(參考答案)高考數(shù)學難點突破專題訓練（2）：解析幾何

(參考答案)2023高考數(shù)學難點突破專題訓練（2）：解析幾何高考數(shù)學難點突破專題訓練（2）解析幾何★應知應會橢圓的基本量1.如圖(1)，過橢圓的一個焦點且與長軸垂直的弦AB＝________，稱為通徑．圖(1)圖(2)2.如圖(2)，P為橢圓上的點，F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓的兩個焦點，且∠F1PF2＝θ，則△F1PF2的面積為________．3.橢圓上的點到焦點距離的最大值為________，最小值為________．4.設P，A，B是橢圓上不同的三點，其中A，B關于原點對稱，則直線PA與PB的斜率之積為定值________．1.eq\f(2b2,a)2.b2·taneq\f(θ,2)3.a＋ca－c4.－eq\f(b2,a2)直線與橢圓1.直線與圓錐曲線的位置關系的判斷將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，消去一個變量得到關于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0).(1)若a≠0，可考慮一元二次方程的判別式Δ，有：①Δ>0直線與圓錐曲線________；②Δ＝0直線與圓錐曲線________；③Δ<0直線與圓錐曲線________．2.圓錐曲線的弦長設斜率為k(k≠0)的直線l與圓錐曲線C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，則AB＝________．1.(1)①相交②相切③相離2.eq\r(,1＋k2)|x2－x1|＝eq\r(,1＋\f(1,k2))|y2－y1|雙曲線的基本量運算1.過雙曲線的一個焦點且與實軸垂直的弦的長為________．2.如圖，P為雙曲線上的點，F(xiàn)1，F(xiàn)2為雙曲線的兩個焦點，且∠F1PF2＝θ，則△F1PF2的面積為________．3.焦點到漸近線的距離為________．4.設P，A，B是雙曲線上的三個不同的點，其中A，B關于原點對稱，則直線PA與PB的斜率之積為________．1.eq\f(2b2,a)2.eq\f(b2,tan\f(θ,2))3.b4.eq\f(b2,a2)拋物線設AB是過拋物線y2＝2px(p＞0)焦點F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則：(1)x1x2＝eq\f(p2,4)，y1y2＝－p2；(2)AF＝eq\f(p,1－cosα)，BF＝eq\f(p,1＋cosα)，弦長AB＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2α)(α為弦AB的傾斜角)；(3)eq\f(1,FA)＋eq\f(1,FB)＝eq\f(2,p)；(4)以弦AB為直徑的圓與準線相切；(5)以AF或BF為直徑的圓與y軸相切；(6)過焦點弦的端點的切線互相垂直且交點在準線上．直線與圓錐曲線1.已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上任意一點M(除短軸端點外)與短軸兩端點B1，B2的連線分別與x軸交于P，Q兩點，O為橢圓的中心，則OP·OQ＝a2.2.已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上任意一點M(除短軸端點外)與短軸兩端點B1，B2的連線的斜率分別為k1，k2，則k1k2＝－eq\f(b2,a2).3.過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F作直線交拋物線于A，B兩點，且A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2＝eq\f(p2,4)，y1y2＝－p2.4.過拋物線y2＝2px(p>0)的頂點O作兩條互相垂直的直線交拋物線于A，B兩點，則直線AB過定點(2p，0).★熱身訓練（2022—2023學年度第一學期高三階段聯(lián)考）1.（多選題）星形線又稱為四尖瓣線，是數(shù)學中的瑰寶，在生產(chǎn)和生活中有很大應用，便是它的一種表達式，下列有關說法正確的是（

