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文檔簡(jiǎn)介

第一章投影的基本知識(shí)

1三面投影體系與物體的三視圖2點(diǎn)的投影

3直線的投影4平面的投影

本章學(xué)習(xí)目標(biāo)了解三面投影體系;

了解點(diǎn)、直線、平面的投影特性。第一章投影的基本知識(shí)

本章學(xué)習(xí)內(nèi)容三面投影體系的建立;

點(diǎn)的三面投影及其規(guī)律,兩點(diǎn)的相對(duì)位置;各種位置直線的投影特點(diǎn),直角三角形法求直線的實(shí)長(zhǎng),兩直線的相對(duì)位置;

各種平面的表示法,各種位置平面的投影特點(diǎn),直線與平面、平面與平面的相對(duì)位置。

第一章投影的基本知識(shí)

一、投影法1.1投影及其特性

二、投影法的分類1.不變性(1)當(dāng)直線段平行于投影面時(shí),它在該投影面上的投影反映該直線段的實(shí)長(zhǎng)

(2)當(dāng)平面圖形平行于投影面時(shí),它在該投影面上的投影反映平面圖形的實(shí)形

(3)當(dāng)兩直線平行時(shí),它們的投影仍相互平行三、投影的基本性質(zhì)

僅有單面投影不能唯一確定幾何元素的空間位置及物體的真實(shí)形狀

1.單面投影

投影面空間形體1空間形體2空間點(diǎn)一、三投影面體系與物體的三視圖1.2三面投影體系與物體的三視圖2.三投影面體系三個(gè)相互垂直的投影面V、H和W構(gòu)成三投影面體系。

將空間分為八個(gè)區(qū)域稱為分角,分別稱第一、二……八分角。

我國(guó)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)優(yōu)先采用第一角法。

3.三視圖的形成

物體分別對(duì)三個(gè)投影面投影,形成三面投影。

在畫物體投影圖時(shí),需將三個(gè)投影面展開到同一平面上。V面保持不動(dòng),H面繞OX軸向下旋轉(zhuǎn)90°與V面重合,W面繞OZ軸向右旋轉(zhuǎn)90°與V面重合。三視圖正面投影,即物體從前向后投射所得的投影,稱為主視圖;

水平投影,即物體從上向下投射所得的投影,稱為俯視圖;側(cè)面投影,即物體從左向右投射所得的投影,稱為左視圖。在作三視圖時(shí),可不畫出投影軸和投影面邊框線二、三視圖的投影規(guī)律及方位對(duì)應(yīng)關(guān)系

主、俯視圖——共同反映物體的長(zhǎng)度方向的尺寸,簡(jiǎn)稱“長(zhǎng)對(duì)正”;主、左視圖——共同反映物體的高度方向的尺寸,簡(jiǎn)稱“高平齊”;俯、左視圖——共同反映物體的寬度方向的尺寸,簡(jiǎn)稱“寬相等”。一、點(diǎn)的三面投影

空間點(diǎn)用大寫拉丁字母如A、B、C…表示;

水平投影用相應(yīng)小寫字母a表示;

正面投影用相應(yīng)小寫字母加一撇a’表示;

側(cè)面投影用相應(yīng)小寫字母加二撇a”表示。1.3點(diǎn)的投影二、點(diǎn)投影與坐標(biāo)的關(guān)系aa’⊥OX,a’az=aayh=XAa’a”⊥OZ,a’ax=a”ayw=ZAaax=a”az=YA點(diǎn)的投影

作圖時(shí),為了表示aax=a”az的關(guān)系,常用過原點(diǎn)O的45°斜線或以O(shè)為圓心的圓弧把點(diǎn)H面與W面投影關(guān)系聯(lián)系起來。例3-1已知點(diǎn)A的兩面投影,求點(diǎn)A的第三面投影(1)

過原點(diǎn)O作45°輔助線;(2)

過a作平行OX軸的直線與45°輔助線相交一點(diǎn);(3)

過交點(diǎn)作⊥OYW的直線;(4)

該直線與過a’且平行OX軸的直線相交于一點(diǎn)即為a”

