線段的垂直平分線的性質(zhì)

關(guān)于線段的垂直平分線的性質(zhì)第一頁(yè)，共二十七頁(yè)，2022年，8月28日學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1．理解線段垂直平分線的性質(zhì)和判定．

2．能運(yùn)用線段垂直平分線的性質(zhì)和判定解決實(shí)際問(wèn)題．

3．會(huì)用尺規(guī)經(jīng)過(guò)已知直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線，了解作圖的道理．

4．能用尺規(guī)作線段的垂直平分線．第二頁(yè)，共二十七頁(yè)，2022年，8月28日你能用不同的方法驗(yàn)證這一結(jié)論嗎？探索并證明線段垂直平分線的性質(zhì)如圖，直線l垂直平分線段AB，P1，P2，P3，…是l上的點(diǎn)，請(qǐng)猜想點(diǎn)P1，P2，P3，…到點(diǎn)A與點(diǎn)B的距離之間的數(shù)量關(guān)系．相等．ABlP1P2P3第三頁(yè)，共二十七頁(yè)，2022年，8月28日用幾何語(yǔ)言表示為：∵CA=CB，l⊥AB，∴PA=PB．證明：

ABPCl線段垂直平分線的性質(zhì)：已知：如圖，直線l⊥AB，垂足為C，AC=CB，點(diǎn)P在l上．求證：PA=PB．證明：“線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等．”∵l⊥AB，

∴∠PCA=∠PCB=900．又

AC=CB，PC=PC，∴△PCA≌△PCB（SAS）∴

PA=PB．線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．第四頁(yè)，共二十七頁(yè)，2022年，8月28日8課堂練習(xí)練習(xí)1如圖，在△ABC中，BC=8，AB的中垂線交BC于D，AC的中垂線交BC與E，則△ADE的周長(zhǎng)等于______．ABCDE第五頁(yè)，共二十七頁(yè)，2022年，8月28日PABC已知：如圖，PA=PB．求證：點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上．證明：如圖作PC⊥AB則∠PCA=∠PCB=90°．在Rt△PCA和Rt△PCB中，∴

Rt△PCA≌Rt△PCB（HL）．∴

AC=BC．又

PC⊥AB，∴點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上

PA=PB，

PC=PC，

反過(guò)來(lái)，如果PA=PB，那么點(diǎn)P是否在線段AB的垂直平分線上呢？點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上．探索并證明線段垂直平分線的判定第六頁(yè)，共二十七頁(yè)，2022年，8月28日用幾何語(yǔ)言表示為：PABC

線段垂直平分線的判定與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上．∵

PA=PB，∴點(diǎn)P在AB的垂直平分線上．第七頁(yè)，共二十七頁(yè)，2022年，8月28日這些點(diǎn)能組成什么幾何圖形？

你能再找一些到線段AB兩端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)嗎？能找到多少個(gè)到線段AB兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)？

在線段AB的垂直平分線l上的點(diǎn)與A，B的距離都相等；反過(guò)來(lái)，與A，B的距離相等的點(diǎn)都在直線l上，所以直線l可以看成與兩點(diǎn)A、B的距離相等的所有點(diǎn)的集合．PABC第八頁(yè)，共二十七頁(yè)，2022年，8月28日解：∵AD⊥BC，BD=DC∴AD是BC的垂直平分線∴AB=AC∵點(diǎn)C在AE的垂直平分線上∴AC=CE．∴AB=AC=CE課堂練習(xí)P622

如圖，AD⊥BC，BD=DC，點(diǎn)C在AE的垂直平分線上，AB，AC，CE的長(zhǎng)度有什么關(guān)系？AB+BD與DE有什么關(guān)系？ABCDE∵

AB=CE，BD=DC，∴AB+BD=CD+CE．即AB+BD=DE．第九頁(yè)，共二十七頁(yè)，2022年，8月28日解：∵AB=AC，∴點(diǎn)A在BC的垂直平分線．∵

MB=MC，∵點(diǎn)M在BC的垂直平分線上∴直線AM是線段BC的垂直平分線．課堂練習(xí)P622練習(xí)3

如圖，AB=AC，MB=MC．直線AM是線段BC的垂直平分線嗎？ABCDM第十頁(yè)，共二十七頁(yè)，2022年，8月28日（1）任意取一點(diǎn)K，使點(diǎn)K與點(diǎn)C在直線AB兩旁.尺規(guī)作圖經(jīng)過(guò)已知直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線。（2）以點(diǎn)C為圓心，CK為半徑作弧，交AB于點(diǎn)D和點(diǎn)E.

