2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 平面向量的應(yīng)用（精講）（解析版）

10.3平面向量的應(yīng)用（精講）常見考法常見考法考法一平面向量與四心【例1】（1）（2021·河南（文））已知的三個(gè)內(nèi)角分別為，，，動(dòng)點(diǎn)滿足，，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定經(jīng)過的（）A．重心 B．垂心 C．內(nèi)心 D．外心（2）（2021·山東萊州一中高三開學(xué)考試）是平面上一定點(diǎn)，，，是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，，則的軌跡一定通過的（）A．外心 B．垂心 C．內(nèi)心 D．重心【答案】（1）A（2）D【解析】（1）在中，令線段BC的中點(diǎn)為M，由正弦定理得：，由得：，即，而，，則，于是得與同向共線，而它們有公共起點(diǎn)，即動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是射線AM(除A點(diǎn)外)，又重心在線段AM上，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定經(jīng)過的重心.故選：A（2）令為的中點(diǎn)，則，于是有，點(diǎn)??共線，即點(diǎn)的軌跡通過三角形的重心.故選：D【一隅三反】1．（2021·全國(guó)高三專題練習(xí)）在中，設(shè)，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡必通過的（）A．垂心 B．內(nèi)心 C．重心 D．外心【答案】D【解析】設(shè)的中點(diǎn)是，，即，所以，所以動(dòng)點(diǎn)在線段的中垂線上，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡必通過的外心，故選：D.2．（2021·全國(guó)高三（理））已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.△ABC內(nèi)一點(diǎn)M滿足：，則M一定為△ABC的（）A．外心 B．重心 C．垂心 D．內(nèi)心【答案】D【解析】由題意可設(shè)，，，其中，，分別為，，方向上的單位向量，∵，∴，則，∴=.∴M在∠BAC的角分線上，同理M在∠ABC與∠ACB的角分線上.∴M為△ABC的內(nèi)心.故選：D.3．（2021·全國(guó)（文））在中，若，則下列說法正確的是（）A．是的外心 B．是的內(nèi)心C．是的重心. D．是的垂心【答案】D【解析】∵，∴，∴，∴，同理由，得到，∴點(diǎn)是的三條高的交點(diǎn).故選：D4．（2021·營(yíng)口市第二高級(jí)中學(xué)高三月考）已知△ABC的重心為O，則向量（）A． B．C． D．【答案】C【解析】設(shè)分別是的中點(diǎn)，由于是三角形的重心，所以.故選：C考法二平面向量與三角函數(shù)【例2】（2021·北京市第十二中學(xué)高三月考）如圖，角均以為始邊，終邊與單位圓分別交于，則（）

A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)題意角均以為始邊，終邊與單位圓分別交于，則，則.故選：C【一隅三反】1．（2021·河北武強(qiáng)中學(xué)高三月考）已知向量，，，則的值是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)橄蛄?，，，即故選：A2．（2021·河南洛陽·（理））在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且，設(shè)是的中點(diǎn)，若，則面積的最大值是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】所以，由余弦定理可知：，因此有，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以有，平方得：，因?yàn)椋?，，故選：A.3．（2021·全國(guó)高三月考）（多選）已知點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系原點(diǎn)，角的終邊分別與以為圓心的單位圓交于兩點(diǎn)，若為第四象限角，且，則（）A．B．當(dāng)時(shí)，C．最大值為D．當(dāng)時(shí)，【答案】CD【解析】易知，，故A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，，故B錯(cuò)誤；由于，故過原點(diǎn)時(shí)，最大且最大值為，故C正確；因?yàn)?，且為第四象限角，所?，，即，，故D正確.故選：.考法三平面向量與數(shù)列【例3】（2021·全國(guó)高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，設(shè)，，，為坐標(biāo)平面上三點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若向量與在向量方向上的投影相同，則為（）A． B． C．2017 D．0【答案】D【解析】，，，，向量與在向量方向上的投影相同，，，即，，，故選：D．【一隅三反】1．