。解題步驟:三、點(diǎn)的相對(duì)位置及重影點(diǎn)

兩點(diǎn)的相對(duì)位置指兩點(diǎn)在空間的上下、前后、左右位置關(guān)系。判斷方法:x

坐標(biāo)大的在左;

y

坐標(biāo)大的在前;z

坐標(biāo)大的在上。A在B的上、后、左1.點(diǎn)的相對(duì)位置2.重影點(diǎn)

若兩點(diǎn)在某一投影面的投影重合在一起,則此兩點(diǎn)稱該投影面的重影點(diǎn)。不可見點(diǎn)一般加括號(hào)表示

A、B為基于H面的重影點(diǎn)。思考:基于V面、W面的重影點(diǎn)的投影圖。

兩點(diǎn)確定一條直線,將兩點(diǎn)的同名投影用直線連接,就得到直線的同名投影。3.3直線的投影⒈

直線對(duì)一個(gè)投影面的投影特性垂直于投影面;投影積聚為一點(diǎn);積聚性直線平行于投影面;投影反映線段實(shí)長(zhǎng);

顯實(shí)性直線傾斜于投影面;投影比空間線段短;

類似性一、直線的投影特性⒉直線在三個(gè)投影面中的投影特性投影面平行線平行于某一投影面而與其余兩投影面傾斜投影面垂直線正平線(平行于V面)側(cè)平線(平行于W面)水平線(平行于H面)正垂線(垂直于V面)側(cè)垂線(垂直于W面)鉛垂線(垂直于H面)一般位置直線與三個(gè)投影面都傾斜的直線統(tǒng)稱特殊位置直線垂直于某一投影面

其投影特性取決于直線與三個(gè)投影面間的相對(duì)位置。1.一般位置直線α為直線對(duì)H面的傾角,且ab=Abcosα;β為直線對(duì)V面的傾角,且a’b’=Abcosβ;γ為直線對(duì)W面的傾角,且a”b”=Abcosγ。

一般位置直線對(duì)三個(gè)投影面都傾斜2.投影面平行線——水平線

水平投影ab=AB;正面投影a’b’‖OX,側(cè)面投影a”b”

‖OYW,都不反映實(shí)長(zhǎng);

ab與OX夾角反映β實(shí)際大小,ab與OYH夾角反映γ實(shí)際大小。實(shí)長(zhǎng)平行于H面,對(duì)V、W面傾斜

2.投影面平行線——正平線

正面投影a’b’=AB;水平投影ab‖

OX,側(cè)面投影a”b”

‖OZ,都不反映實(shí)長(zhǎng);

a’b’與OX夾角反映α實(shí)際大小,a’b’與OZ夾角反映γ實(shí)際大小。

實(shí)長(zhǎng)平行于V面,對(duì)H、W面傾斜2.投影面平行線——側(cè)平線平行于W面,對(duì)H、V面傾斜

側(cè)面投影a”b”=AB;水平投影ab‖OYH,正面投影a’b’

‖OZ,都不反映實(shí)長(zhǎng);

a”b”與OYW夾角反映α實(shí)際大小,a”b”與OZ夾角反映β實(shí)際大小。

實(shí)長(zhǎng)直線AB與哪個(gè)投影面平行?名稱水平線(‖H面,對(duì)V、W面傾斜)正平線(‖V面,對(duì)H、W面傾斜)側(cè)平線(‖W面,對(duì)H、V面傾斜)投影圖投影特性1.水平投影ab=AB;2.正面投影a’b’‖OX,側(cè)面投影a”b”

‖OYW,都不反映實(shí)長(zhǎng);3.ab與OX夾角反映β實(shí)際大小,ab與OY夾角反映γ實(shí)際大小。1.正面投影a’b’=AB;2.水平投影ab‖OX,側(cè)面投影a”b”

‖OZ,都不反映實(shí)長(zhǎng);3.a’b’與OX夾角反映α實(shí)際大小,a’b’與OZ夾角反映γ實(shí)際大小。1.側(cè)面投影a”b”=AB;2.水平投影ab‖OYH,正面投影a’b’

