全書的課件-數(shù)學(xué)第十二章

數(shù)學(xué)A（理）§12.1隨機事件的概率第十二章概率、隨機變量及其分布基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)題型分類·深度剖析思想方法·感悟提高練出高分1.概率和頻率(1)在相同的條件S下重復(fù)n次試驗，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事件A出現(xiàn)的比例fn(A)＝

為事件A出現(xiàn)的頻率.(2)對于給定的隨機事件A，在相同條件下，隨著試驗次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的

會在某個常數(shù)附近擺動并趨于穩(wěn)定，我們可以用這個常數(shù)來刻畫隨機事件A發(fā)生的可能性大小，并把這個

稱為隨機事件A的概率，記作P(A).頻率常數(shù)2.事件的關(guān)系與運算包含

定義符號表示包含關(guān)系如果事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，這時稱事件B

事件A(或稱事件A包含于事件B)

(或A?B)相等關(guān)系若B?A且A?B

B?AA＝B并事件

定義符號表示并事件(和事件)若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生或事件B發(fā)生，稱此事件為事件A與事件B的

(或和事件)A∪B(或A＋B)交事件(積事件)若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)

且

，則稱此事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)A∩B(或AB)事件A發(fā)生事件B發(fā)生

定義符號表示互斥事件若A∩B為不可能事件(A∩B＝?)，則稱事件A與事件B互斥A∩B＝?對立事件若A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對立事件P(A)＋P(B)＝13.概率的幾個基本性質(zhì)(1)概率的取值范圍：

.(2)必然事件的概率P(E)＝

.(3)不可能事件的概率P(F)＝

.(4)概率的加法公式如果事件A與事件B互斥，則P(A∪B)＝

.(5)對立事件的概率若事件A與事件B互為對立事件，則P(A)＝

.0≤P(A)≤110P(A)＋P(B)1－P(B)[知識拓展]互斥事件與對立事件的區(qū)別與聯(lián)系互斥事件與對立事件都是兩個事件的關(guān)系，互斥事件是不可能同時發(fā)生的兩個事件，而對立事件除要求這兩個事件不同時發(fā)生外，還要求二者之一必須有一個發(fā)生，因此，對立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對立事件.思考辨析判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)事件發(fā)生頻率與概率是相同的.(

)(2)隨機事件和隨機試驗是一回事.(

)(3)在大量重復(fù)試驗中，概率是頻率的穩(wěn)定值.(

)×√×(4)兩個事件的和事件是指兩個事件都得發(fā)生.(

)(5)對立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是對立事件.(

)(6)“方程x2＋2x＋8＝0有兩個實根”是不可能事件.(

)×返回√√題號答案解析1234

EnterDBB0①錯，不一定是10件次品；③錯，頻率不等于概率，這是兩個不同的概念.②錯，

是頻率而非概率；解析解析思維升華題型一隨機事件的關(guān)系例1

某城市有甲、乙兩種報紙供居民們訂閱，記事件A為“只訂甲報紙”，事件B為“至少訂一種報紙”,事件C為“至多訂一種報紙”,事件D為“不訂甲報紙”,事件E為“一種報紙也不訂”.判斷下列每對事件是不是互斥事件；如果是,再判斷它們是不是對立事件.(1)A與C;(2)B與E;(3)B與C;(4)C與E.題型一隨機事件的關(guān)系例1

某城市有甲、乙兩種報紙供居民們訂閱，記事件A為“只訂甲報紙”，事件B為“至少訂一種報紙”,事件C為“至多訂一種報紙”,事件D為“不訂甲報紙”,事件E為“一種報紙也不訂”.判斷下列每對事件是不是互斥事件；如果是,再判斷它們是不是對立事件.(1)A與C;(2)B與E;(3)B與C;(4)C與E.解

(1)由于事件C“至多訂一種報紙”中有可能“只訂甲報紙”，即事件A與事件C有可能同時發(fā)生，故A與C不是互斥事件.解析思維升華題型一隨機事件的關(guān)系例1

