2017年高中數(shù)學(xué)模塊綜合測(cè)試4-4

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE16-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精模塊綜合測(cè)試一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分，每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．下列有關(guān)坐標(biāo)系的說(shuō)法,錯(cuò)誤的是（）A．在直角坐標(biāo)系中,通過(guò)伸縮變換圓可以變成橢圓B．在直角坐標(biāo)系中,平移變換不會(huì)改變圖形的形狀和大小C．任何一個(gè)參數(shù)方程都可以轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程和極坐標(biāo)方程D．同一條曲線可以有不同的參數(shù)方程解析:直角坐標(biāo)系是最基本的坐標(biāo)系，在直角坐標(biāo)系中，伸縮變形可以改變圖形的形狀,但是必須是相近的圖形可以進(jìn)行伸縮變化得到，例如圓可以變成橢圓；而平移變換不改變圖形和大小而只改變圖形的位置；對(duì)于參數(shù)方程，有些比較復(fù)雜的是不能化成普通方程的,同一條曲線根據(jù)參數(shù)選取的不同可以有不同的參數(shù)方程．答案:C2．把函數(shù)y＝eq\f（1,2）sin2x的圖象經(jīng)過(guò)________變化，可以得到函數(shù)y＝eq\f(1，4)sinx的圖象．()A．橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的eq\f（1,2）倍，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍B．橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍,縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍C．橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的eq\f（1,2)倍，縱坐標(biāo)縮短為原來(lái)的eq\f（1，2）倍D．橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)縮短為原來(lái)的eq\f(1，2)解析：本題主要考查直角坐標(biāo)系的伸縮變換,根據(jù)變換的方法和步驟可知,把函數(shù)y＝eq\f（1，2)sin2x的圖象的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍可得y＝eq\f(1,2)sinx的圖象，再把縱坐標(biāo)縮短為原來(lái)的eq\f（1,2），得到y(tǒng)＝eq\f（1,4）sinx的圖象．答案：D3．極坐標(biāo)方程ρ2－ρ（2＋sinθ）＋2sinθ＝0表示的圖形是()A．一個(gè)圓與一條直線 B．一個(gè)圓C．兩個(gè)圓 D．兩條直線解析：所給方程可以化為（ρ－2）（ρ－sinθ)＝0，即ρ＝2或ρ＝sinθ.化成直角坐標(biāo)方程分別為x2＋y2＝4和x2＋y2－y＝0，可知分別表示兩個(gè)圓．答案:C4．在極坐標(biāo)系中,如果一個(gè)圓方程是ρ＝4cosθ＋6sinθ,那么過(guò)圓心且與極軸平行的直線方程是(）A．ρsinθ＝3 B．ρsinθ＝－3C．ρcosθ＝2 D．ρcosθ＝－2答案：A5．將參數(shù)方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋sin2θ，y＝sin2θ））（θ為參數(shù)）化為普通方程為(）A．y＝x－2 B．y＝x＋2C．y＝x－2（2≤x≤3) D．y＝x＋2（0≤y≤1）解析：由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝2＋sin2θ，y＝sin2θ)）知x＝2＋y（2≤x≤3）所以y＝x－2(2≤x≤3）．答案:C6．經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(1,5）且傾斜角為eq\f(π,3)的直線，以定點(diǎn)M到動(dòng)點(diǎn)P的位移t為參數(shù)的參數(shù)方程是()A．eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝1＋\f（1，2）t,y＝5－\f(\r（3),2）t)) B．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝1－\f（1，2)t,y＝5＋\f(\r(3）,2)t））C．eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1－\f（1,2）t，y＝5－\f(\r(3），2)t）) D．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋\f（1,2）t，y＝5＋\f(\r（3),2)t）)解析:根據(jù)直線參數(shù)方程的定義,易得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋t·cos\f(π,3),y＝5＋t·sin\f(π,3))），即eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝1＋\f(1,2)t，y＝5＋\f(\r（3），2)t)）.