2018學(xué)數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)練酷專題課時(shí)跟蹤檢測(cè)（十）空間幾何體的三視圖、表面積與體積理

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE16學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE課時(shí)跟蹤檢測(cè)（十)空間幾何體的三視圖、表面積與體積eq\a\vs4\al（[A級(jí)——“12＋4"保分小題提速練])1．（2017·福州模擬）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體各面中直角三角形的個(gè)數(shù)是(）A．2 B．3C．4 D．5解析：選C由三視圖知，該幾何體是如圖所示的四棱錐P.ABCD，易知四棱錐P-ABCD的四個(gè)側(cè)面都是直角三角形，即此幾何體各面中直角三角形的個(gè)數(shù)是4.2．（2017·沈陽(yáng)模擬)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積是()A．36＋6eq\r(10) B．36＋3eq\r（10)C．54 D．27解析：選A由三視圖知,該幾何體的直觀圖如圖所示，故表面積為S＝2×eq\f（1,2)×（2＋4）×3＋2×3＋4×3＋3×2×eq\r（10）＝36＋6eq\r(10)。3。（2017·廣州模擬）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線畫出的是某幾何體的正視圖(等腰直角三角形)和側(cè)視圖，且該幾何體的體積為eq\f（8,3），則該幾何體的俯視圖可以是（)解析:選D由題意可得該幾何體可能為四棱錐,如圖所示,其高為2，底面為正方形，面積為2×2＝4，因?yàn)樵搸缀误w的體積為eq\f（1，3）×4×2＝eq\f(8,3），滿足條件，所以俯視圖可以為一個(gè)直角三角形．故選D。4．(2018屆高三·惠州摸底)某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐最長(zhǎng)棱的棱長(zhǎng)為（)A．1 B.eq\r（2）C.eq\r(3） D．2解析:選C四棱錐的直觀圖如圖所示，PC⊥平面ABCD,PC＝1，底面四邊形ABCD為正方形且邊長(zhǎng)為1，故最長(zhǎng)棱PA＝eq\r（12＋12＋12）＝eq\r（3).5．（2017·陜西模擬）如圖,網(wǎng)格紙上的小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫出的是一個(gè)幾何體的三視圖,則該幾何體的體積是()A．4＋6π B．8＋6πC．4＋12π D．8＋12π解析：選B該幾何體為四棱錐與半個(gè)圓柱的上下組合體，其中半個(gè)圓柱的底面圓直徑為4,母線長(zhǎng)為3，四棱錐的底面是長(zhǎng)為4,寬為3的矩形，高為2，所以組合體的體積為V＝eq\f（1，2)×π×22×3＋eq\f(1，3）×4×3×2＝8＋6π。6．（2018屆高三·皖南八校聯(lián)考)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A．12 B．18C．24 D．30解析:選C由三視圖知,該幾何體是一個(gè)長(zhǎng)方體的一半再截去一個(gè)三棱錐后得到的，該幾何體的體積V＝eq\f（1，2）×4×3×5－eq\f（1，3）×eq\f（1,2）×4×3×（5－2)＝24。7．（2017·寶雞模擬)已知A，B，C三點(diǎn)都在以O(shè)為球心的球面上，OA，OB，OC兩兩垂直，三棱錐O.ABC的體積為eq\f（4，3）,則球O的表面積為(）A。eq\f(16π,3） B．16πC。eq\f(32π,3） D．32π解析：選B設(shè)球O的半徑為R，以球心O為頂點(diǎn)的三棱錐三條側(cè)棱兩兩垂直且都等于球的半徑R，另外一個(gè)側(cè)面是邊長(zhǎng)為eq\r(2)R的等邊三角形．因此根據(jù)三棱錐的體積公式得eq\f（1,3)×eq\f（1,2)R2·R＝eq\f（4,3)，∴R＝2，∴球的表面積S＝4π×22＝16π。8．(2017·湖北五校聯(lián)考)如圖為某幾何體的三視圖,則該幾何體的外接球的表面積為()A。eq\f（27,2)π B．27πC．27eq\r(3)π D。eq\f(27\r(3)，2)π解析：選B由三視圖可知，該幾何體是由一個(gè)正方體切割成的一個(gè)四棱錐，則該幾何體的外接球的半徑為eq\f(1，2)eq\r(32＋32＋32）＝eq\f（3\r（3),2)，從而得其表面積為4π×eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（3\r(3),2))）2＝27π.9．（2018屆高三·廣州五校聯(lián)考)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為(）A。eq\f(10＋2\r（2）π，2）＋1 B.eq\f(13π,6)C。