某城市有甲、乙兩種報紙供居民們訂閱，記事件A為“只訂甲報紙”，事件B為“至少訂一種報紙”,事件C為“至多訂一種報紙”,事件D為“不訂甲報紙”,事件E為“一種報紙也不訂”.判斷下列每對事件是不是互斥事件；如果是,再判斷它們是不是對立事件.(1)A與C;(2)B與E;(3)B與C;(4)C與E.(2)事件B“至少訂一種報紙”與事件E“一種報紙也不訂”是不可能同時發(fā)生的，故B與E是互斥事件.由于事件B不發(fā)生可導(dǎo)致事件E一定發(fā)生，且事件E不發(fā)生會導(dǎo)致事件B一定發(fā)生，故B與E還是對立事件.解析思維升華題型一隨機事件的關(guān)系例1

某城市有甲、乙兩種報紙供居民們訂閱，記事件A為“只訂甲報紙”，事件B為“至少訂一種報紙”,事件C為“至多訂一種報紙”,事件D為“不訂甲報紙”,事件E為“一種報紙也不訂”.判斷下列每對事件是不是互斥事件；如果是,再判斷它們是不是對立事件.(1)A與C;(2)B與E;(3)B與C;(4)C與E.(3)事件B“至少訂一種報紙”中有這些可能：“只訂甲報紙”、“只訂乙報紙”、“訂甲、乙兩種報紙”，事件C“至多訂一種報紙”中有這些可能：“一種報紙也不訂”、“只訂甲報紙”、“只訂乙報紙”，解析思維升華題型一隨機事件的關(guān)系例1

某城市有甲、乙兩種報紙供居民們訂閱，記事件A為“只訂甲報紙”，事件B為“至少訂一種報紙”,事件C為“至多訂一種報紙”,事件D為“不訂甲報紙”,事件E為“一種報紙也不訂”.判斷下列每對事件是不是互斥事件；如果是,再判斷它們是不是對立事件.(1)A與C;(2)B與E;(3)B與C;(4)C與E.由于這兩個事件可能同時發(fā)生，故B與C不是互斥事件.(4)由(3)的分析，事件E“一種報紙也不訂”是事件C的一種可能，即事件C與事件E有可能同時發(fā)生，故C與E不是互斥事件.解析思維升華題型一隨機事件的關(guān)系例1

某城市有甲、乙兩種報紙供居民們訂閱，記事件A為“只訂甲報紙”，事件B為“至少訂一種報紙”,事件C為“至多訂一種報紙”,事件D為“不訂甲報紙”,事件E為“一種報紙也不訂”.判斷下列每對事件是不是互斥事件；如果是,再判斷它們是不是對立事件.(1)A與C;(2)B與E;(3)B與C;(4)C與E.對互斥事件要把握住不能同時發(fā)生，而對于對立事件除不能同時發(fā)生外，其并事件應(yīng)為必然事件.解析思維升華題型一隨機事件的關(guān)系例1

某城市有甲、乙兩種報紙供居民們訂閱，記事件A為“只訂甲報紙”，事件B為“至少訂一種報紙”,事件C為“至多訂一種報紙”,事件D為“不訂甲報紙”,事件E為“一種報紙也不訂”.判斷下列每對事件是不是互斥事件；如果是,再判斷它們是不是對立事件.(1)A與C;(2)B與E;(3)B與C;(4)C與E.這些也可類比集合進行理解，具體應(yīng)用時，可把所有試驗結(jié)果寫出來，看所求事件包含哪幾個試驗結(jié)果，從而判定所給事件的關(guān)系.解析思維升華跟蹤訓(xùn)練1從40張撲克牌(紅桃、黑桃、方塊、梅花點數(shù)從1～10各10張)中，任取一張，判斷下列給出的每對事件，互斥事件為________，對立事件為________.①“抽出紅桃”與“抽出黑桃”；②“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”；③“抽出的牌點數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌點數(shù)大于9”.解析

①是互斥事件.理由是：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出紅桃”和“抽出黑桃”是不可能同時發(fā)生的，所以是互斥事件.②是互斥事件，且是對立事件.理由是：從40張撲克牌中，任意抽取1張，“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”兩個事件不可能同時發(fā)生，但其中必有一個發(fā)生，所以它們既是互斥事件，又是對立事件.③不是互斥事件.理由是：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出的牌點數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌點數(shù)大于9”這兩個事件可能同時發(fā)生，如抽得點數(shù)為10.因此，二者不是互斥事件，當(dāng)然也不可能是對立事件.答案

①②

②題型二隨機事件的頻率與概率例2某企業(yè)生產(chǎn)的乒乓球被奧運會指定為乒乓球比賽專用球，目前有關(guān)部門對某批產(chǎn)品進行了抽樣檢測，檢查結(jié)果如下表所示：抽取球數(shù)n5010020050010002000優(yōu)等品數(shù)m45921944709541902優(yōu)等品頻率