答案:D7．x2＋y2＝1經(jīng)過(guò)伸縮變換eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x′＝2x，y′＝3x）)，后所得圖形的焦距()A．4 B．2eq\r（13)C．2eq\r(5) D．6解析：變換后方程變?yōu)?eq\f（x2,4)＋eq\f（y2,9）＝1，故c2＝a2－b2＝9－4＝5，c＝eq\r(5),所以焦距為2eq\r（5）。答案：C8．已知直線eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝2－tsin30°,y＝－1＋tsin30°）)(t為參數(shù))與圓x2＋y2＝8相交于B、C兩點(diǎn),則｜BC｜的值為(）A．2eq\r（7) B．eq\r（30)C．7eq\r（2） D．eq\f(\r（30),2）解析：eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝2－tsin30°,y＝－1＋tsin30°））?eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝2－\f（1,2）t＝2－\f(\r(2),2）t′,y＝－1＋\f(1,2）t＝－1＋\f（\r(2),2）t））(t′為參數(shù))．代入x2＋y2＝8，得t′2－3eq\r(2)t′－3＝0，∴｜BC|＝｜t′1－t′2｜＝eq\r(t′1＋t′22－4t′1t′2)＝eq\r（3\r（2）2＋4×3)＝eq\r（30)，故選B．答案：B9．已知P點(diǎn)的柱坐標(biāo)是eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f（π，4），1）），點(diǎn)Q的球面坐標(biāo)為eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(1，\f(π，2），\f（π，4))）,根據(jù)空間坐標(biāo)系中兩點(diǎn)A（x1,y1,z1），B（x2，y2，z2)之間的距離公式|AB｜＝eq\r（x1－x22＋y1－y22＋z1－z22），可知P、Q之間的距離為(）A．eq\r(3） B．eq\r(2)C．eq\r（5) D．eq\f（\r（2），2）解析：首先根據(jù)柱坐標(biāo)和空間直角坐標(biāo)之間的關(guān)系，把P點(diǎn)的柱坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為空間直角坐標(biāo)(eq\r（2），eq\r(2)，1），再根據(jù)球面坐標(biāo)與空間直角坐標(biāo)之間的關(guān)系把Q點(diǎn)的球坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為空間直角坐標(biāo)eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(\r(2)，2），\f（\r(2），2)，0)),代入兩點(diǎn)之間的距離公式即可得到距離為eq\r（2）。答案：B10．如果直線ρ＝eq\f（1，cosθ－2sinθ）與直線l關(guān)于極軸對(duì)稱，則直線l的極坐標(biāo)方程是(）A．ρ＝eq\f（1,cosθ＋2sinθ) B．ρ＝eq\f(1，2sinθ－conθ)C．ρ＝eq\f(1，2cosθ＋sinθ） D．ρ＝eq\f(1，2cosθ－sinθ)解析：由ρ＝eq\f(1，cosθ＋2sinθ）知ρcosθ＋2ρsinθ＝1，∴x＋2y＝1。答案：C11．圓心在原點(diǎn)，半徑為2的圓的漸開線的參數(shù)方程是（)A．eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝2cosφ＋4sinφ，，y＝2sinφ－4cosφ。）)(φ為參數(shù))B．eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝4cosθ＋θsinθ,，y＝4sinθ－θcosθ.）)(θ為參數(shù))C．eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝2φ－sinφ,，y＝21－cosφ.)）(φ為參數(shù)）D．eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝4θ－sinθ，,y＝41－cosθ.））（θ為參數(shù)）解析：圓心在原點(diǎn)，半徑為2的圓的漸開線的參數(shù)方程為eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝2cosφ＋φsinφ，,y＝2sinφ－φcosφ.φ為參數(shù).))答案:A12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Ω是一個(gè)與x軸的正半軸、y軸的正半軸分別相切于點(diǎn)C、D的定圓所圍成的區(qū)域(含邊界），A、B、C、D是該圓的四等分點(diǎn)．若點(diǎn)P（x,y）、點(diǎn)P′（x′，y′)滿足x≤x′，且y≥y′,則稱P優(yōu)于P′.如果Ω中的點(diǎn)Q滿足：不存在Ω中的其他點(diǎn)優(yōu)于Q,那么所有這樣的點(diǎn)Q組成的集合是劣?。ǎ〢．eq\x\to（AB） B．eq\x\to(BC)C．eq\x\to(CD） D．eq\x\to(DA）解析：∵x≤x′且y≥y′，∴點(diǎn)P（x，y）在點(diǎn)P′(x′,y′）的左上方．∵Ω中不存在優(yōu)于Q的點(diǎn)，∴點(diǎn)Q組成的集合是劣弧eq\x\to(AD)，故選D．