eq\f(11＋\r(2)π，2）＋1 D.eq\f（11＋2\r(2）π,2）＋1解析:選C由三視圖可知該幾何體是一個(gè)圓柱和半個(gè)圓錐的組合體，故其表面積為eq\f(\r（2)，2)π＋1＋2π×2＋eq\f（3，2)π＝eq\f（11＋\r(2)π，2）＋1。10．（2017·昆明模擬)某幾何體的三視圖如圖所示,若這個(gè)幾何體的頂點(diǎn)都在球O的表面上,則球O的表面積是()A．2π B．4πC．5π D．20π解析：選C由三視圖知,該幾何體為三棱錐，且其中邊長(zhǎng)為1的側(cè)棱與底面垂直,底面為底邊長(zhǎng)為2的等腰直角三角形，所以可以將該三棱錐補(bǔ)形為長(zhǎng)、寬、高分別為eq\r（2），eq\r（2），1的長(zhǎng)方體，所以該幾何體的外接球O的半徑R＝eq\f(\r(\r(2）2＋\r(2)2＋12),2)＝eq\f(\r（5），2)，所以球O的表面積S＝4πR2＝5π.11．（2017·合肥模擬）一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(其中正視圖的弧線為四分之一圓周），則該幾何體的表面積為(）A．72＋6π B．72＋4πC．48＋6π D．48＋4π解析：選A由三視圖知，該幾何體由一個(gè)正方體的eq\f（3,4）部分與一個(gè)圓柱的eq\f(1,4)部分組合而成(如圖所示),其表面積為16×2＋(16－4＋π）×2＋4×(2＋2＋π）＝72＋6π。12．(2017·福州模擬）已知球O的半徑為R，A,B,C三點(diǎn)在球O的球面上，球心O到平面ABC的距離為eq\f(\r（3)，2）R，AB＝AC＝BC＝2eq\r（3)，則球O的表面積為(）A.eq\f（16，3)π B．16πC。eq\f(64，3）π D．64π解析：選D設(shè)△ABC外接圓的圓心為O1，半徑為r，因?yàn)锳B＝AC＝BC＝2eq\r(3），所以△ABC為正三角形，其外接圓的半徑r＝eq\f(2\r(3）,2sin60°)＝2,所以O(shè)O1⊥平面ABC，所以O(shè)A2＝OOeq\o\al（2，1)＋r2,所以R2＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（\r（3）,2)R）)2＋22，解得R2＝16，所以球O的表面積為4πR2＝64π。13．（2017·青島模擬）設(shè)甲、乙兩個(gè)圓柱的底面積分別為S1，S2，體積分別為V1，V2，若它們的側(cè)面積相等，且eq\f（S1,S2)＝eq\f(9,4），則eq\f(V1，V2）的值是________．解析：設(shè)甲、乙兩個(gè)圓柱的底面半徑分別是r1，r2，母線長(zhǎng)分別是l1,l2.則由eq\f(S1，S2)＝eq\f(9,4)可得eq\f(r1，r2）＝eq\f(3,2）.又兩個(gè)圓柱的側(cè)面積相等，即2πr1l1＝2πr2l2，則eq\f（l1，l2)＝eq\f（r2,r1）＝eq\f(2，3),所以eq\f（V1,V2)＝eq\f(S1l1,S2l2)＝eq\f（9,4）×eq\f（2,3)＝eq\f(3，2)。答案:eq\f(3，2）14．(2018屆高三·大連調(diào)研)高為4的直三棱柱被削去一部分后得到一個(gè)幾何體，它的直觀圖和三視圖中的側(cè)視圖、俯視圖如圖所示，則該幾何體的體積是原直三棱柱的體積的________．解析:由側(cè)視圖、俯視圖知該幾何體是高為2、底面積為eq\f(1,2）×2×(2＋4)＝6的四棱錐，其體積為4.易知直三棱柱的體積為8,則該幾何體的體積是原直三棱柱的體積的eq\f(1，2）.答案:eq\f（1，2)15．(2017·合肥模擬）某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，則此幾何體的體積為________．解析：由三視圖可知，該幾何體為一個(gè)四棱錐，將其還原在長(zhǎng)方體中，為四棱錐P-ABCD，如圖所示,故其體積VP.ABCD＝eq\f（1,3)×eq\f（1＋2×1,2）×eq\f(\r（3)，2）＝eq\f（\r(3)，4）。答案：eq\f（\r（3），4)16．(2017·長(zhǎng)春模擬)已知四棱錐P。ABCD的底面為矩形,平面PBC⊥平面ABCD,PE⊥BC于點(diǎn)E,EC＝1，AB＝eq\r（6)，BC＝3，PE＝2，則四棱錐P。ABCD的外接球半徑為________．解析：如圖,由已知,設(shè)△PBC的外接圓圓心為O1，半徑為r，在△PBC中,由正弦定理可得eq\f(PC，sin∠PBC）＝2r，即eq\f（\r（5),\f(\r(2)，2））＝2r，解得r＝eq\f（\r(10）,2),設(shè)F為BC邊的中點(diǎn)，進(jìn)而求出O1F＝eq\f(1,2)，設(shè)四棱錐P。ABCD的外接球球心為O,外接球半徑為R，則R2＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（BD,2)))2＋O1F2＝4，所以四棱錐P。ABCD的外接球半徑為2。答案:2eq\a\vs4\al（［B級(jí)——中檔小題強(qiáng)化練])1．某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()A．12＋4eq\r(2) B．18＋8eq\r(2)C．