數(shù)學(xué)美在生活中

數(shù)學(xué)美在生活中查中偉

舞臺(tái)上,少女隨著音樂(lè)翩翩起舞,那是向你展示音樂(lè)藝術(shù)美；青城天下幽，峨嵋天下秀，那是向你描述自然風(fēng)光美；“雨停了,太陽(yáng)堆起笑臉,將溫暖盡情地瀉在原野上”,那是給你動(dòng)人的語(yǔ)言美。而數(shù)學(xué)美在何方？我的回答是:哪里有數(shù)，哪里就有美！或者說(shuō)，數(shù)學(xué)美在生活中。一、什么是數(shù)學(xué)美

二、對(duì)正整數(shù)的美學(xué)審視

三、對(duì)非有理數(shù)的美學(xué)品味四、數(shù)學(xué)美的主要表征五、結(jié)束語(yǔ)一、什么是數(shù)學(xué)美

美是人類(lèi)創(chuàng)造性實(shí)踐活動(dòng)的產(chǎn)物，是人類(lèi)文明進(jìn)步的結(jié)晶。一般地說(shuō)，美是人們直覺(jué)的感性形式，是人類(lèi)本質(zhì)力量的感性表現(xiàn)。通常所說(shuō)的美包括自然美、社會(huì)美和藝術(shù)美等，而我們這里是談數(shù)學(xué)美。什么是數(shù)學(xué)美？歷史上許多文學(xué)家、藝術(shù)家、數(shù)學(xué)家、專(zhuān)家學(xué)者對(duì)數(shù)學(xué)美從不同側(cè)面作過(guò)生動(dòng)的闡述。

亞里士多德說(shuō)：“雖然數(shù)學(xué)沒(méi)有明顯地提到善和美，但善和美不能和數(shù)學(xué)分離。因?yàn)槊赖闹饕问骄褪恰刃?、勻稱(chēng)和確定性’，這些正是數(shù)學(xué)所研究的原則?！?/p>

達(dá)·芬奇認(rèn)為：“美感完全建立在各部分之間神圣的比例關(guān)系上?！?/p>

彭加勒說(shuō)：“數(shù)學(xué)家把重大的意義與他們的方法和他們的結(jié)果完美地聯(lián)系起來(lái)。給我們以美感的是什么呢？是各部分的和諧，是它們的對(duì)稱(chēng)、它們的巧妙平衡。總而言之，就是引入秩序，給出統(tǒng)一，容許我們同時(shí)清楚地觀(guān)察和理解整體與細(xì)節(jié)的東西”。

維納認(rèn)為：“數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)上是藝術(shù)的一種”。

認(rèn)真研究上述看法，從美學(xué)與數(shù)學(xué)角度進(jìn)行總結(jié)，可這么說(shuō)，數(shù)學(xué)美是科學(xué)本質(zhì)力量的感性與理性的顯現(xiàn)，是一種人的本質(zhì)力量通過(guò)宜人的數(shù)學(xué)思維結(jié)構(gòu)的呈現(xiàn)。它是一種真實(shí)的美，是反映客觀(guān)世界并能動(dòng)地改造客觀(guān)世界的科學(xué)美。數(shù)學(xué)美不僅有表現(xiàn)的形式美，而且有內(nèi)容美與嚴(yán)謹(jǐn)美；不僅有具體的公式、定理美，而且有結(jié)構(gòu)美與整體美；不僅有語(yǔ)言精巧美，而且有方法美與思維美；不僅有邏輯抽象美，而且有創(chuàng)造美與應(yīng)用美。二、對(duì)正整數(shù)的美學(xué)審視

每個(gè)人最初接觸的是正整數(shù)。那么，我們每個(gè)人就可以首先問(wèn)問(wèn)自己：對(duì)正整數(shù)的感覺(jué)如何？很多的人可能說(shuō)“沒(méi)有什么感覺(jué)”，然而，正整數(shù)曾引起過(guò)無(wú)數(shù)人的興趣和喜好，而且是一個(gè)長(zhǎng)盛不衰的論題。（一）完美數(shù)