(1)計算表中乒乓球優(yōu)等品的頻率；解依據(jù)公式f＝

，計算出表中乒乓球優(yōu)等品的頻率依次是0.900,0.920,0.970,0.940,0.954,0.951.(2)從這批乒乓球產(chǎn)品中任取一個，質(zhì)量檢查為優(yōu)等品的概率是多少？(結(jié)果保留到小數(shù)點后三位)解

由(1)知，抽取的球數(shù)n不同，計算得到的頻率值不同，但隨著抽取球數(shù)的增多，頻率在常數(shù)0.950的附近擺動，所以質(zhì)量檢查為優(yōu)等品的概率約為0.950.思維升華頻率是個不確定的數(shù)，在一定程度上頻率可以反映事件發(fā)生的可能性大小，但無法從根本上刻畫事件發(fā)生的可能性大小.但從大量重復(fù)試驗中發(fā)現(xiàn)，隨著試驗次數(shù)的增多，事件發(fā)生的頻率就會穩(wěn)定于某一固定的值，該值就是概率.跟蹤訓(xùn)練2

某河流上的一座水力發(fā)電站，每年六月份的發(fā)電量Y(單位：萬千瓦時)與該河上游在六月份的降雨量X(單位：毫米)有關(guān).據(jù)統(tǒng)計，當(dāng)X＝70時，Y＝460；X每增加10，Y增加5.已知近20年X的值為140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160.

(1)完成如下的頻率分布表：近20年六月份降雨量頻率分布表降雨量70110140160200220頻率

解

(1)在所給數(shù)據(jù)中，降雨量為110毫米的有3個，為160毫米的有7個，為200毫米的有3個.故近20年六月份降雨量頻率分布表為降雨量70110140160200220頻率(2)假定今年六月份的降雨量與近20年六月份降雨量的分布規(guī)律相同，并將頻率視為概率，求今年六月份該水力發(fā)電站的發(fā)電量低于490(萬千瓦時)或超過530(萬千瓦時)的概率.解由已知可得Y＝

＋425，題型三

互斥事件、對立事件的概率例3某商場有獎銷售中，購滿100元商品得1張獎券，多購多得.1000張獎券為一個開獎單位，設(shè)特等獎1個，一等獎10個，二等獎50個.設(shè)1張獎券中特等獎、一等獎、二等獎的事件分別為A、B、C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；例3(2)1張獎券的中獎概率；思維點撥思維升華解析事件A、B、C兩兩互斥.例3(2)1張獎券的中獎概率；思維點撥思維升華解析∵A、B、C兩兩互斥，例3(2)1張獎券的中獎概率；思維點撥思維升華解析例3(2)1張獎券的中獎概率；思維點撥思維升華解析求復(fù)雜的互斥事件的概率一般有兩種方法：一是直接求解法，將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率的和；例3(2)1張獎券的中獎概率；思維點撥思維升華解析例3(2)1張獎券的中獎概率；思維點撥思維升華解析二是間接法，先求該事件的對立事件的概率，再由P(A)＝1－P()求解.當(dāng)題目涉及“至多”“至少”型問題，多考慮間接法.思維點撥思維升華解析例3(3)1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率.事件A、B、C兩兩互斥.例3(3)1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率.思維點撥思維升華解析例3(3)1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率.思維點撥思維升華解析例3(3)1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率.思維點撥思維升華解析求復(fù)雜的互斥事件的概率一般有兩種方法：一是直接求解法，將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率的和；例3(3)1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率.思維點撥思維升華解析例3(3)1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率.思維點撥思維升華解析二是間接法，先求該事件的對立事件的概率，再由P(A)＝1－P()求解.當(dāng)題目涉及“至多”“至少”型問題，多考慮間接法.跟蹤訓(xùn)練3

