體)。質(zhì)點(diǎn)：具有一定質(zhì)量而幾何形狀和尺寸大小可以忽略不計(jì)的物體。質(zhì)點(diǎn)系：由兩個(gè)及以上相互有聯(lián)系的質(zhì)點(diǎn)所組成的系統(tǒng)。剛體：質(zhì)點(diǎn)系的特殊情形，其中任意兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)間的距離保持不變，也稱不變的質(zhì)點(diǎn)系。

工程實(shí)際中的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題

若已知初速度、一定的時(shí)間間隔后飛離甲板時(shí)的速度，則需要彈射器施加多大推力，或者確定需要多長(zhǎng)的跑道。

若已知推力和跑道可能長(zhǎng)度，則需要多大的初速度和時(shí)間間隔后飛機(jī)才能達(dá)到飛離甲板時(shí)的速度。

工程實(shí)際中的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題

棒球在被球棒擊打后，其速度的大小和方向發(fā)生了變化。如果已知這種變化即可確定球與棒的相互作用力。Fv1v2

工程實(shí)際中的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題飛船的交會(huì)與對(duì)接v1v2牛頓及其在力學(xué)發(fā)展中的貢獻(xiàn)

牛頓出生于林肯郡伍爾索樸城的一個(gè)中等農(nóng)戶家中。在他出生之前父親即去世，他不到三歲時(shí)母親改嫁了，他不得不靠他的外祖母養(yǎng)大。牛頓三定律1661年牛頓進(jìn)入了劍橋大學(xué)的三一學(xué)院。在大學(xué)期間他全面掌握了當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)和光學(xué)。1665-1666的兩年期間，劍橋流行黑熱病，學(xué)校暫時(shí)停辦，他回到老家。這段時(shí)間中他發(fā)現(xiàn)了二項(xiàng)式定律，開(kāi)始了光學(xué)中的顏色實(shí)驗(yàn)，即白光由7種色光構(gòu)成的實(shí)驗(yàn)。在30歲時(shí)，牛頓被選為皇家學(xué)會(huì)會(huì)員，這是當(dāng)時(shí)英國(guó)最高科學(xué)榮譽(yù)。★

牛頓在光學(xué)上的主要貢獻(xiàn)是發(fā)現(xiàn)了太陽(yáng)光是由7種不同顏色的光合成的，他提出了光的微粒說(shuō)。★牛頓在數(shù)學(xué)上的主要貢獻(xiàn)是與萊布尼茲各自獨(dú)立地發(fā)明了微積分，給出了二項(xiàng)式定理?！锱ｎD在力學(xué)上最重要的貢獻(xiàn)，是他的巨著《自然哲學(xué)之?dāng)?shù)學(xué)原理》。這本書(shū)出版于1687年，書(shū)中提出了萬(wàn)有引力理論并且系統(tǒng)總結(jié)了前人對(duì)動(dòng)力學(xué)的研究成果，后人將這本書(shū)所總結(jié)的經(jīng)典力學(xué)系統(tǒng)稱為牛頓力學(xué)。牛頓三定律第一定律(慣性定律)不受力作用的質(zhì)點(diǎn)，將保持靜止或作勻速直線運(yùn)動(dòng)。

質(zhì)點(diǎn)保持其原有運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不變的屬性稱為慣性。牛頓三定律第二定律(力與加速度關(guān)系定律)在經(jīng)典力學(xué)中質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量是守恒的。上式是推導(dǎo)其它動(dòng)力學(xué)方程的出發(fā)點(diǎn)，稱為動(dòng)力學(xué)基本方程。質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與加速度的乘積，等于作用在質(zhì)點(diǎn)上力的大小，加速度的方向與力的方向相同。牛頓三定律

牛頓三定律不是任何坐標(biāo)系都適用的。凡牛頓定律適用的坐標(biāo)系稱為慣性坐標(biāo)系。反之為非慣性坐標(biāo)系。第三定律（作用與反作用定律）兩個(gè)物體間產(chǎn)生的作用力和反作用力總是大小相等、方向相反，沿著同一作用線同時(shí)分別作用在這兩個(gè)物體上。

以牛頓定律為基礎(chǔ)所形成的力學(xué)理論稱為古典力學(xué)。牛頓三定律

需要注意的是：力與參考系無(wú)關(guān)，但質(zhì)點(diǎn)的加速度與參考系的選擇有關(guān)，牛頓第一、第二定律不是任何參考系都適用的。牛頓定律適用的參考系稱為慣性參考系。質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)方程（質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程）牛頓第二定律的投影形式：牛頓第二定律矢量形式：牛頓第二定律自然坐標(biāo)的投影形式例8-1半徑為R，偏心距OC=e的輪繞軸O以勻角速度ω