‖OZ,都不反映實(shí)長(zhǎng);3.a”b”與OYW夾角反映α實(shí)際大小,a”b”與OZ夾角反映β實(shí)際大小。投影面平行線的投影特性

水平投影a(b)積聚成一點(diǎn);正面投影a’b’⊥OX,側(cè)面投影a”b”⊥OYW,a’b’=

a”b”=AB。

3.投影面垂直線——鉛垂線垂直于H面,平行于V、W面

實(shí)長(zhǎng)實(shí)長(zhǎng)積聚

正面投影a’(b’)積聚成一點(diǎn);水平投影ab⊥OX,側(cè)面投影a”b”⊥OZ,ab=a”b”=AB。3.投影面垂直線——正垂線垂直于V面,平行于H、W面

積聚實(shí)長(zhǎng)直線AB垂直于哪個(gè)投影面?實(shí)長(zhǎng)

側(cè)面投影a”(b”)積聚成一點(diǎn);水平投影ab⊥OYH,正面投影a’b’⊥OZ,ab=a’b’=AB。

3.投影面垂直線——側(cè)垂線垂直于W面,平行于H、V面

積聚實(shí)長(zhǎng)直線AB垂直于哪個(gè)投影面?實(shí)長(zhǎng)名稱鉛垂線(H面,‖V、W面)正垂線(V面,‖H、W面)側(cè)垂線(W面,‖H、V面)投影圖投影特性1.水平投影a(b)積聚成一點(diǎn);2.正面投影a’b’⊥OX,側(cè)面投影a”b”⊥

OYW,a’b’=a”b”=AB。1.正面投影a’(b’)積聚成一點(diǎn);2.水平投影ab

⊥OX,側(cè)面投影a”b”⊥

OZ,ab=a”b”=AB。

1.側(cè)面投影a”(b”)積聚成一點(diǎn);2.水平投影ab

OYH,正面投影a’b’⊥OZ,ab=a’b’=AB

投影面垂直線的投影特性一般位置直線的三個(gè)投影都小于直線的實(shí)長(zhǎng);也不能反映其與投影面的夾角。如何求一般位置直線的實(shí)長(zhǎng)?直角三角形法二、一般位置直線的實(shí)長(zhǎng)及對(duì)投影面的傾角直角三角形法

過點(diǎn)A作AB0

∥ab,則ΔABB0為直角三角形;

AB0=ab,

BB0=Zb-Za,即A、B兩點(diǎn)Z坐標(biāo)之差。AB實(shí)長(zhǎng)與H面夾角例3-2

已知直線AB的水平投影及直線對(duì)H

面的傾角α=30°,點(diǎn)A的正面投影a’,求AB的正面投影和實(shí)長(zhǎng)。(1)

在水平投影上,過點(diǎn)b作ab的垂線;AB的實(shí)長(zhǎng)(2)

以α=30°作直角三角形abB0;

(3)

根據(jù)bB0和點(diǎn)的投影規(guī)律可求得b1’b2’,連接a’b1’,

a’b2’即得直線AB的正面投影。點(diǎn)在直線上,則點(diǎn)的投影必在直線的同面投影上。三、屬于直線上的點(diǎn)1.屬于直線上的點(diǎn)

反之,若點(diǎn)的投影在直線的同面投影上,則點(diǎn)必在直線上;

根據(jù)點(diǎn)在直線上這一屬性就可以判斷點(diǎn)是否在直線上。

點(diǎn)C在直線AB上點(diǎn)D、E不在直線AB上ee’點(diǎn)分直線定比定理

直線上的點(diǎn)分直線為定比,其點(diǎn)的投影分直線的投影為空間相同的比例。BC:CA=

b’c’:c’a’=bc:ca2.點(diǎn)分直線成定比四、兩直線的相對(duì)位置兩直線的相對(duì)位置有三種情況:平行、相交、交叉。當(dāng)兩直線平行則兩直線同面投影均相互平行;

反之,若兩直線同面投影平行,則該兩直線平行。直線AB∥CD

1.平行兩直線試判斷圖中CD與AB是否平行?