國家射擊隊的隊員為在射擊世錦賽上取得優(yōu)異成績，正在加緊備戰(zhàn)，經(jīng)過近期訓(xùn)練，某隊員射擊一次命中7～10環(huán)的概率如下表所示：命中環(huán)數(shù)10環(huán)9環(huán)8環(huán)7環(huán)概率0.320.280.180.12求該射擊隊員射擊一次：(1)射中9環(huán)或10環(huán)的概率；(2)命中不足8環(huán)的概率.因此，射擊一次，命中不足8環(huán)的概率為0.22.思想與方法系列20用正難則反思想求互斥事件的概率典例：(12分)某超市為了了解顧客的購物量及結(jié)算時間等信息，安排一名員工隨機收集了在該超市購物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表所示.一次購物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顧客數(shù)(人)x3025y10結(jié)算時間(分鐘/人)11.522.53已知這100位顧客中一次購物量超過8件的顧客占55%.(1)確定x，y的值，并估計顧客一次購物的結(jié)算時間的平均值；規(guī)范解答溫馨提醒易錯提示已知這100位顧客中一次購物量超過8件的顧客占55%.(1)確定x，y的值，并估計顧客一次購物的結(jié)算時間的平均值；解

(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.2分

規(guī)范解答溫馨提醒易錯提示已知這100位顧客中一次購物量超過8件的顧客占55%.(1)確定x，y的值，并估計顧客一次購物的結(jié)算時間的平均值；6分

規(guī)范解答溫馨提醒易錯提示已知這100位顧客中一次購物量超過8件的顧客占55%.(1)確定x，y的值，并估計顧客一次購物的結(jié)算時間的平均值；要準確理解題意，善于從圖表信息中提煉數(shù)據(jù)關(guān)系，明確數(shù)字特征含義.規(guī)范解答溫馨提醒易錯提示已知這100位顧客中一次購物量超過8件的顧客占55%.(1)確定x，y的值，并估計顧客一次購物的結(jié)算時間的平均值；(1)對統(tǒng)計表的信息不理解，錯求x，y難以用樣本平均數(shù)估計總體.規(guī)范解答溫馨提醒易錯提示(2)求一位顧客一次購物的結(jié)算時間不超過2分鐘的概率.(將頻率視為概率)思維點撥規(guī)范解答溫馨提醒易錯提示...若某一事件包含的基本事件多，而它的對立事件包含的基本事件少，則可用“正難則反”思想求解.(2)求一位顧客一次購物的結(jié)算時間不超過2分鐘的概率.(將頻率視為概率)...思維點撥規(guī)范解答溫馨提醒易錯提示(2)求一位顧客一次購物的結(jié)算時間不超過2分鐘的概率.(將頻率視為概率)9分

思維點撥規(guī)范解答溫馨提醒易錯提示(2)求一位顧客一次購物的結(jié)算時間不超過2分鐘的概率.(將頻率視為概率)12分

思維點撥規(guī)范解答溫馨提醒易錯提示11分

(2)正確判定事件間的關(guān)系，善于將A轉(zhuǎn)化為互斥事件的和或?qū)α⑹录?，切忌盲目代入概率加法公?(2)求一位顧客一次購物的結(jié)算時間不超過2分鐘的概率.(將頻率視為概率)思維點撥規(guī)范解答溫馨提醒易錯提示(2)不能正確地把事件A轉(zhuǎn)化為幾個互斥事件的和或?qū)α⑹录?，?dǎo)致計算錯誤.(2)求一位顧客一次購物的結(jié)算時間不超過2分鐘的概率.(將頻率視為概率)思維點撥規(guī)范解答溫馨提醒易錯提示返回方法與技巧1.對于給定的隨機事件A，由于事件A發(fā)生的頻率fn(A)隨著試驗次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率P(A)，因此可以用頻率fn(A)來估計概率P(A).2.從集合角度理解互斥事件和對立事件從集合的角度看，幾個事件彼此互斥，是指由各個事件所含的結(jié)果組成的集合彼此的交集為空集，事件A的對立事件

所含的結(jié)果組成的集合，是全集中由事件A所含的結(jié)果組成的集合的補集.失誤與防范1.正確認識互斥事件與對立事件的關(guān)系：對立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情況，但互斥事件不一定是對立事件，“互斥”是“對立”的必要不充分條件.返回2.需準確理解題意，特別留心“至多……”“至少……”“不少于……”等語句的含義.23456789101D解析射擊兩次的結(jié)果有：一次中靶；二次中靶；兩次都不中靶，234567891011.一個人打靶時連續(xù)射擊兩次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是(