我們不妨要問(wèn)：你喜歡哪個(gè)數(shù)？許多人未曾思索過(guò)，一時(shí)答不上。稍加思考，也覺(jué)得1，2，3，4，…，好像沒(méi)有什么差別。當(dāng)然，根據(jù)我們漢語(yǔ)的發(fā)音，有人喜歡8，因?yàn)槟撬坪跻馕吨鞍l(fā)”；也有人喜歡6，因?yàn)槟且馕吨樌?。但這并不是出自對(duì)數(shù)本身性質(zhì)的原因而產(chǎn)生的喜好。我們還是再看一看1、2、3、4、5、6、7這幾個(gè)數(shù)字，它們本身就具有一種和諧美，代表不同的七個(gè)音階，就能譜出優(yōu)美動(dòng)人和諧的樂(lè)曲，讓世人在音樂(lè)中陶醉。

數(shù)有許多不同的性質(zhì)，人們可能不會(huì)因?yàn)樗心撤N性質(zhì)而一定喜歡它，但是一些奇妙的性質(zhì)很可能引起人們的興趣。奇妙的性質(zhì)也不少，人們對(duì)數(shù)的興趣也可能各不相同，也可能有多方面的興趣。

6這個(gè)數(shù)的因數(shù)有1，2，3，6（暫約定1和6自身亦算其因數(shù)），其和恰為12，6的兩倍；如果不計(jì)6自身，則其因數(shù)之和恰是它自己。

28也具有這樣的性質(zhì)，其因數(shù)是1，2，4，7，14之和恰好等于28，這是第二個(gè)具有這種性質(zhì)的正整數(shù)。

496，仔細(xì)看看，1，2，4，8，16，31，62，124，248是它的因數(shù)，它們的和也正等于496。第四個(gè)具有這種性質(zhì)的數(shù)稍難找一些，它是8128。一千八百多年之前就有人知道8128具有其各因數(shù)之和恰為它自己（不計(jì)它自己）的性質(zhì)。

人們把這種數(shù)稱(chēng)之為完美數(shù)，即各因數(shù)之和為它的兩倍或不計(jì)它自己時(shí)恰等于它的那種數(shù)叫完美數(shù)。6，28，496，8128便是很久以前知道的4個(gè)最小的完美數(shù)?？磥?lái)，完美數(shù)不多，已可初步看到，前八千多個(gè)正整數(shù)中才4個(gè)！物以稀為貴，完美數(shù)，稀罕！完美數(shù)，人們用美來(lái)形容數(shù)。順便看一下漢語(yǔ)里以“美”字組詞的情況。美好，把美與善聯(lián)系在一起；美妙，把美與奇異聯(lián)系在一起；美滿(mǎn)，把美與情感聯(lián)系在一起；美言、美談、美味、……用美來(lái)形容一些行為和感覺(jué)。還有壯美、俊美、秀美、完美、……對(duì)不同性質(zhì)的美進(jìn)行了區(qū)分。漢語(yǔ)有關(guān)美的豐富詞匯本身反映了在我們文化中對(duì)美的多方面的準(zhǔn)確理解。用完美來(lái)形容6、28、496、…這一類(lèi)數(shù)也很恰當(dāng)。這種數(shù)的完美，一方面表現(xiàn)在它稀罕、奇妙；一方面表現(xiàn)在它的完滿(mǎn)，各因數(shù)之和不多不少等于它自己。

第五個(gè)完美數(shù)在哪里？很不容易尋找。在距離發(fā)現(xiàn)第四個(gè)完美數(shù)之后一千多年，于公元1538年才發(fā)現(xiàn)第五個(gè)完美數(shù)——33550336。又過(guò)了50年才發(fā)現(xiàn)第六個(gè)是：8589869056。

尋找這種數(shù)那么難，卻還是有人去尋找，到現(xiàn)在為止也還只發(fā)現(xiàn)二十多個(gè)。為什么去尋找呢？是因?yàn)檫@種數(shù)在現(xiàn)實(shí)生活中有什么特別的用途嗎？目前確實(shí)還沒(méi)有發(fā)現(xiàn)，是它的奇導(dǎo)和美麗吸引了許多的人。

（二）數(shù)的諧聲借意

人的智商是有差異的，其中最重要的表現(xiàn)在記憶力的強(qiáng)弱上。有人過(guò)目不忘，但有人苦于無(wú)法記住，我們可以借用數(shù)的諧聲來(lái)強(qiáng)化對(duì)數(shù)的記憶。

上海市出租汽車(chē)公司的電話(huà)號(hào)碼為25800000，該公司的宣傳廣告語(yǔ)“讓我撥五個(gè)零”。就是借助上海方言對(duì)數(shù)的諧聲讓能牢記住這個(gè)號(hào)碼。又如眾所周知的火警電話(huà)號(hào)碼為“119”，數(shù)的諧聲就是“要要救”。美國(guó)紐約的火警電話(huà)號(hào)碼為“911”，恐怖分子制造了“9.11事件“，就是利用這個(gè)號(hào)碼來(lái)統(tǒng)一行動(dòng)。祖沖之算出了精確的圓周率，造福于后人。我曾經(jīng)編了一個(gè)順口溜，讓我的學(xué)生記住了小數(shù)點(diǎn)后19位的圓周率：