但側(cè)面投影a”b”

與c”d”相交。AB與CD不平行

作出第三面投影來判斷。

雖然ab∥cd,并且a’b’∥c’d’,

若兩直線相交,兩直線的同面投影也相交,且交點(diǎn)符合點(diǎn)的投影規(guī)律。交點(diǎn)連線kk’⊥OX軸2.相交兩直線空間兩直線既不平行也不相交,稱該兩直線為交叉兩直線,交叉兩直線的同面投影可能相交,但其交點(diǎn)并不是空間交點(diǎn)的投影,而是重影點(diǎn)。3.交叉兩直線直線AB和CD是否相交?

“交點(diǎn)”不符合點(diǎn)的投影規(guī)律,兩直線不相交。五、直角投影定理

互相垂直的兩直線,如果其中一條線平行于某一投影面時(shí),兩直線在該投影面上的投影也相互垂直。

AB⊥BC

DE⊥EF

BC∥H面且ab⊥bcDE∥V面且d’e’⊥e’f’例3-3

已知直線AB為正平線,且直線AC垂直于直線AB,求作直線AC的兩面投影。

(1)

作a’b’⊥a’c’;(2)

由c’作OX軸的垂線;(3)

連接ac。

此題有多少個(gè)解?無數(shù)解例3-4

求點(diǎn)A到直線BC的距離。(1)

由點(diǎn)a作bc的垂線ad,交bc于點(diǎn)d

;(2)

由點(diǎn)d作OX軸的垂線,交b’

c’于點(diǎn)

d’;連接a’d’;(3)

運(yùn)用直角三角形法,求出AD的實(shí)長(zhǎng)。

距離分析題圖可知,BC為水平線

3.4平面的投影平面的類型有哪些?如何判斷一個(gè)點(diǎn)是在一個(gè)平面內(nèi)部?如何判斷一條直線是在一個(gè)平面內(nèi)部?能否在一個(gè)平面內(nèi)找到一條直線,這條直線與基本投影面是平行的?今天要解決的問題:如何表示一個(gè)平面?P空間平面可用下列任意一組幾何元素來表示。

不在同一直線上的三點(diǎn)P一直線和直線外一點(diǎn)P相交兩直線PP平行兩直線任意平面圖形一、平面的表示法3.4平面的投影平面對(duì)于三投影面的位置可分為三類:投影面垂直面

投影面平行面一般位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面,傾斜于另兩個(gè)投影面平行于某一投影面,垂直于另兩個(gè)投影面與三個(gè)投影面都傾斜

正垂面

側(cè)垂面

鉛垂面

正平面

側(cè)平面

水平面1.一般位置平面的投影一般位置平面對(duì)三個(gè)投影面都是傾斜的;三面投影都反映為類似形。

2.投影面垂直面的投影——鉛垂面水平投影積聚成一直線;正面投影和側(cè)面投影均為原形的類似形。積聚

垂直于一個(gè)投影面與另外兩個(gè)投影面傾斜的平面稱為投影面垂直面。

垂直H面的平面稱鉛垂面。βγ2.投影面垂直面的投影——正垂面垂直V面的平面稱正垂面。

正面投影積聚成一直線,水平投影和側(cè)面投影均為原形的類似形。

積聚平面垂直于哪個(gè)投影面?αγ2.投影面垂直面的投影——側(cè)垂面垂直W面的平面稱側(cè)垂面。

側(cè)面投影積聚成一直線,水平投影和正面投影均為原形的類似形。積聚平面垂直于哪個(gè)投影面?αβ名稱鉛垂面(H面)正垂面(V面)側(cè)垂面(W面)投影圖投影特性1.水平投影積聚成一直線;2.正面投影和側(cè)面投影均為原形的類似形。1.正面投影積聚成一直線;2.水平投影和側(cè)面投影均為原形的類似形。1.側(cè)面投影積聚成一直線;2.水平投影和正面投影均為原形的類似形。投影面垂直面的投影特性3.投影面平行面的投影——水平面水平投影反映實(shí)形,正面投影積聚成一直線,并平行于OX軸,平行于一個(gè)投影面與另外兩個(gè)投影面垂直的平面稱為投影面平行面