）A．星形線關于對稱 B．星形線圖象圍成的面積小于2C．星形線上的點到軸，y軸距離乘積的最大值為 D．星形線上的點到原點距離的最小值為2.已知點為橢圓的右準線上，直線交橢圓于，且為中點，則橢圓的離心率取值范圍為______________3.已知雙曲線的離心率為，左、右焦點分別為，，焦距為．點在第一象限的雙曲線上，過點作雙曲線切線與直線交于點．(1)證明：；(2)已知斜率為的直線與雙曲線左支交于兩點，若直線，的斜率互為相反數(shù)恒成立，求的面積．★高考引領★難點突破：解析幾何（一）1.（江蘇省蘇州中學、揚州中學、鹽城中學、常州中學2022-2023學年高三上學期12月G4聯(lián)考數(shù)學試卷）若橢圓的焦點為F1，F(xiàn)2，過F1的最短弦PQ的長為10，△PF2Q的周長為36，則此橢圓的離心率為A．eq\f(1,3)B．eq\f(\r(,3),3)C．eq\f(2,3)D．eq\f(\r(,6),3)2.（江蘇省南師附中、天一中學、海安中學、海門中學2022-2023學年高三上學期12月聯(lián)考數(shù)學試卷）已知點P在橢圓C：EQ\F(x\S(2),a\S(2))＋\F(y\S(2),b\S(2))＝1(a＞b＞0)上，點Q在圓F1：(x＋c)2＋y2＝eq\f(1,4)a2，其中c為橢圓C的半焦距，若|PQ|的最大值恰好等于橢圓C的長軸長，則橢圓C的離心率為A．eq\r(,2)－1B．eq\f(3,4)C．eq\f(2,3)D．eq\f(1,2)【答案】D3.(江蘇省常熟市2022-2023學年高三上學期12月份抽測二數(shù)學試題)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線E：EQ\F(x\S(2),a\S(2))－\F(y\S(2),b\S(2))＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦點，點P在E上，D是線段F1F2上點，若∠F1PF2＝eq\f(π,3)，F(xiàn)1D：F2D＝1：2，PD＝4，則當△PF1F2面積最大時，雙曲線E的方程A．EQ\F(x\S(2),12)－\F(y\S(2),9)＝1B．EQ\F(x\S(2),9)－\F(y\S(2),12)＝1C．EQ\F(x\S(2),3)－\F(y\S(2),6)＝1D．EQ\F(x\S(2),6)－\F(y\S(2),3)＝1答案：C4.(江蘇省常熟市2022-2023學年高三上學期12月份抽測二數(shù)學試題)（多選題）瑞士著名數(shù)學家歐拉在1765年得出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直線上，這條直線被后人稱為“歐拉線”．在平面直角坐標系中作△ABC，AB＝AC，點B(－1，3)，點C(4，－2)，圓M：(x＋3)2＋y2＝4，P(x0，y0)是“歐拉線”上一點，過P可作圓的兩條線切，切點分別為D，E．則下列結(jié)論正確的是A．△ABC的“歐拉線”方程為y＝x－1B．圓M上存在點N，使得∠MPN＝eq\f(π,6)C．四邊形PDME面積的最大值為4D．直線DE恒過定點答案：ABD5.（江蘇省南師附中、天一中學、海安中學、海門中學2022-2023學年高三上學期12月聯(lián)考數(shù)學試卷）（多選題）已知O為坐標原點，直線y＝x－eq\f(p,2)與拋物線C：y2＝2px(p＞0)相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，且△AOB的面積為2eq\r(,2)，則A．y1＋y2＝2B．AB的中點到y(tǒng)軸的距離為3C．點T(－1，2)滿足eq\o\ac(\S\UP7(→),TA)·eq\o\ac(\S\UP7(→),TB)＝0D．過點D(－1，y0)(y0∈R)作C的切線，切點為M，N，則O與直線MN距離的最小值為16.（江蘇省泰興中學、南菁高級中學、常州市第一中學三校聯(lián)考2022-2023學年高三上學期第二次階段考試數(shù)學試題）已知分別為雙曲線的左、右焦點，點在雙曲線上，分別為的重心、內(nèi)心，若平行于軸，則的外接圓面積為___________.解析：不妨設在第一象限，由于平行于軸，則內(nèi)切圓半徑，又，則=12，又，則.中余弦定理得，，則，則.所以7.(江蘇省常熟市2022-2023學年高三上學期12月份抽測二數(shù)學試題)過拋物線x2＝4y的準線上一點P作拋物線的兩條切線，兩條切線分別與x軸交于點M，N，則△PMN外接圓面積的最小值為▲．答案：8.（江蘇省南師附中、天一中學、海安中學、海門中學2022-2023學年高三上學期12月聯(lián)考數(shù)學試卷）德國數(shù)學家米勒曾提出最大視角問題，這一問題的一般描述是：已知點A，B是∠MON的ON邊上的兩個定點，C是OM邊上的動點，當C在何處時，∠ACB最大?