2017學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章平面向量章末檢測(cè)（A）含答案

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第二章平面向量（A）(時(shí)間:120分鐘滿分：150分）一、選擇題（本大題共12小題,每小題5分，共60分）1．與向量a＝（1，eq\r（3）)的夾角為30°的單位向量是（)A．（eq\f（1，2），eq\f(\r(3）,2））或（1，eq\r（3))B．（eq\f（\r（3），2)，eq\f(1,2）)C．(0，1）D．(0,1）或（eq\f（\r(3),2)，eq\f（1，2））2．設(shè)向量a＝（1，0），b＝（eq\f（1，2），eq\f（1,2））,則下列結(jié)論中正確的是（）A．|a｜＝｜b｜B．a(chǎn)·b＝eq\f(\r(2)，2)C．a(chǎn)－b與b垂直D．a(chǎn)∥b3．已知三個(gè)力f1＝（－2，－1），f2＝(－3，2），f3＝（4，－3)同時(shí)作用于某物體上一點(diǎn)，為使物體保持平衡，現(xiàn)加上一個(gè)力f4，則f4等于（)A．（－1，－2)B．(1,－2)C．(－1,2）D．（1，2)4．已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，eq\o（AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，eq\o（AC，\s\up6（→）)＝c，則a＋b＋c的模等于(）A．0B．2＋eq\r(2）C.eq\r(2）D．2eq\r（2）5．若a與b滿足|a|＝｜b｜＝1，<a，b〉＝60°，則a·a＋a·b等于（）A.eq\f（1，2）B.eq\f（3，2）C．1＋eq\f(\r（3）,2)D．26．若向量a＝（1，1），b＝(1，－1），c＝（－1，2），則c等于(）A．－eq\f(1，2)a＋eq\f(3,2)bB.eq\f(1,2）a－eq\f(3,2)bC.eq\f(3，2）a－eq\f(1,2)bD．－eq\f（3,2)a＋eq\f(1,2）b7．若向量a＝(1,1)，b＝（2，5），c＝(3，x)，滿足條件（8a－b）·c＝30，則xA．6B．5C．4D8．向量eq\o（BA,\s\up6（→)）＝(4，－3），向量eq\o（BC,\s\up6（→))＝(2，－4)，則△ABC的形狀為（)A．等腰非直角三角形B．等邊三角形C．直角非等腰三角形D．等腰直角三角形9．設(shè)點(diǎn)A（1,2)、B(3，5），將向量eq\o(AB，\s\up6（→）)按向量a＝（－1，－1)平移后得到eq\o(A′B′,\s\up6(→))為()A．(1,2)B．(2,3)C．(3，4）D．(4，7）10．若a＝(λ，2），b＝（－3，5）,且a與b的夾角是鈍角,則λ的取值范圍是（）A。eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(10，3)，＋∞））B。eq\b\lc\［\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（10,3），＋∞）)C。eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（－∞,\f（10,3）))D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(10，3）））11．在菱形ABCD中,若AC＝2,則eq\o(CA,\s\up6（→））·eq\o（AB,\s\up6（→））等于()A．2B．－2C．｜eq\o(AB，\s\up6（→））|cosAD．與菱形的邊長(zhǎng)有關(guān)12．如圖所示，已知正六邊形P1P2P3P4P5P6，下列向量的數(shù)量積中最大的是（）A。eq\o(P1P2,\s\up6(→)）·eq\o（P1P3，\s\up6(→））B。eq\o（P1P2，\s\up6(→））·eq\o（P1P4,\s\up6（→)）C。eq\o(P1P2，\s\up6(→)）·eq\o(P1P5，\s\up6(→））D。eq\o(P1P2，\s\up6（→））·eq\o(P1P6，\s\up6（→）)題號(hào)123456789101112答案二、填空題（本大題共4小題,每小題5分，共20分)13．