（4）作直線CF，直線CF就是所求作的垂線。CABKFDE已知：直線AB和AB外一點(diǎn)C求作：AB的垂線，使它經(jīng)過(guò)點(diǎn)C.做法：（3）分別以點(diǎn)D和點(diǎn)E為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)F.

第十一頁(yè)，共二十七頁(yè)，2022年，8月28日（1）作一條線段等于已知線段；（2）作一個(gè)角等于已知角；（3）作一個(gè)角的平分線；（4）經(jīng)過(guò)已知直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線．那么利用尺規(guī)還能解決什么作圖問(wèn)題呢？我們已能用尺規(guī)完成：第十二頁(yè)，共二十七頁(yè)，2022年，8月28日作線段的垂直平分線

如果兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱(chēng)，其對(duì)稱(chēng)軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線．因此，只要找到任意一組對(duì)應(yīng)點(diǎn)，作出對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線，就得到此圖形的對(duì)稱(chēng)軸．如果兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱(chēng)，怎樣作出圖形的對(duì)稱(chēng)軸？第十三頁(yè)，共二十七頁(yè)，2022年，8月28日作線段的垂直平分線例1如圖，點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于某條直線成軸對(duì)稱(chēng)，你能作出這條直線嗎？

AB第十四頁(yè)，共二十七頁(yè)，2022年，8月28日這種作法的依據(jù)是什么？作線段的垂直平分線ABCD作法：（1）分別以點(diǎn)A，B為圓心，以大于AB的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于C，D兩點(diǎn)；（2）作直線CD．

CD就是所求作的直線．這種作圖方法還有哪些作用？確定線段的中點(diǎn)．

第十五頁(yè)，共二十七頁(yè)，2022年，8月28日五角星的對(duì)稱(chēng)軸有什么特點(diǎn)？

你能作出這個(gè)五角星的其他對(duì)稱(chēng)軸嗎？它共有幾條對(duì)稱(chēng)軸？相交于一點(diǎn)．如圖中的五角星，請(qǐng)作出它的一條對(duì)稱(chēng)軸.

第十六頁(yè)，共二十七頁(yè)，2022年，8月28日課堂練習(xí)練習(xí)1作出下列圖形的一條對(duì)稱(chēng)軸，和同學(xué)比較一下，你們作出的對(duì)稱(chēng)軸一樣嗎？第十七頁(yè)，共二十七頁(yè)，2022年，8月28日課堂練習(xí)練習(xí)2如圖，角是軸對(duì)稱(chēng)圖形嗎？如果是，它的對(duì)稱(chēng)軸是什么？第十八頁(yè)，共二十七頁(yè)，2022年，8月28日課堂練習(xí)練習(xí)3如圖，與圖形A成軸對(duì)稱(chēng)的是哪個(gè)圖形？畫(huà)出它的對(duì)稱(chēng)軸．ABCD第十九頁(yè)，共二十七頁(yè)，2022年，8月28日已知：△ABC中，邊AB、BC的垂直平分線交于點(diǎn)P。求證：PA=PB=PC.PABC結(jié)論：三角形三邊的垂直平分線交于一點(diǎn)，并且這點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。第二十頁(yè)，共二十七頁(yè)，2022年，8月28日拓展：如圖所示，在△ABC中，AB=AC＝32，MN是AB的垂直平分線，且有BC=21，求△BCN的周長(zhǎng)。第二十一頁(yè)，共二十七頁(yè)，2022年，8月28日

如圖，七（1）班與七（2）班兩個(gè)班的學(xué)生分別在M、N兩處參加植樹(shù)勞動(dòng)，現(xiàn)要在道路AB、AC的交叉區(qū)域內(nèi)設(shè)一個(gè)茶水供應(yīng)點(diǎn)P，使P到兩條道路的距離相等，且PM=PN，請(qǐng)你用折紙的方法找出P點(diǎn)并說(shuō)明理由。

MNBCA做一做P第二十二頁(yè)，共二十七頁(yè)，2022年，8月28日3、如圖PA=PB，則直線MN是線段AB的垂直平分線。第二十三頁(yè)，共二十七頁(yè)，2022年，8月28日結(jié)論:線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。反之，與線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在這條線段垂直平分線上。所以，線段垂直平分線可以看作到線段兩端的距離相等的所有點(diǎn)的集合。課堂小結(jié)第二十四頁(yè)，共二十七頁(yè)，2022年，8月28日11.3角的平分線ODEABPC定理1

在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。定理2

到一個(gè)角的兩邊的距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上。角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點(diǎn)的集合

12.1線段的垂直平分線定理線段垂直