28 D．20＋8eq\r(2）解析:選D由三視圖可知該幾何體是底面為等腰直角三角形的直三棱柱，如圖所示．則該幾何體的表面積為S＝2×eq\f(1，2)×2×2＋2×4×2＋2eq\r（2)×4＝20＋8eq\r(2）。2．(2017·石家莊模擬）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是()A．16 B．20C．52 D．60解析：選B由三視圖知，該幾何體由一個(gè)底面直角邊分別為3，4的直角三角形、高為6的三棱柱被截去兩個(gè)等體積的四棱錐所得,且四棱錐的底面是邊長(zhǎng)分別為2,4的矩形、高是3，所以該幾何體的體積V＝eq\f(1,2）×3×4×6－2×eq\f(1,3)×2×4×3＝20。3．(2017·南寧模擬)設(shè)點(diǎn)A，B，C為球O的球面上三點(diǎn)，O為球心．球O的表面積為100π，且△ABC是邊長(zhǎng)為4eq\r（3）的正三角形，則三棱錐O-ABC的體積為(）A．12 B．12eq\r（3)C．24eq\r（3） D．36eq\r（3)解析：選B∵球O的表面積為100π＝4πr2,∴球O的半徑為5。如圖，取△ABC的中心H，連接OH，連接并延長(zhǎng)AH交BC于點(diǎn)M，則AM＝eq\r(4\r(3）2－\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(4\r（3），2）))2)＝6，AH＝eq\f(2，3）AM＝4，∴OH＝eq\r(OA2－AH2)＝eq\r（52－42)＝3，∴三棱錐O-ABC的體積為V＝eq\f（1,3）×eq\f（\r（3)，4)×(4eq\r（3)）2×3＝12eq\r(3)。4．(2018屆高三·湖南東部六校聯(lián)考)某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐的四個(gè)面的面積中，最大的是（)A．4eq\r(3） B．8eq\r（3)C．4eq\r（7） D．8解析：選C設(shè)該三棱錐為P。ABC，其中PA⊥平面ABC，PA＝4，則由三視圖可知△ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，故PB＝PC＝4eq\r(2），所以S△ABC＝eq\f（1，2）×4×2eq\r（3）＝4eq\r(3)，S△PAB＝S△PAC＝eq\f（1，2)×4×4＝8,S△PBC＝eq\f(1,2）×4×eq\r（4\r（2）2－22)＝4eq\r(7)，故所有面中最大的面積為4eq\r(7）.5．(2017·長(zhǎng)春一檢）已知三棱錐S-ABC中，SA，SB，SC兩兩垂直,且SA＝SB＝SC＝2，Q是三棱錐S-ABC外接球上一動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)Q到平面ABC的距離的最大值為________．解析:將三棱錐S.ABC放入棱長(zhǎng)為2的正方體中，則到平面ABC的距離最大的點(diǎn)應(yīng)在過(guò)球心且和平面ABC垂直的直徑上，因?yàn)檎襟w的外接球直徑和正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)相等，所以2R＝2eq\r（3）（R為外接球的半徑)，則點(diǎn)Q到平面ABC的距離的最大值為eq\f（2，3）×2R＝eq\f(2,3)×2eq\r（3)＝eq\f(4\r(3),3).答案：eq\f(4\r(3)，3)6.（2017·全國(guó)卷Ⅰ)如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5cm,該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D，E,F為圓O上的點(diǎn),△DBC，△ECA，△FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形．沿虛線剪開后，分別以BC,CA，AB為折痕折起△DBC,△ECA，△FAB，使得D，E,F重合，得到三棱錐．當(dāng)△ABC的邊長(zhǎng)變化時(shí)，所得三棱錐體積（單位：cm3）的最大值為________．解析:法一：由題意可知，折起后所得三棱錐為正三棱錐，當(dāng)△ABC的邊長(zhǎng)變化時(shí)，設(shè)△ABC的邊長(zhǎng)為a（a>0)cm，則△ABC的面積為eq\f（\r（3），4)a2,△DBC的高為5－eq\f（\r(3）,6)a，則正三棱錐的高為eq\r(\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(5－\f(\r（3），6)a））2－\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(\r（3)，6)a）)2）＝eq\r(25－\f(5\r(3），3）a），∴25－eq\f(5\r(3）,3）a〉0，∴0〈a〈5eq\r（3），∴所得三棱錐的體積V＝eq\f(1,3)×eq\f（\r(3）,4）a2×eq\r(25－\f(5\r（3),3)a)＝eq\f（\r(3），12）×eq\r（25a4－\f（5\r（3)，3）a5）。