已知向量a＝（2，－1），b＝(－1，m），c＝(－1，2）,若(a＋b)∥c，則m＝________。14．已知向量a和向量b的夾角為30°，|a｜＝2,|b|＝eq\r(3)，則向量a和向量b的數(shù)量積a·b＝________。15．已知非零向量a，b，若|a|＝|b|＝1，且a⊥b，又知（2a＋3b)⊥(ka－4b），則實(shí)數(shù)k的值為________16。如圖所示，半圓的直徑AB＝2,O為圓心，C是半圓上不同于A，B的任意一點(diǎn)，若P為半徑OC上的動(dòng)點(diǎn)，則(eq\o(PA,\s\up6(→）)＋eq\o（PB,\s\up6(→)））·eq\o（PC,\s\up6（→））的最小值是________．三、解答題(本大題共6小題，共70分）17．（10分）已知a，b,c在同一平面內(nèi)，且a＝(1，2）．（1)若|c|＝2eq\r（5)，且c∥a,求c；（2)若｜b｜＝eq\f（\r（5),2），且(a＋2b)⊥(2a－b），求a與b的夾角．18．(12分)已知|a｜＝2，|b｜＝3,a與b的夾角為60°，c＝5a＋3b，d＝3a＋kb，當(dāng)實(shí)數(shù)k(1）c∥d;(2）c⊥d。19．（12分）已知｜a|＝1，a·b＝eq\f（1,2)，（a－b)·（a＋b)＝eq\f(1，2)，求：（1)a與b的夾角；（2）a－b與a＋b的夾角的余弦值．20．(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（－1，－2)，B(2，3）,C(－2，－1)．(1)求以線段AB、AC為鄰邊的平行四邊形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)；(2)設(shè)實(shí)數(shù)t滿足（eq\o(AB，\s\up6（→）)－teq\o（OC,\s\up6(→)))·eq\o（OC,\s\up6(→））＝0，求t的值．21．(12分)已知正方形ABCD，E、F分別是CD、AD的中點(diǎn),BE、CF交于點(diǎn)P.求證：(1)BE⊥CF；（2)AP＝AB.22．(12分）已知向量eq\o（OP1,\s\up6（→)）、eq\o(OP2，\s\up6(→））、eq\o（OP3,\s\up6（→))滿足條件eq\o(OP1，\s\up6(→））＋eq\o（OP2，\s\up6（→）)＋eq\o（OP3，\s\up6(→）)＝0,｜eq\o（OP1，\s\up6（→）)｜＝｜eq\o(OP2,\s\up6（→))|＝｜eq\o(OP3,\s\up6(→））｜＝1。求證：△P1P2P3是正三角形．第二章平面向量（A)答案1．D2.C3．D[根據(jù)力的平衡原理有f1＋f2＋f3＋f4＝0，∴f4＝－(f1＋f2＋f3）＝(1,2)．]4．D[｜a＋b＋c|＝｜eq\o（AB,\s\up6（→))＋eq\o(BC,\s\up6(→）)＋eq\o（AC,\s\up6（→))｜＝|2eq\o（AC,\s\up6(→))｜＝2|eq\o（AC，\s\up6（→））|＝2eq\r（2）。]5．B[由題意得a·a＋a·b＝|a｜2＋｜a|｜b|cos60°＝1＋eq\f（1,2）＝eq\f（3,2),故選B。］6．B［令c＝λa＋μb，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＋μ＝－1，λ－μ＝2，）)∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(1,2）,μ＝－\f(3,2)，）)∴c＝eq\f(1，2）a－eq\f（3，2）b.]7．C[∵a＝（1,1)，b＝（2,5)，∴8a－b＝(8,8）－（2,5)＝(6，3)．又∵（8a－b）·c＝30,∴（6，3）·（3,x)＝18＋3x＝30.∴x8．C［∵eq\o（BA，\s\up6(→）)＝（4，－3)，eq\o（BC,\s\up6（→））＝(2，－4)，∴eq\o(AC，\s\up6（→）)＝eq\o（BC,\s\up6(→))－eq\o（BA,\s\up6（→))＝（－2，－1)，∴eq\o(CA,\s\up6(→)）·eq\o(CB，\s\up6(→))＝(2,1)·(－2,4）＝0,∴∠C＝90°，且|eq\o（CA，\s\up6（→））｜＝eq\r(5)，|eq\o(CB,\s\up6(→）)｜＝2eq\r(5）,|eq\o（CA,\s\up6(→))|≠｜eq\o（CB，\s\up6（→)）｜.∴△ABC是直角非等腰三角形．］9．