第5章大數(shù)定律及中心極限定理

第五章大數(shù)定律及中心極限定理§1大數(shù)定律引言概率論與數(shù)理統(tǒng)計的研究對象是統(tǒng)計規(guī)律性（在大量重復試驗或觀察中所呈現(xiàn)出的固有規(guī)律性）．頻率具有穩(wěn)定性（當試驗的次數(shù)無限增大時，頻率穩(wěn)定在一個數(shù)的附近）．大量測量值的算術平均值在一定條件下也具有穩(wěn)定性（n個隨機變量的算術平均，當n

無限增加時，在某種收斂的意義下逼近某一常數(shù)）．大數(shù)定律就是討論在什么條件下n個隨機變量的算術平均是穩(wěn)定的．定義：對隨機變量序列Yn(n=1,2,…)，若存在常數(shù)a，使得對于任意正數(shù)

e

，有則稱Yn(n=1,2,…)依概率收斂于a

，記為

．是指：

，

，當

時，依概率收斂a－ea+ea定義：對隨機變量序列Yn(n=1,2,…)，若存在常數(shù)a，使得對于任意正數(shù)

e

，有則稱Yn(n=1,2,…)依概率收斂于a

，記為

．是指：當時，Yn

落在(a－e,a+e

)內的概率越來越大，無限接近于1．依概率收斂Yna－ea+ea返回大數(shù)定律定義：設隨機變量X1,X2,…,Xk,…都存在數(shù)學期望，即 若即對于任意正數(shù)

e

，有則稱Xk(k=1,2,…)服從大數(shù)定律．返回這是常數(shù)！定理1（切比雪夫大數(shù)定律）：設隨機變量X1,X2,…,Xk,…相互獨立，且有相同的數(shù)學期望和方差：E(Xk)=m，D(Xk)=s

2(k=1,2,…)則即對于任意正數(shù)

e

，有．其中．三個常用的大數(shù)定律證明：根據(jù)切比雪夫不等式可知：對于任意正數(shù)e

，都有這里于是

令

，則回顧：切比雪夫不等式定理（切比雪夫不等式）：設隨機變量X具有期望和方差，E(X)=m，D(X)=s

2則對于任意正數(shù)e

，都有常用的等價形式返回三個常用的大數(shù)定律定理2（伯努利大數(shù)定律）：設nA是n次獨立重復試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)．p

是事件A

在每次試驗中發(fā)生的概率，則即對于任意正數(shù)e

，有或頻率的穩(wěn)定性證明：設，k=1,2,…,n則X1,X2,…,Xn

相互獨立，且Xk~b(1,p)，于是E(Xk)=p，D(Xk)=p(1－p)，k=1,2,…,n又

，，根據(jù)切比雪夫大數(shù)定律，有即對于任意正數(shù)e

，有結論：課本P.147第1段第

k

次試驗中事件

A

不發(fā)生第

k

次試驗中事件

A

發(fā)生定理1（切比雪夫大數(shù)定律）：設隨機變量X1,X2,…,Xk,…相互獨立，且有相同的數(shù)學期望和方差：E(Xk)=m，D(Xk)=s

2(k=1,2,…)則即其中三個常用的大數(shù)定律三個常用的大數(shù)定律定理3（辛欽大數(shù)定律）：設隨機變量X1,X2,…,Xk,…相互獨立，服從同一分布，且具有相同的數(shù)學期望：E(Xk)=m(k=1,2,…)則即對于任意正數(shù)

e

，有．§2中心極限定理高爾頓釘板試驗每一個黑點表示釘在板上的一顆釘子，它們彼此距離均相等，上一層的每一顆的水平位置恰好位于下一層的兩顆正中間．從入口處放入一個直徑略小于兩顆釘子之間距離的小球.在下落過程中，小球碰到釘子時從左邊落下與從右邊落下的機會均等．當小球個數(shù)足夠多時，可以看到小球在釘板底端堆成的曲線近似于正態(tài)分布．

高爾頓釘板試驗令Xk(k=1,2,…,n)表示小球第

k次碰到釘子后向右（左）落下：則E(Xk)=0，D(Xk)=1，且Xk(k=1,2,…,n)相互獨立．令Yn(n=1,2,…)表示小球經(jīng)過n

次碰釘后的落點位置，試驗表明向右落下向左落下近似地

引言客觀實際中有許多隨機變量，它們是由大量的相互獨立的隨機因素的綜合影響所形成的．這些隨機因素在總的影響中所起的作用都是微小的．這種隨機變量往往近似地服從正態(tài)分布．中心極限定理就是討論在什么條件下，獨立隨機變量的和近似服從正態(tài)分布．定義：設Xk(k=1,2,…)