)A.至多有一次中靶 B.兩次都中靶C.只有一次中靶 D.兩次都不中靶故至少一次中靶的互斥事件是兩次都不中靶.2.下列命題：①將一枚硬幣拋兩次，設(shè)事件M：“兩次出現(xiàn)正面”，事件N：“只有一次出現(xiàn)反面”，則事件M與N互為對立事件；②若事件A與B互為對立事件，則事件A與B為互斥事件；③若事件A與B為互斥事件，則事件A與B互為對立事件；④若事件A與B互為對立事件，則事件A∪B為必然事件，其中，真命題是(

)A.①②④ B.②④

C.③④ D.①②23456789101答案

B解析對①一枚硬幣拋兩次，共出現(xiàn){正，正}，{正，反}，{反，正}，{反，反}四種結(jié)果，則事件M與N是互斥事件，但不是對立事件，故①錯；23456789101對②對立事件首先是互斥事件，故②正確；對③互斥事件不一定是對立事件，如①中兩個事件，故③錯；對④事件A、B為對立事件，則這一次試驗中A、B一定有一個要發(fā)生，故④正確.故B正確.234567891013.從6個男生2個女生中任選3人，則下列事件中必然事件是(

)A.3個都是男生 B.至少有1個男生C.3個都是女生 D.至少有1個女生解析因為只有2名女生，所以選出的3人中至少有一個男生.B23456789101解析至多有一張移動卡包含“一張移動卡，一張聯(lián)通卡”“兩張全是聯(lián)通卡”兩個事件，它是“2張全是移動卡”的對立事件，故選A.A2345678910123456789101解析甲想一數(shù)字有3種結(jié)果，乙猜一數(shù)字有3種結(jié)果，基本事件總數(shù)為3×3＝9.設(shè)甲、乙“心有靈犀”為事件A，則A的對立事件B為“|a－b|>1”，即|a－b|＝2包含2個基本事件，答案

D6.在200件產(chǎn)品中，有192件一級品，8件二級品，則下列事件：①在這200件產(chǎn)品中任意選出9件，全部是一級品；②在這200件產(chǎn)品中任意選出9件，全部是二級品；③在這200件產(chǎn)品中任意選出9件，不全是二級品.其中________是必然事件；________是不可能事件；________是隨機事件.23456789101①③②234567891017.口袋內(nèi)裝有一些大小相同的紅球、白球和黑球，從中摸出1個球，摸出紅球的概率為0.42，摸出白球的概率為0.28，若紅球有21個，則黑球有________個.解析

1－0.42－0.28＝0.30,21÷0.42＝50，50×0.30＝15.15234567891018.已知某運動員每次投籃命中的概率都為40%，現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三個隨機數(shù)為一組，代表三次投籃的結(jié)果.經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了如下20組隨機數(shù)：907

966

191

925

271

932

812

458

569

683431

257

393

027

556

488

730

113

537

989據(jù)此估計，該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率為________.23456789101答案

0.25234567891019.黃種人群中各種血型的人所占的百分比如下表所示：血型ABABO該血型的人所占比/%2829835已知同種血型的人可以輸血，O型血可以輸給任一種血型的人，任何人的血都可以輸給AB型血的人，其他不同血型的人不能互相輸血.小明是B型血，若小明因病需要輸血，問：23456789101(1)任找一個人，其血可以輸給小明的概率是多少？解對任一人，其血型為A，B，AB，O型血的事件分別記為A′，B′，C′，D′，它們是互斥的.由已知，有P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35.因為B，O型血可以輸給B型血的人，故“可以輸給B型血的人”為事件B′∪D′.根據(jù)互斥事件的加法公式，有P(B′∪D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64.23456789101(2)任找一個人，其血不能輸給小明的概率是多少？解

方法一由于A，AB型血不能輸給B型血的人，故“不能輸給B型血的人”為事件A′∪C′，且P(A′∪C′)＝P(A′)＋P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36.方法二因為事件“其血可以輸給B型血的人”與事件“其血不能輸給B型血的人”是對立事件，故由對立事件的概率公式，有P(A′∪C′)＝P()＝1－P(B′∪D′)＝1－0.64＝0.36.2345678910110.對一批襯衣進行抽樣檢查，結(jié)果如表：抽取件數(shù)n50100200500600700800次品件數(shù)m021227273540次品率

23456789101(1)求次品出現(xiàn)的頻率(次品率)；解次品率依次為0,0.02,0.06,0.054,0.045，0.05，0.05.(2)記“任取一件襯衣是次品”為事件A，求P(A)；23456789101(3)為了保證買到次品的顧客能夠及時更換，銷售1000件襯衣，至少