B[∵eq\o(AB，\s\up6(→))＝(3，5)－(1，2）＝（2，3)，平移向量eq\o(AB，\s\up6（→)）后得eq\o（A′B′，\s\up6（→)），eq\o（A′B′,\s\up6（→））＝eq\o（AB，\s\up6(→)）＝（2,3)．］10．A［a·b＝－3λ＋10<0,∴λ>eq\f（10,3)。當(dāng)a與b共線時(shí),eq\f(λ，－3）＝eq\f(2，5），∴λ＝eq\f（－6，5）.此時(shí)，a與b同向,∴λ>eq\f(10，3)。]11．B[如圖，設(shè)對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，∴eq\o（AB，\s\up6(→））＝eq\o(AO,\s\up6（→））＋eq\o(OB,\s\up6（→))。eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6（→）)＝eq\o(CA，\s\up6（→))·(eq\o(AO，\s\up6(→））＋eq\o(OB,\s\up6（→））)＝－2＋0＝－2，故選B.]12．A［根據(jù)正六邊形的幾何性質(zhì)．〈eq\o（P1P2,\s\up6（→）)，eq\o（P1P3,\s\up6(→))>＝eq\f(π,6),〈eq\o（P1P2,\s\up6（→))，eq\o（P1P4,\s\up6（→））〉＝eq\f（π，3)，〈eq\o（P1P2，\s\up6(→)），eq\o（P1P5，\s\up6(→））〉＝eq\f(π，2）,<eq\o(P1P2,\s\up6(→）），eq\o(P1P6，\s\up6(→))〉＝eq\f(2π，3).∴eq\o（P1P2，\s\up6（→）)·eq\o(P1P6,\s\up6(→））<0，eq\o（P1P2，\s\up6（→)）·eq\o（P1P5，\s\up6(→))＝0，eq\o（P1P2，\s\up6(→))·eq\o（P1P3，\s\up6（→）)＝|eq\o（P1P2,\s\up6(→))|·eq\r(3)｜eq\o（P1P2，\s\up6（→))｜c(diǎn)oseq\f(π，6)＝eq\f（3,2）|eq\o（P1P2，\s\up6(→））|2,eq\o(P1P2,\s\up6（→)）·eq\o（P1P4,\s\up6（→)）＝｜eq\o（P1P2,\s\up6(→）)｜·2|eq\o（P1P2,\s\up6(→））|·coseq\f（π,3）＝|eq\o(P1P2,\s\up6（→）)｜2.比較可知A正確．］13．－1解析∵a＝（2,－1），b＝（－1，m），∴a＋b＝(1，m－1）．∵(a＋b）∥c，c＝（－1，2），∴2－(－1)·(m－1）＝0.∴m＝－1。14．3解析a·b＝|a｜｜b｜c(diǎn)os30°＝2·eq\r（3)·cos30°＝3.15．6解析由(2a＋3b)·（ka－4b）＝2ka2－12b2＝2k－12＝0,∴k16．－eq\f(1，2)解析因?yàn)辄c(diǎn)O是A，B的中點(diǎn)，所以eq\o(PA,\s\up6（→)）＋eq\o（PB，\s\up6（→））＝2eq\o(PO,\s\up6（→）），設(shè)｜eq\o（PC，\s\up6(→））｜＝x，則｜eq\o（PO，\s\up6(→）)｜＝1－x(0≤x≤1)．所以(eq\o(PA，\s\up6(→))＋eq\o（PB,\s\up6（→)））·eq\o（PC，\s\up6(→)）＝2eq\o（PO,\s\up6（→))·eq\o（PC,\s\up6(→）)＝－2x（1－x)＝2（x－eq\f（1,2))2－eq\f（1,2)?！喈?dāng)x＝eq\f（1,2）時(shí)，（eq\o(PA,\s\up6(→）)＋eq\o(PB，\s\up6(→))）·eq\o(PC，\s\up6(→））取到最小值－eq\f(1,2).17．解(1）∵c∥a,∴設(shè)c＝λa，則c＝（λ，2λ）．又|c|＝2eq\r（5)，∴λ＝±2，∴c＝(2,4）或（－2，－4）．(2）∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋2b)）⊥(2a－b)，∴（a＋2b)·(2a－b）＝0.∵|a｜＝eq\r（5)，｜b｜＝eq\f（\r（5）,2)，∴a·b＝－eq\f（5，2）.∴cosθ＝eq\f（a·b,|a||b｜）＝－1，∴θ＝180°.18．解由題意得a·b＝|a|｜b|cos60°＝2×3×eq\f（1，2）＝3.