問題的結(jié)論是：當且僅當△ABC的外接圓與OM相切于點C時，∠ACB最大．人們稱這一命題為米勒定理．已知A(1，1)，B(3，3)，C(a，0)(a＞0)，則∠ACB最大時，a＝．【答案】eqa＝\r(,6)【解析】由題意得∠ACB最大時，△ABC的外接圓與x軸相切，且C為切點，此時圓心G橫坐標為a，且圓心G在線段AB的垂直平分線y＝x＋4上，即圓心G(a，4－a)，半徑r為4－a，因為GA＝r，解得eqa＝\r(,6)．9.（江蘇省泰興中學、南菁高級中學、常州市第一中學三校聯(lián)考2022-2023學年高三上學期第二次階段考試數(shù)學試題）(12分)拋物線，拋物線的焦點是雙曲線的右頂點，過點作直線與C交于M，N兩點(1)求C的方程．(2)若C的一條弦ST經(jīng)過C的焦點，且直線ST與直線MN平行，試問是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，請說明理由．解：（1）由題意，，解得，故C的方程為．…………2分（2）設直線方程為：，直線方程為：，，得，所以………………4分，得，所以………………6分……………8分……………10分假設存在，使得，則………12分10.（江蘇省蘇州中學、揚州中學、鹽城中學、常州中學2022-2023學年高三上學期12月G4聯(lián)考數(shù)學試卷）在平面直角坐標系xOy中，已知點P在拋物線C1：y2＝4x上，圓C2：(x－2)2＋y2＝r2(0＜r＜2)．(1)若r＝1，Q為圓C2上的動點，求線段PQ長度的最小值；(2)若點P的縱坐標為4，過P的直線m，n與圓C2相切，分別交拋物線C1于A，B(異于點P)，求證：直線AB過定點．11.（江蘇省泰興中學、南菁高級中學、常州市第一中學三校聯(lián)考2022-2023學年高三上學期第二次階段考試數(shù)學試題）(12分)已知橢圓的右焦點，離心率為，過作兩條互相垂直的弦，設的中點分別為.（1）求橢圓的方程；（2）證明：直線必過定點，并求出此定點坐標；（3）若弦的斜率均存在，求面積的最大值.解：（1）由題意：，則，橢圓的方程為……2分（2）斜率均存在，設直線方程為：，，得，，故，將上式中的換成，則同理可得：，……4分如，得，則直線斜率不存在，此時直線過點，下證動直線過定點.……5分若直線斜率存在，則，直線為， 令，得，綜上，直線過定點.……7分（3）由第（2）問可知直線過定點，故S△FMN=S△FPM+S△FPN，……10分令，S△FMN，則在單調(diào)遞減，當時取得最大值，此時S△FMN取得最大值，此時.……12分12.（湖北省二十一所重點中學2023屆高三上學期第三次聯(lián)考數(shù)學試題）平面直角坐標系中，已知點.點滿足，記點的軌跡.（1）求的方程；（2）設點與點關于原點對稱，的角平分線為直線，過點作的垂線，垂足為，交于另一點，求的最大值.【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)雙曲線定義得到點的軌跡為以為焦點的雙曲線的右支，求出，得到軌跡方程；（2）設出，，，根據(jù)角平分線的條件，結(jié)合向量投影模長相等得到，從而求出，點坐標，確定直線的方程，由點到直線距離公式求出，再求出直線的方程為，與雙曲線方程聯(lián)立，利用弦長公式求出，結(jié)合基本不等式求出，最后求出的最大值.【小問1詳解】由題意得：，，所以點的軌跡為以為焦點的雙曲線的右支，即，所以的方程為；【小問2詳解】由對稱性，不妨設在第一象限，設，則，設直線的斜率為，記，由為的角平分線，則，其中，，所以，同理得：，，代入中，，化簡得：，將代入，中，解得：，所以，，設直線的方程為，將代入，解得：，所以直線的方程為，由點到直線距離公式得：，由直線的斜率為，設直線的方程為，將點代入，解得：，所以直線的方程為，將其與聯(lián)立得：，設，則，由可知：，又，所以，，由均值不等式，，當且僅當，即時，等號成立，因為，故，所以，當且僅當時，等號成立，的最大值為.13.（江蘇省南師附中、天一中學、海安中學、海門中學2022-2023學年高三上學期12月聯(lián)考數(shù)學試卷）已知雙曲線C的中心為坐標原點，焦點在坐標軸上，且點A(－eq\r(,3)，0)，B(0，－2eq\r(,3))，D(2，1)，三個點中有且僅有兩點在雙曲線C上．(1)求雙曲線C的標準方程；(2)直線l交雙曲線C于y軸右側(cè)兩個不同點的E，F(xiàn)，連接DE，DF分別交直線AB于點G，H．若直線DE與直線DF的斜率互為相反數(shù)，證明：|eq\f(|GH|,|EF|)－eq\f(|FH|,|DF|)|為定值．