為相互獨立的隨機變量序列，存在數(shù)學期望和方差（不一定相等）：E(Xk)=mk，D(Xk)=sk

2>0

(k=1,2,…)若當n

充分大時，則稱Xk(k=1,2,…)服從中心極限定理．中心極限定理近似地幾個常用的中心極限定理定理1（獨立同分布的中心極限定理）：設隨機變量X1,X2,…,Xk,…相互獨立，服從同一分布，且有相同的期望和方差：E(Xk)=m，D(Xk)=s

2>0

(k=1,2,…)，則近似地幾個常用的中心極限定理定理1續(xù)（獨立同分布的中心極限定理）：設隨機變量X1,X2,…,Xk,…相互獨立，服從同一分布，且有數(shù)學期望和方差：E(Xk)=m，D(Xk)=s

2>0(k=1,2,…)，對于任意的實數(shù)x，n

個隨機變量的和的標準化變量的分布函數(shù)Fn(x)

收斂于F(x)，即幾個常用的中心極限定理定理1續(xù)（獨立同分布的中心極限定理）：設隨機變量X1,X2,…,Xk,…相互獨立，服從同一分布，且有數(shù)學期望和方差：E(Xk)=m，D(Xk)=s

2>0(k=1,2,…)，則近似地近似地大數(shù)定律與中心極限定理的關系當隨機變量序列Xk(k=1,2,…)獨立同分布，且E(Xk)=m，

D(Xk)=s

2>0(k=1,2,…)時，兩個定理都成立，可以作比較.對于任意正數(shù)e

，根據(jù)大數(shù)定律，有根據(jù)中心極限定理，有中心極限定理給出了收斂速度的估計幾個常用的中心極限定理定理2（棣莫佛—拉普拉斯定理）：設隨機變量Yn

(n=1,2,…)服從二項分布b(n,p)，則即對于任意的實數(shù)y，有近似地證明：設X1,X2,…,Xn

相互獨立，Xk~b(1,p)

，k=1,2,…,n則E(Xk)=p，D(Xk)=p(1－p)，k=1,2,…,n又

，根據(jù)獨立同分布的中心極限定理，有例：一加法器同時收到20個噪聲電壓Vk

(k=1,2,…,20)，設它們是相互獨立的隨機變量，且都在區(qū)間(0,10)上服從均勻分布．記V=V1+V2+…+V20，求P{V

>105}的近似值．解：

E(Vk)=5，D(Vk)=100/12，k=1,2,…,20，根據(jù)獨立同分布的中心極限定理，有其中近似地例：一加法器同時收到20個噪聲電壓Vk

(k=1,2,…,20)，設它們是相互獨立的隨機變量，且都在區(qū)間(0,10)上服從均勻分布．記V=V1+V2+…+V20，求P{V

>105}的近似值．解（續(xù)）：

E(Vk)=5，D(Vk)=100/12，k=1,2,…,20，根據(jù)獨立同分布的中心極限定理，有近似地例：一船舶在某海區(qū)航行，已知遭受一次波浪的沖擊，縱搖角大于3o的概率為p=1/3，若船舶遭受了90000次波浪沖擊，問其中有29500到30500次縱搖角大于3o的概率是多少？解：設在90000次波浪沖擊中，縱搖角大于3o的次數(shù)為X，則X~b(90000,1/3)，于是所求概率解（續(xù)）：設在90000次波浪沖擊中，縱搖角大于3o的次數(shù)為X，則X~b(90000,1/3)，于是根據(jù)棣莫佛—拉普拉斯定理，有其中n=90000，p=1/3．例：對于一個學生而言，來參加家長會的家長人數(shù)是一個隨機變量，設一個學生無家長、1名家長、2名家長來參加會議的概率分別為0.05、0.8、0.15．若學校共有400名學生，設各學生參加會議的家長人數(shù)相互獨立，且服從同一分布．求參加會議的家長數(shù)X

超過450的概率；求有1名家長來參加會議的學生數(shù)不多于340的概率．解：(1)以Xk(k=1,2,…,400)表示第k個學生來參加會議的家長數(shù)，則于是E(Xk)=1.1，D(Xk)=0.19，k=1,2,…,400．解：(1)以Xk(k=1,2,…,400)表示第k個學生來參加會議的家長數(shù)，則于是E(Xk)=1.1，D(Xk)=0.19，k=1,2,…,400．又X=X1+X2+…+X400，根據(jù)獨立同分布的中