（1)當(dāng)c∥d，c＝λd，則5a＋3b＝λ（3a＋k∴3λ＝5,且kλ＝3，∴k＝eq\f（9，5）。（2)當(dāng)c⊥d時(shí),c·d＝0,則（5a＋3b)·（3a＋kb∴15a2＋3kb2＋（9＋5k)a·b＝0，∴k＝－eq\f（29，14).19．解(1)∵(a－b)·（a＋b）＝|a|2－｜b|2＝1－|b｜2＝eq\f(1，2),∴|b|2＝eq\f（1,2),∴|b｜＝eq\f（\r(2）,2),設(shè)a與b的夾角為θ,則cosθ＝eq\f(a·b,|a||b｜）＝eq\f(\f（1,2)，1×\f(\r（2),2))＝eq\f（\r(2），2)?！唳龋?5°.（2）∵｜a|＝1，|b|＝eq\f(\r(2），2）,∴｜a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×eq\f(1，2）＋eq\f（1,2)＝eq\f（1,2）?！鄚a－b｜＝eq\f（\r（2），2），又｜a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×eq\f（1，2)＋eq\f(1，2）＝eq\f(5,2）。∴|a＋b｜＝eq\f（\r(10）,2），設(shè)a－b與a＋b的夾角為α,則cosα＝eq\f(a－b·a＋b，|a－b|·｜a＋b｜)＝eq\f(\f（1,2），\f（\r（2),2）×\f（\r(10)，2）)＝eq\f（\r（5），5）.即a－b與a＋b的夾角的余弦值為eq\f（\r（5),5）.20．解(1)eq\o（AB,\s\up6（→))＝(3,5），eq\o（AC,\s\up6(→))＝（－1,1），求兩條對(duì)角線的長(zhǎng)即求｜eq\o（AB，\s\up6（→))＋eq\o（AC,\s\up6(→））|與|eq\o（AB，\s\up6（→）)－eq\o(AC,\s\up6（→))｜的大?。蒭q\o(AB，\s\up6(→））＋eq\o(AC，\s\up6（→）)＝(2，6)，得|eq\o(AB，\s\up6(→))＋eq\o（AC，\s\up6(→))|＝2eq\r（10)，由eq\o(AB,\s\up6(→））－eq\o(AC，\s\up6(→))＝（4,4)，得|eq\o（AB,\s\up6(→））－eq\o（AC,\s\up6（→）)｜＝4eq\r（2）.（2）eq\o（OC,\s\up6(→）)＝（－2，－1），∵（eq\o（AB，\s\up6（→）)－teq\o(OC，\s\up6(→)））·eq\o(OC,\s\up6(→)）＝eq\o(AB，\s\up6(→）)·eq\o(OC，\s\up6（→))－teq\o(OC,\s\up6（→)）2，易求eq\o(AB，\s\up6（→）)·eq\o(OC，\s\up6(→）)＝－11，eq\o(OC，\s\up6(→)）2＝5，∴由(eq\o（AB，\s\up6(→))－teq\o（OC,\s\up6(→）））·eq\o（OC，\s\up6（→)）＝0得t＝－eq\f（11,5)。21．證明如圖建立直角坐標(biāo)系xOy，其中A為原點(diǎn)，不妨設(shè)AB＝2，則A（0，0)，B（2，0），C（2，2）,E（1,2),F(0,1)．(1）eq\o（BE，\s\up6(→)）＝eq\o(OE，\s\up6（→））－eq\o（OB,\s\up6(→))＝(1，2）－（2,0)＝（－1，2），eq\o（CF,\s\up6(→））＝eq\o(OF,\s\up6（→））－eq\o(OC,\s\up6（→）)＝(0,1）－（2,2)＝（－2，－1)，∵eq\o(BE,\s\up6(→）)·eq\o（CF，\s\up6（→))＝－1×（－2)＋2×(－1)＝0，∴eq\o(BE,\s\up6（→）)⊥eq\o(CF,\s\up6(→））,即BE⊥CF.(2)設(shè)P(x，y）,則eq\o（FP,\s\up6(→）)＝（x，y－1)，eq\o（CF,\s\up6（→）)＝(－2,－1)，∵eq\o（FP,\s\up6(→)）∥eq\o（CF,\s\up6（→）)，∴－x＝－2（y－1)，即x＝2y－2.同理由eq\o(BP,\s\up6（→）)∥eq\o(BE，\s\up6（→)）,得y＝－2x＋4，代入x＝2y－2.解得x＝eq\f（6，5），∴y＝eq\f(8，5)，即Peq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(6，5），\f（8,5)））.∴eq\o(AP,\s\up6（→)）2＝eq\b\lc\