轉(zhuǎn)動(dòng)，推動(dòng)導(dǎo)板沿鉛直軌道運(yùn)動(dòng)，如圖所示。導(dǎo)板頂部放有一質(zhì)量為m的物塊A，開(kāi)始時(shí)OC沿水平線。求：（1）物塊對(duì)導(dǎo)板的最大壓力；（2）使物塊不離開(kāi)導(dǎo)板的ω

最大值。解:1、建立圖示直角坐標(biāo)系Oxy，2、運(yùn)動(dòng)分析：導(dǎo)板與物塊均沿y軸線作直線運(yùn)動(dòng).

其運(yùn)動(dòng)方程為

yA

=AB+R+esinωtAmgFNaAAyx

研究物塊A，畫(huà)受力圖。3、由質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)方程有：1°物塊對(duì)導(dǎo)板的最大壓力為2°若物塊剛好離開(kāi)導(dǎo)板，則應(yīng)有要物塊不離開(kāi)導(dǎo)板yxAmgFNaAAF例2小車連同吊起的重物一起在橋式吊車梁上以勻速v0運(yùn)動(dòng)，因?yàn)槟撤N原因急剎車時(shí)，小車下的吊物由于慣性向上擺動(dòng)，吊繩長(zhǎng)5m。求（1）剎車后繩子的最大張力；（2）重物最大擺角。解:1、研究對(duì)象：重物;2、運(yùn)動(dòng)分析：剎車后，小車不動(dòng)，重物由于慣性向上擺動(dòng)，運(yùn)動(dòng)軌跡為圓弧。加速度為切向與法向兩部分。畫(huà)受力圖、加速度圖：3、有質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)方程：mgCv0Fmax出現(xiàn)在剎車的瞬間：3、結(jié)果分析：

max出現(xiàn)什么位置？由方程確定也可以由動(dòng)能定理確定。mgFCv0例3質(zhì)量皆為m的A、B兩物塊以無(wú)重桿光滑鉸接，置于光滑的水平面及鉛垂面上，如圖所示。當(dāng)θ=60°時(shí)自由釋放，求此瞬時(shí)A、B的加速度和桿AB所受的力。解:1、以滑塊A、B為研究對(duì)象，畫(huà)受力圖：AmgNAFABBmgNBFBA3、列滑塊A、B的動(dòng)力學(xué)方程：

2、AB作平面運(yùn)動(dòng)，初瞬時(shí)滑塊A、B的速度為零，桿AB角速度為零。A的加速度向下，B的加速度向右如圖aAaB由于桿重不計(jì)，有FAB

=FBA(1)(2)aAaB也可用加速度投影關(guān)系：(3)4、聯(lián)立求解（1）（2）（3）可得：可用基點(diǎn)法求A、B兩點(diǎn)加速度關(guān)系：

動(dòng)力學(xué)普遍定理包括動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理、動(dòng)能定理。這些定理建立了表現(xiàn)運(yùn)動(dòng)特征的量(動(dòng)量、動(dòng)量矩、動(dòng)能)和表現(xiàn)力作用效果的量(沖量、力矩、功)之間的關(guān)系。

第8章動(dòng)量定理

問(wèn)題的提出：

子彈的質(zhì)量很小，但由于其運(yùn)動(dòng)速度很大，故可穿透堅(jiān)硬的鋼板；M大v小m小v大

由此得到啟示：可用質(zhì)量與速度的乘積來(lái)度量物體的運(yùn)動(dòng)——稱為動(dòng)量。

壓路機(jī)的碾子運(yùn)動(dòng)速度很小，但質(zhì)量很大，可以碾壞擋道的物體。8.1動(dòng)量與沖量8.1.1動(dòng)量1)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量動(dòng)量是矢量,方向與速度方向相同。動(dòng)量的單位為kg·m/s。2)質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與速度的乘積稱為質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量,記為

質(zhì)點(diǎn)系各質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的矢量和稱為質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量。3)用質(zhì)心速度求質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)量中心(質(zhì)心)C的矢徑將上式兩邊同時(shí)對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)，有即：質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量等于質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量與質(zhì)心速度的乘積。CvCvCwCP=mlω/2P=mvcvC=0AOwC例1:分析下列運(yùn)動(dòng)構(gòu)件的動(dòng)量。P=08.1動(dòng)量與沖量8.1.2沖量作用力與作用時(shí)間的乘積稱為常力的沖量。沖量是矢量,方向與力的方向一致。沖量的單位為N·s,與動(dòng)量的量綱相同。常力的沖量變力的沖量－要計(jì)算元沖量而力F在作用時(shí)間t內(nèi)的沖量是矢量積分由牛頓第二定律有將n個(gè)方程相加,即得改變求和與求導(dǎo)次序,則得8.2動(dòng)量定理設(shè)有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，其中第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量為mivi,作用在該質(zhì)點(diǎn)上的外力與內(nèi)力分別為Fi(e)