平行H面的平面稱水平面。側(cè)面投影積聚成一直線,并平行于OYW軸。實(shí)形3.投影面平行面的投影——正平面正面投影反映實(shí)形,水平投影積聚成一直線,并平行于OX軸,平行V面的平面稱正平面。側(cè)面投影積聚成一直線,并平行于OZ軸。實(shí)形平面平行于哪個(gè)投影面?3.投影面平行面的投影——側(cè)平面?zhèn)让嫱队胺从硨?shí)形,水平投影積聚成一直線,并平行于OYH軸,平行W面的平面稱側(cè)平面。正面投影積聚成一直線,并平行于OZ軸。實(shí)形平面平行于哪個(gè)投影面?名稱水平面(‖H面)

正平面(‖V面)

側(cè)平面(‖W面)

投影圖投影特性1.水平投影反映實(shí)形;2.正面投影和側(cè)面投影積聚成一直線。1.正面投影反映實(shí)形;2.水平投影和側(cè)面投影積聚成一直線1.側(cè)面投影反映實(shí)形;2.水平投影和正面投影積聚成一直線。投影面平行面的投影特性1.平面上的點(diǎn)和線點(diǎn)在平面上的條件是:

若點(diǎn)在平面上的任一已知直線上,則點(diǎn)則在該平面上。二、平面上的點(diǎn)和線、屬于面內(nèi)的投影面平行線1.平面上的點(diǎn)和線直線在平面上的條件是:

若一直線通過平面上任意兩已知點(diǎn),則直線在該平面上。

點(diǎn)M在AB上,點(diǎn)N在BC上,因此,MN在平面ABC上。

若一直線通過平面上任一已知點(diǎn),且平行該平面內(nèi)任一條不通過該點(diǎn)的已知直線,則直線在該平面上。

直線在平面上的條件是:1.平面上的點(diǎn)和線2.平面內(nèi)的投影面平行線屬于平面且又平行于一個(gè)投影面的直線稱為平面內(nèi)的投影面平行線。平面內(nèi)平行于H面的直線稱為平面內(nèi)的水平線;

平面內(nèi)平行于V面的直線稱為平面內(nèi)的正平線;

平面內(nèi)平行于W面的直線稱為平面內(nèi)的側(cè)平線。

例3-5

已知ΔABC內(nèi)一點(diǎn)K的水平投影k,求其正面投影k’。解:通過在平面上作正平線求k’。

(1)在平面的水平投影△

abc上,過點(diǎn)k作OX軸的平行線12;

(2)

分別由1、2作OX軸的垂線與a’b’、b’c’分別交于1’和2’

;(3)

再?gòu)狞c(diǎn)k作垂線與直線1’2’相交于k'。例3-5

已知ΔABC內(nèi)一點(diǎn)K的水平投影k,求其正面投影k’。解:運(yùn)用點(diǎn)在平面上的條件求k’。(1)

在平面的水平投影△

abc上,連ak與bc相交于點(diǎn)3;

(2)

由點(diǎn)3作垂線與b’c’相交于點(diǎn)3’;

(3)

連a’3’與過k所作的垂線交于k’。例3-6

完成四邊形的正面投影。

由于四邊形ABCD為一平面圖形,因此可以利用它的對(duì)角線確定點(diǎn)D的正面投影d’,從而完成四邊形的正面投影。3.平面內(nèi)的最大斜度線平面內(nèi)垂直于各投影面的平行線的直線稱為平面內(nèi)的最大斜度線AB是對(duì)H面的最大斜度線平面對(duì)H面的最大斜度線的水平投影必垂直于該平面內(nèi)的水平線的水平投影α為平面P對(duì)H面的傾角

試求平面△ABC對(duì)H、V面的傾角α、β。解:欲求平面△ABC對(duì)H面的傾角α,也就是求△ABC平面內(nèi)對(duì)H面的最大斜度線與H面的夾角α。