14.（江蘇省南通市如皋市2022-2023學年高三上學期教學質(zhì)量調(diào)研(三)數(shù)學試題）拋物線：，雙曲線：且離心率，過曲線下支上的一點作的切線，其斜率為.（1）求的標準方程；（2）直線與交于不同的兩點，，以PQ為直徑的圓過點，過點N作直線的垂線，垂足為H，則平面內(nèi)是否存在定點D，使得DH為定值，若存在，求出定值和定點D得坐標；若不存在，請說明理由.【解析】（1）切線方程為，∴，∴，雙曲線的標準方程為：.（2）設直線方程為，，.，，∵以為直徑的圓過點，∴，，∴當，即時，直線：恒過顯然不可能，舍去當即時，直線：恒過.符合取EN中點，∴.或?qū)㈦p曲線平移至即此時平移至，P，Q分別平移至，設直線方程為代入雙曲線，∴由代入方程恒過向上平移個單位恒過定點，以下同上.★難點突破：解析幾何（二）1.（2023屆12月?三年級蘇州?校聯(lián)盟第?次適應性檢測）答案：D2.（浙江省衢州市普通高中2022-2023學年高三上學期素養(yǎng)測評數(shù)學試題）如圖，已知點是橢圓的左頂點，過點作直線與橢圓交于點分別交直線于點，則（）A.為定值 B.為定值C.可能等于 D.可能等于2【答案】B【分析】直曲聯(lián)立根據(jù)韋達定理即可進行判斷.【詳解】設直線方程為：，，，，，，，直線方程為：，令，得故，同理可得，所以，故B正確，D錯誤.，當且僅當取等，故C錯誤，A錯誤.故選：B3.（2023屆12月?三年級蘇州?校聯(lián)盟第?次適應性檢測）（多選題）答案：ABD4.（浙江省寧波市2023屆高三上學期一模數(shù)學試題）已知A，B為橢圓上兩個不同的點，F(xiàn)為右焦點，，若線段AB的垂直平分線交x軸于點T，則__________．【答案】【分析】設,利用焦半徑公式得到,設，寫出垂直平分線方程，代入，化簡得到值，最終求出的值.【詳解】首先我們證明橢圓的焦半徑公式左準線方程為，右準線方程為，，，，同理可證，因本題橢圓離心率:，設由焦半徑公式:得:,即中點，，則垂直平分線斜率為根據(jù)點在橢圓上，則有，，作差化簡得，則線段的垂直平分線方程為,代入得:,即,則.故答案為：.【點睛】橢圓中常見的二級結(jié)論對解決橢圓相關難題，尤其是選擇填空題具有很好的作用，例如本題中的焦半徑公式，，，點在橢圓上適合橢圓方程這一條件做題時容易忽略，但是卻是設點法做題必要的步驟.5.（湖南省湘潭市第一中學2022-2023學年高三上學期期中數(shù)學試題）已知橢圓與拋物線有相同的焦點，點是兩曲線的一個公共點，且軸，則橢圓的離心率是___________.【答案】##【分析】由可得，結(jié)合拋物線方程可得點坐標，代入橢圓方程后，可配湊出關于離心率的方程，結(jié)合可解方程求得結(jié)果.【詳解】由題意知：是橢圓的焦點，；軸，或，代入橢圓方程得：，，又橢圓的離心率，，解得：，又，.故答案為：.6.（2023屆12月?三年級蘇州?校聯(lián)盟第?次適應性檢測）7.（浙江省寧波市2023屆高三上學期第一次高考模擬考試數(shù)學試題）已知點，在雙曲線E：上．（Ⅰ）求雙曲線E的方程；（Ⅱ）直線l與雙曲線E交于M，N兩個不同的點（異于A，B），過M作x軸的垂線分別交直線AB，直線AN于點P，Q，當時，證明：直線l過定點．（Ⅰ）由題知，，得，所以雙曲線E的方程為．（Ⅱ）由題意知，當l⊥x軸時，不符合題意，故l的斜率存在，設l的方程為，聯(lián)立，消去y得，則，即，且，設，，，，AB方程為，令，得，AN方程為，令得，由，得，即，即，即，即，所以，得或，當，此時由，得，符合題意；當，此時直線l經(jīng)過點A，與題意不符，舍去所以l的方程為，即，所以l過定點．8.（湖南師范大學附屬中學2022-2023學年高三上學期月考(三)數(shù)學試題）已知橢圓的中心為坐標原點，對稱軸為軸，軸，且過兩點.（1）求橢圓的方程；（2）為橢圓的右焦點，直線交橢圓于（不與點重合）兩點，記直線的斜率分別為，若，證明：的周長為定值，并求出定值.【答案】（1）（2）證明見解析，定值為【分析】（1）結(jié)合兩點的坐標，利用待定系數(shù)法求得橢圓的方程.（2）設直線，聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，化簡寫出根與系數(shù)關系，利用求得的關系式，從而判斷出直線過左焦點，由此求得的周長為定值.【小問1詳解】由已知設橢圓方程為：，代入，得，故橢圓方程為.【小問2詳解】設直線，由得，，，又，故，由，得，故或，①當時，直線，過定點，與已知不符，舍去；②