與Fi(i),有質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量對(duì)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力的矢量和(或外力的主矢)。其中:p=Smivi;由于內(nèi)力成對(duì)出現(xiàn),故所有內(nèi)力的矢量和恒等于零,即SF(i)=0。于是可得8.2.1動(dòng)量定理公式推導(dǎo)質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的微分形式質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的微分投影形式8.2.1質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理得質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的積分形式在某一時(shí)間間隔內(nèi),質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量的改變量等于這段時(shí)間內(nèi)作用于質(zhì)點(diǎn)系外力沖量的矢量和。質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的積分投影形式微分形式也可以寫(xiě)成p2＝p1＝恒矢量8.2.2質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量守恒定律如果作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力的主矢恒等于零，質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量保持不變。如果作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力主矢在某一坐標(biāo)軸（如x軸）上的投影恒等于零，質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量在該坐標(biāo)軸上的投影保持不變。p2x＝p1x

＝恒量例2:重錘的質(zhì)量m＝3000kg,從高度h＝1.5m處自由下落到受鍛壓的工件上,工件發(fā)生變形歷時(shí)t＝0.01s。求錘對(duì)工件的平均壓力。解:以錘為研究對(duì)象,和工件接觸后受力如圖。工件反力是變力,在短暫時(shí)間迅速變化,用平均反力FN*表示。錘自由下落時(shí)間FN*mg由質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的投影形式錘對(duì)工件的平均壓力與反力FN*大小相等,方向相反,與錘的重量mg＝29.4kN比較,是它的56倍,可見(jiàn)這個(gè)力是相當(dāng)大的。FN*mg例3已知平板重為2kN,沙箱重1kN,二者以速度v1＝3.5m/s運(yùn)動(dòng)。此時(shí)有一重為0.5kN的鉛球垂直落入箱中后,測(cè)得箱在平板上滑動(dòng)0.2s,不計(jì)車與地面摩擦,求箱與平板之間的摩擦力。解:研究系統(tǒng),建立坐標(biāo)系。代入已知數(shù)據(jù),解得v2＝3m/s設(shè)沙箱滑動(dòng)結(jié)束后平板速度為v2,則有FN1FN2m1gm2gm3gv1xFN1FN2m1gv2x求箱與平板之間的摩擦力，可以平板為研究對(duì)象代入已知數(shù)據(jù),解得FS＝5kNFNFS由動(dòng)量定理的投影形式有平板重為2kN,沙箱重1kN,鉛球重為0.5kN,v1＝3.5m/s,t＝0.2s。v2＝3m/sFN1FN2m1gm2gm3gv1x8.3.1質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理對(duì)質(zhì)量不變的質(zhì)點(diǎn)系(比如剛體),上式可改寫(xiě)為質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積等于作用于質(zhì)點(diǎn)系外力的矢量和(外力的主矢)。由動(dòng)量定理的微分形式8.3質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理8.3.1質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理形式上,質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理與牛頓第二定律完全相似,因此質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理也可敘述如下:質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心的運(yùn)動(dòng),可以看成一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng),設(shè)想此質(zhì)點(diǎn)集中了整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量及其所受的外力。由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理可知,質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力不影響質(zhì)心的運(yùn)動(dòng),只有外力才能改變質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)。質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理直角坐標(biāo)投影式8.3.1質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理自然軸上的投影式8.3.1質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理1如果作用于質(zhì)點(diǎn)系外力的矢量和恒等于零，則質(zhì)心作勻速直線運(yùn)動(dòng);8.3.2質(zhì)心運(yùn)動(dòng)守恒定律若系統(tǒng)開(kāi)始靜止,則質(zhì)心位置始終保持不變。

以上結(jié)論,稱為質(zhì)心運(yùn)動(dòng)守恒定律。8.3.2質(zhì)心運(yùn)動(dòng)守恒定律2如果作用于質(zhì)點(diǎn)系的所有外力在某軸上投影的代數(shù)和恒等于零,則質(zhì)心速度在該軸上的投影保持不變;若開(kāi)始時(shí)速度投影等于零,則質(zhì)心沿該軸的坐標(biāo)保持不變。ab