1.在△ABC平面內(nèi)作一水平線,并作出水平線的垂線,即為對(duì)H面的最大斜度線

2.利用直角三角形法求出它對(duì)H面的傾角α

用同樣的方法可以求出平面△ABC對(duì)V面的傾角β1.直線與平面平行若空間一直線平行于屬于平面的任一直線,則該直線與該平面平行。CD平行于屬于平面P的直線AB,

則CD與平面P平行。三、直線與平面、平面與平面平行例3-7

已知直線DE∥△ABC,試完成直線DE的水平投影。解:因?yàn)橹本€DE∥△ABC,所以在△ABC中必可找到一條直線與DE平行。該直線的投影也必然與DE的同面投影平行。例3-8

試判別直線DE是否平行于△ABC。

解:如果在△ABC所確定的平面內(nèi)能找到平行于直線DE的直線,則直線DE∥△ABC,否則直線DE與△ABC不平行。

故直線ED與△ABC不平行。de∥cf,

但d’e’與c’f’不平行,2.平面與平面平行若屬于一平面的相交兩直線與屬于另一平面的相交兩直線對(duì)應(yīng)平行,則兩平面平行。

平面P中的L1與平面Q中的L3平行,平面P中的L2與平面Q中的L4平行,可得平面P與平面Q平行。例3-9

過點(diǎn)K作平面與△ABC平行。解:要作一平面與△ABC平行,只要過點(diǎn)K作兩條相交直線與屬于三角形的兩條相交直線(邊)對(duì)應(yīng)平行就可以了。

過點(diǎn)K作直線KF∥AC,過點(diǎn)K作直線KE∥AB,故平面KEF與△ABC平行。例3-10

判斷△ABC與△DEF是否平行。

解:若在△ABC上任作一對(duì)相交直線,在△DEF上可以作出一對(duì)相交直線與其對(duì)應(yīng)平行,則兩三角形互相平行,否則不平行。

所以△ABC與△DEF不平行。

由于△ABC中水平線AⅡ與△DEF中水平線FⅢ不平行,1.直線與平面相交直線與平面相交的交點(diǎn)是直線與平面的共有點(diǎn),且交點(diǎn)又是直線投影可見與不可見的分界點(diǎn)。

四、直線與平面、平面與平面相交1.直線與平面相交四、直線與平面、平面與平面相交一般位置直線與特殊位置平面相交求直線AB與△

CDE的交點(diǎn)。直線AB為鉛垂線,其水平投影積聚為一點(diǎn)a(b)

,交點(diǎn)K的水平投影k與a(b)重影。

(2)

判別可見性;(1)

求交點(diǎn)K;重影點(diǎn)

點(diǎn)Ⅱ與點(diǎn)Ⅲ在V面上是重影點(diǎn),

其中點(diǎn)Ⅱ在CE上,點(diǎn)Ⅲ在AK上,

通過H面投影判斷Ⅱ在Ⅲ之前,從而CE在AK之前。求直線AB與△

CDE的交點(diǎn)。ΔCDE是鉛垂面,

三角形的水平投影有積聚性,

交點(diǎn)K的水平投影k重合在Δcde

上,k點(diǎn)同時(shí)又在直線ab上。(2)

判別可見性;(1)

求交點(diǎn)K;

點(diǎn)Ⅰ、Ⅱ在V面上是重影點(diǎn),

通過1和2的位置可判斷空間點(diǎn)Ⅰ在點(diǎn)Ⅱ的前方,

因此可判斷KB在DE的前方,k’b’可見。2.平面與平面相交平面與平面相交的交線是兩平面共有線,交線既在第一平面上又在第二平面上,且交線又是兩平面可見與不可見的分界線。