（2021·全國(guó)高三專題練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)為的邊上一點(diǎn)，，為邊的一列點(diǎn)，滿足，其中實(shí)數(shù)列中，，則的通項(xiàng)公式為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】，，，，為邊的一列點(diǎn)，，化為：，即，數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為2，公比為3．，即，故選：D2．（2021·全國(guó)高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且、、三點(diǎn)共線（該直線不過點(diǎn)，則等于（）A．1006 B．2012 C． D．【答案】A【解析】，且、、三點(diǎn)共線（該直線不過點(diǎn)，；數(shù)列是等差數(shù)列，；．故選：A3．（2021·全國(guó)高三專題練習(xí)）已知直線上有三點(diǎn)，，，為外一點(diǎn)，又等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A． B．3 C． D．【答案】A【解析】點(diǎn)、、是直線上不同的三點(diǎn)，存在非零實(shí)數(shù)，使；若，，；；數(shù)列是等差數(shù)列，；．故選：A．考法四平面向量與其他知識(shí)【例4】（2021·五華·云南師大附中高三月考（文））雙曲線C:，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是雙曲線C的右焦點(diǎn)，離心率是e，已知A是雙曲線C的斜率為正的漸近線與直線的交點(diǎn)，則的值為（）A．0 B．–e C．2 D．【答案】A【解析】據(jù)題意漸近線方程是，則點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是，則，故選：A．【一隅三反】1．（2021·安徽六安一中高三（文））過雙曲線的右焦點(diǎn)作軸的垂線，與雙曲線及其一條漸近線在第一象限分別交于兩點(diǎn)，且為坐標(biāo)原點(diǎn)），則該雙曲線的離心率是()A．2. B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)雙曲線的半焦距為，由得到，由得到，而，，即點(diǎn)A是線段FB的中點(diǎn)，所以，所以.故選：D2．（2021·湖南雅禮中學(xué)高三）已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)且斜率為的直線與雙曲線在第二象限的交點(diǎn)為，若，則雙曲線的漸近線方程是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】依題意，所以，，設(shè)直線的傾斜角為，則為鈍角，，結(jié)合解得，設(shè)，則，，將點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線方程得，而，所以，化簡(jiǎn)得，，，，，所以雙曲線的漸近線方程為.故選：A3．（2021·全國(guó)高三專題練習(xí)（理））半徑為的圓上有三點(diǎn)、、滿足，點(diǎn)是圓內(nèi)一點(diǎn)，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖，與交于點(diǎn)，由得：，所以四邊形是菱形，且，則，，由圖知，，而，∴，同理，，而，∴，∴，∵點(diǎn)是圓內(nèi)一點(diǎn)，則，∴，故選：A.4．（2021·湖南天心·長(zhǎng)郡中學(xué)高三月考）在中，D為三角形所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，設(shè)AD交BC于E，且，由B,E,C三點(diǎn)共線可得：，∴，∴.設(shè)，則，∴.又，∴，∴.故選：B.考法五最值（范圍）【例5】（2021·北京高三專題練習(xí)）若均為單位向量，且，則的值可能為（）A． B．3 C． D．2【答案】A【解析】因?yàn)榫鶠閱挝幌蛄?，且，所以，所以，而，所以選項(xiàng)不正確，故選：A【一隅三反】1．（2021·四川成都市·成都七中高三月考（理））已知單位向量、滿足，則的最小值為（）A． B．C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?、是單位向量，由可得，則，所以，，即，可得，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為，故選：C.2．（2021·浙江高三開學(xué)考試）已知圓的半徑為2，A為圓內(nèi)一點(diǎn)，，B，C為圓上任意兩點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖，連接，，設(shè)為和的夾角.則且，由，當(dāng)時(shí)，有最小值；當(dāng)時(shí)，有最大值為10.故選：C.3．（2021·全國(guó)）已知是邊長(zhǎng)為2的正三角形，點(diǎn)為所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且，則長(zhǎng)度的最小值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，，所在直線分別為軸，軸建立直角坐標(biāo)系，即，，，則，.設(shè)，則，，，所以.設(shè)，，解得，，則，