答案：D二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分．把正確答案填在題中橫線上)13．已知直線的極坐標(biāo)方程為ρsineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（θ＋\f(π,4）)）＝eq\f(\r（2)，2）,則極點(diǎn)到該直線的距離是________解析：對(duì)于求一點(diǎn)到一條直線的距離問(wèn)題，我們聯(lián)想到的是直角坐標(biāo)系中的距離公式，因此應(yīng)首選把極坐標(biāo)平面內(nèi)的問(wèn)題化為直角坐標(biāo)問(wèn)題的解決方法，這需把極點(diǎn)、直線的方程化為直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)、直線的方程．極點(diǎn)的直角坐標(biāo)為O（0，0），ρsineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（θ＋\f(π，4）))＝ρeq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（\r(2)，2)sinθ＋\f(\r(2)，2)cosθ））＝eq\f(\r(2)，2），∴ρsinθ＋ρcosθ＝1,化為直角坐標(biāo)方程為x＋y－1＝0.∴點(diǎn)O（0,0）到直線x＋y－1＝0的距離為d＝eq\f(1，\r(2）)＝eq\f(\r（2)，2)，即極點(diǎn)到直線ρsineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（θ＋\f（π，4）)）＝eq\f（\r(2）,2)的距離為eq\f(\r（2)，2)。答案:eq\f（\r(2),2）14．直線eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝tcosα,，y＝tsinα))(t為參數(shù))與圓eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝4＋2cosφ，，y＝2sinφ)）（φ為參數(shù))相切，則此直線的傾斜角α＝________。解析：直線：y＝x·tanα，圓：(x－4）2＋y2＝4,如圖，sinα＝eq\f(2,4)＝eq\f（1，2），∴α＝eq\f（π,6)或eq\f(5,6）π。答案:eq\f（π，6）或eq\f(5,6）π。15．已知直線l的參數(shù)方程eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝t，,y＝1＋2t)）（t為參數(shù)）,若以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2eq\r(2)sineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4))）.則圓的直角坐標(biāo)方程為__________，直線l和圓C的位置關(guān)系為__________(填相交、相切、相離）．解析：(1)消去參數(shù)t，得直線l的普通方程為y＝2x＋1.ρ＝2eq\r(2)sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（θ＋\f（π,4）))即ρ＝2(sinθ＋cosθ），兩邊同乘以ρ得ρ2＝2（ρsinθ＋ρcosθ）,消去參數(shù)θ，得⊙C的直角坐標(biāo)方程為（x－1）2＋(y－1)2＝2.(2）圓心C到直線l的距離d＝eq\f（｜2－1＋1｜，\r(22＋12))＝eq\f（2\r（5),5)〈eq\r（2），所以直線l和⊙C相交．答案：(x－1）2＋(y－1)2＝2；相交16．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t＋3，，y＝3－t）)(參數(shù)t∈R），圓C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝2cosθ,y＝2sinθ＋2))（參數(shù)θ∈［0,2π]），則圓C的圓心坐標(biāo)為______,圓心到直線l的距離為______。解析：直線和圓的方程分別是x＋y－6＝0，x2＋(y－2）2＝22，所以圓心為(0,2），其到直線的距離為d＝eq\f（｜0＋2－6|,\r（1＋1))＝2eq\r（2)。答案：(0,2)2eq\r(2)三、解答題（本大題共6小題，共74分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17．（12分)（1)化ρ＝cosθ－2sinθ.為直角坐標(biāo)形式并說(shuō)明曲線的形狀；(2）化曲線F的直角坐標(biāo)方程:x2＋y2－5eq\r（x2＋y2）－5x＝0為極坐標(biāo)方程．解析：（1)ρ＝cosθ－2sinθ兩邊同乘以ρ得ρ2＝ρcosθ－2ρsinθ∴x2＋y2＝x－2y即x2＋y2－x＋2y＝0即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)）)2＋（y＋1）2＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(\r(5），2)))2表示的是以eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－1))為圓心，半徑為eq\f(\r（5）,2)的圓．（2)由x＝ρcosθ,y＝ρsinθ得x2＋y2－5eq\r(x2＋y2)－5x＝0的極坐標(biāo)方程為：ρ2－5ρ－5ρcosθ＝0。18．