一般位置平面與特殊位置平面相交e’例1-13求作相交兩平面ΔABC與ΔDEF的交線ΔDEF為水平面,其正面投影有積聚性交線KL的正面投影k’l’與d’e’f’重合(2)判別可見性(1)求交線重影點(diǎn)重影點(diǎn)例1-14求作平面ABCD與ΔEFG的交線四邊形為鉛垂面,其水平投影有積聚性交線KL的水平投影kl必與其重合(2)判別可見性(1)求交線重影點(diǎn)因△DEF是一個(gè)鉛垂面,所以它的H面投影具有積聚性。求△ABC與△DEF兩個(gè)平面的交線①ab與△def的交點(diǎn)為k,bc與△def的交點(diǎn)為m;②由于m′位于△d′e′f′圖形外

,因此兩平面的交線為KL;③判別可見性。一般位置直線與一般位置平面相交由于一般位置直線和一般位置平面的投影都沒有積聚性,因此,不能直接確定其交點(diǎn)的投影要求出交點(diǎn),則必須通過直線作一特殊位置的輔助平面來解決求直線DE與平面△ABC的交點(diǎn)K可過直線DE作鉛垂面P然后求出輔助平面P與平面△ABC的交線MN,直線DE與交線MN的交點(diǎn)為K,則K點(diǎn)即為所求①包含直線DE作輔助鉛垂面P,求出輔助平面P與△ABC的交線MN

②求交點(diǎn)

③判別可見性

兩個(gè)一般位置平面相交求作兩個(gè)一般位置平面的交線,只要求出這兩個(gè)平面的兩個(gè)共有點(diǎn),再用直線連接這兩個(gè)共有點(diǎn),即為所求兩平面的交線常用方法有兩種:(1)利用求直線與平面的交點(diǎn)的方法(簡(jiǎn)稱線面交點(diǎn)法)求兩平面的交線。求三角形ABC與四邊形DEFG的交線可分別求出三角形ABC的兩條邊AB和AC與四邊形DEFG的兩個(gè)交點(diǎn),兩交點(diǎn)的連線便是兩個(gè)平面的交線①求AB與四邊形DEFG的交點(diǎn)K②求AC與四邊形DEFG的交點(diǎn)L③求得兩面交線KL

④判別可見性求△ABC與△EDF的交線①求作直線DE與△ABC的交點(diǎn)K②求作直線DF與△ABC的交點(diǎn)I任選△DEF的兩條邊DE和DF,并求作DE和DF與△ABC的兩個(gè)交點(diǎn),交點(diǎn)連線即為所求③求交線④判別可見性(2)利用三面共點(diǎn)的方法求兩平面的交線(2)利用三面共點(diǎn)的方法求兩平面的交線1-7換面法

1換面法的基本概念2點(diǎn)的換面

3直線的換面4平面的換面

5應(yīng)用舉例

本章學(xué)習(xí)目標(biāo)應(yīng)用換面法求解空間幾何元素的度量和位置問題

換面法

本章學(xué)習(xí)內(nèi)容換面法的基本概念點(diǎn)的換面直線的換面平面的換面換面法的應(yīng)用

當(dāng)直線或平面對(duì)投影面處于一般位置時(shí),在投影圖上不能直接反映它們的實(shí)長(zhǎng)、實(shí)形。

當(dāng)它們處于特殊位置時(shí),在投影圖上就可以直接得到它們的實(shí)長(zhǎng)、實(shí)形。實(shí)長(zhǎng)實(shí)形1換面法的基本概念XOXOXOXOaabb

兩點(diǎn)之間距離XOaabbcc三角形實(shí)形XOaabbccdd

直線與平面的交點(diǎn)XOabcdabcd兩平面夾角XO問題的提出:空間幾何元素位于特殊位置時(shí)有利于解題換面法的基本概念

如能將與投影面處于一般位置的幾何元素變?yōu)榕c投影面處于特殊位置,則一些問題的求解就會(huì)變得容易。

可選取新投影面V1代替V面實(shí)長(zhǎng)

讓空間幾何元素的位置保持不動(dòng),用一個(gè)新的投影面體系替換原來的投影面體系使空間幾何元素對(duì)新投影面體系處于有利于解題的特殊位置的方法稱為變換投影面法,簡(jiǎn)稱換面法。

換面法的基本概念

如能將與投影面處于一般位置的幾何元素變?yōu)榕c投影面處于特殊位置,則

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