例1

質(zhì)量為M的大三角塊放在光滑水平面上,其斜面上放一和它相似的小三角塊,其質(zhì)量為m。尺寸如圖。試求小三角塊由圖示位置滑到底時(shí)大三角塊的位移。解:取系統(tǒng)分析,受力如圖,建立如圖坐標(biāo)。MgmgFN由于SFx(e)＝0,且初始系統(tǒng)靜止,所以xy設(shè)大三角塊向左產(chǎn)生的位移為S，則解得xySabxyMgmgFN例2如圖所示,電動(dòng)機(jī)外殼固定在水平基礎(chǔ)上。設(shè)定子質(zhì)心位于轉(zhuǎn)軸中心O1，轉(zhuǎn)子質(zhì)心O2到O1的距離為e，定子、轉(zhuǎn)子的質(zhì)量分別為m1、m2，已知轉(zhuǎn)子以勻角速度w轉(zhuǎn)動(dòng)。求:(1)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程；(2)基礎(chǔ)對(duì)電機(jī)總的水平和鉛垂反力；(3)若電動(dòng)機(jī)沒(méi)有螺栓固定，各處摩擦不計(jì)，初始時(shí)電機(jī)靜止，求轉(zhuǎn)子以勻角速度w轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)電動(dòng)機(jī)外殼的運(yùn)動(dòng)。解:(1)建立如圖坐標(biāo),任一瞬時(shí)，q＝wt，即有yxqeO2O1w

故質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程為yxqeO2O1w(2)求基礎(chǔ)對(duì)電機(jī)總的水平和鉛垂反力由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理因故得m2gm1gFxFyMyxqeO2O1w(3)若電機(jī)沒(méi)有螺栓固定,各處摩擦不計(jì)，初始時(shí)電機(jī)靜止，求轉(zhuǎn)子以勻角速度w轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)電動(dòng)機(jī)外殼的運(yùn)動(dòng)。在圖示坐標(biāo)下，假設(shè)初始時(shí)xC1＝a(此時(shí)O1O2在垂直位置),當(dāng)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過(guò)q,定子向右移動(dòng)距離S,則即由于SFx(e)＝0,v1＝0，所以質(zhì)心水平位置不變，即xO2O1wm2gm1gFyyaSq以系統(tǒng)為研究對(duì)象,受力如圖。解得由此可見(jiàn),電動(dòng)機(jī)在水平面上作往復(fù)運(yùn)動(dòng)。此時(shí)若,則。因此如電動(dòng)機(jī)無(wú)螺栓固定,它將會(huì)跳起來(lái)。xO2O1wm2gm1gFyyaqSOAB

[練習(xí)]

圖示系統(tǒng)，重物A和B的質(zhì)量分別為m1、m2。若A下降的加速度為a，滑輪質(zhì)量不計(jì)。求支座O的約束力。解:設(shè)A下降的速度為vA,B上升的速度為vB,則由運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系得以整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象,受力如圖,建立如圖坐標(biāo)。系統(tǒng)的動(dòng)量在坐標(biāo)軸上的投影為OABavAvBm1gm2gFOxFOyxy由質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理注意到可得OABOABavAvBm1gm2gFOxFOyxyqxyBACA'B'C'Fymg習(xí)題8-6

均質(zhì)桿AB，長(zhǎng)l，直立在光滑的水平面上。求它從鉛直位置無(wú)初速地倒下時(shí)，端點(diǎn)A相對(duì)圖示坐標(biāo)系的軌跡。解:分析桿AB受力。因水平方向受力為零,所以質(zhì)心C在水平方向上運(yùn)動(dòng)守恒。設(shè)任意瞬時(shí)AB傾角為q，則有消去參數(shù)q得可見(jiàn)運(yùn)動(dòng)軌跡是一個(gè)橢圓。xAyAAyxjCO習(xí)題8-13

質(zhì)量為m長(zhǎng)為2l的均質(zhì)桿OA繞水平固定軸O在鉛垂面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)。已知桿的角速度為w,角加速度為a。求桿在O軸的約束反力。解:采用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理。以桿為研究對(duì)象,受力如圖,建立如圖坐標(biāo)。解得OAawjmgatCanCFOxFOy

均質(zhì)曲柄AB長(zhǎng)為r,質(zhì)量為m1,假設(shè)受力偶作用以不變的角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng),并帶動(dòng)滑槽連桿以及與它固連的活塞D,如圖所示.滑槽、連桿、活塞總質(zhì)