（12分）在極坐標(biāo)系中,已知圓C的圓心Ceq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（3，\f（π,9）))，半徑為1。Q點(diǎn)在圓周上運(yùn)動(dòng),O為極點(diǎn)．(1）求圓C的極坐標(biāo)方程；（2)若P在直線OQ上運(yùn)動(dòng)，且滿足eq\f(OQ,QP)＝eq\f（2,3)，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程．解析：（1）設(shè)M(ρ，θ）為圓C上任意一點(diǎn),如圖,在△OCM中，|OC|＝3，|OM|＝ρ，|CM｜＝1，∠COM＝eq\b\lc\｜\rc\|(\a\vs4\al\co1(θ－\f（π，6)））,根據(jù)余弦定理，得1＝ρ2＋9－2·ρ·3·coseq\b\lc\｜\rc\｜(\a\vs4\al\co1(θ－\f（π，6)）)，化簡(jiǎn)整理，得ρ2－6·ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f（π,6)））＋8＝0為圓C的軌跡方程．(2）設(shè)Q（ρ1，θ1)，則有ρeq\o\al(2,1)－6·ρ1coseq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（θ1－\f(π，6))）＋8＝0①設(shè)P(ρ，θ),則OQ∶QP＝ρ1∶(ρ－ρ1）＝2∶3?ρ1＝eq\f（2，5)ρ，又θ1＝θ,即eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（ρ1＝\f（2，5)ρ，，θ1＝θ，))代入①得eq\f（4，25）ρ2－6·eq\f(2,5)ρcos(θ－eq\f(π,6))＋8＝0,整理得ρ2－15ρcoseq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(θ－\f(5π，6)）)＋50＝0為P點(diǎn)的軌跡方程．19．(12分)已知橢圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2＝eq\f(12,3cos2θ＋4sin2θ），點(diǎn)F1，F(xiàn)2為其左，右焦點(diǎn),直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝2＋\f(\r(2）,2）t,,y＝\f(\r（2)，2）t））（t為參數(shù),t∈R）．（1)求直線l和曲線C的普通方程；(2）求點(diǎn)F1，F(xiàn)2到直線l的距離之和．解析：(1）直線l的普通方程為y＝x－2；曲線C的普通方程為eq\f(x2,4）＋eq\f（y2,3)＝1。（2）∵F1(－1，0），F(xiàn)2（1，0），∴點(diǎn)F1到直線l的距離d1＝eq\f(｜－1－0－2｜,\r(2))＝eq\f(3\r（2）,2）.點(diǎn)F2到直線l的距離d2＝eq\f(｜1－0－2|，\r(2)）＝eq\f(\r(2），2）,∴d1＋d2＝2eq\r(2）.20．(12分）已知直線l過(guò)點(diǎn)P（2，0)，斜率為eq\f(4，3），直線l與拋物線y2＝2x相交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M。(1)求P、M兩點(diǎn)間的距離；(2）求M點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）求線段AB的長(zhǎng)|AB|.解析：(1)∵直線l過(guò)點(diǎn)P（2，0)，斜率為eq\f（4，3），設(shè)傾斜角為α，tanα＝eq\f(4，3），cosα＝eq\f(3,5）,sinα＝eq\f（4,5）,∴直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋\f(3，5)t,y＝\f（4,5)t)）(t為參數(shù)），∵直線l與拋物線相交，把直線l的參數(shù)方程代入拋物線方程y2＝2x,整理得8t2－15t－50＝0,設(shè)這個(gè)方程的兩個(gè)根為t1、t2，則t1＋t2＝eq\f(15,8）,t1·t2＝－eq\f(25,4)。由M為線段AB的中點(diǎn),根據(jù)t的幾何意義，得|PM|＝eq\b\lc\｜\rc\|（\a\vs4\al\co1(\f(t1＋t2，2)))＝eq\f(15，16).（2）由（1）知，中點(diǎn)M所對(duì)參數(shù)為tM＝eq\f（15,16），代入直線的參數(shù)方程，M點(diǎn)的坐標(biāo)為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝2＋\f(3,5)×\f(15，16)＝\f(41,16）,y＝\f（4,5）×\f（15，16)＝\f（3,4）))，即Meq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（41，16），\f（3，4))）.（3）由參數(shù)t的幾何意義，｜AB|＝|t2－t1|＝eq\r（t2＋t12－4t1t2）＝eq\f(5，8）eq\r(73).21．(12分)如圖，自雙曲線x2－y2＝1上一動(dòng)點(diǎn)Q引直線l：x＋y＝2的垂線，垂足為N，求線段QN中點(diǎn)P的軌跡方程．解析：設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(secφ，tanφ)，（φ為參數(shù))．∵QN⊥l,∴可設(shè)直線QN的方程為x－y＝λ ①將點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入①得：λ＝secφ－tanφ所以線段QN的方程為x－y＝secφ－tn