山巔一寺一壺酒，爾樂(lè)，氣死我，把酒吃，吃不死，樂(lè)而樂(lè)。

三、對(duì)非有理數(shù)的美學(xué)品味

古希臘的數(shù)學(xué)十分繁榮，那時(shí)的自然科學(xué)與藝術(shù)、哲學(xué)是緊密聯(lián)系的。古希臘哲學(xué)（例如畢達(dá)哥拉斯流派）對(duì)數(shù)與對(duì)世界的思考幾乎是不可分割的。他們的哲學(xué)觀(guān)或世界觀(guān)是：萬(wàn)物皆數(shù)。而1是最神圣的，一切蓋源于1，并且天下只有數(shù)（即正整數(shù)）及其比（又稱(chēng)可比數(shù)，即今稱(chēng)之為有理數(shù)）。他們以為“數(shù)生成萬(wàn)物，數(shù)的規(guī)律支配著萬(wàn)物”。中國(guó)古代也有“一生二、二生三、三生萬(wàn)物”的說(shuō)法，與萬(wàn)物皆數(shù)的觀(guān)點(diǎn)相似。

可是，古希臘時(shí)代數(shù)學(xué)觀(guān)與哲學(xué)觀(guān)的和諧被數(shù)學(xué)的發(fā)展打破了。一種無(wú)法用兩整數(shù)之比來(lái)表達(dá)的數(shù)就被信奉上述哲學(xué)觀(guān)的流派中的成員自己發(fā)現(xiàn)了，這就是非有理數(shù)的發(fā)現(xiàn)。這種發(fā)現(xiàn)導(dǎo)致了一場(chǎng)數(shù)學(xué)危機(jī)。然而，與其說(shuō)是數(shù)學(xué)危機(jī)，不如說(shuō)是數(shù)學(xué)與哲學(xué)的共同危機(jī)。危機(jī)何在？原有和諧被打破了，原有美感被動(dòng)搖了，原有的理論被震撼了！

正方形的對(duì)角線(xiàn)與其邊長(zhǎng)之比就無(wú)法用兩整數(shù)之比來(lái)表示，這是今天任何一名中學(xué)生都知道的事實(shí)，然而竟是當(dāng)時(shí)發(fā)生震撼作用的源頭。同時(shí)發(fā)現(xiàn)的是：正五邊形對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)與其邊長(zhǎng)之比也無(wú)法由一個(gè)可比數(shù)（即有理數(shù)）來(lái)表示（正六邊形對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)與其邊長(zhǎng)之比是2，引起麻煩的是正方形、正五邊形）?，F(xiàn)在我們大家都知道了這兩個(gè)數(shù)分別是

這兩個(gè)數(shù)都是無(wú)理數(shù)。說(shuō)它們是無(wú)理數(shù)，不是說(shuō)它們沒(méi)有道理，是因?yàn)檫@類(lèi)數(shù)的發(fā)現(xiàn)是在有理數(shù)之后。

無(wú)理數(shù)之美，我們來(lái)仔細(xì)品味品味。是正五邊形對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)與邊長(zhǎng)之比，而邊長(zhǎng)與對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)之比則為。這兩個(gè)數(shù)之積為1，這兩個(gè)數(shù)之差也為1。因此它們也是方程因此稱(chēng)它們?yōu)榇鷶?shù)無(wú)理數(shù)。比值特別被人注意，它

人是自然界長(zhǎng)期發(fā)展的產(chǎn)物，人體美在自然界中具有最強(qiáng)的完美性。大詩(shī)人莎士比亞曾經(jīng)贊頌道：“人類(lèi)是一件多么了不得的杰作！宇宙的精華、萬(wàn)物的靈長(zhǎng)?！逼鋵?shí)，莎士比亞也許不知道，人體相關(guān)各部分之間是符合黃金分割率的，肚臍是黃金分割的黃金點(diǎn)。在軀干部分，乳房位置的上下長(zhǎng)度比；咽喉至頭頂和至肚臍之比；膝蓋至腳后跟和至肚臍之比等，都是黃金分割數(shù)0.618的近似數(shù)。如果一個(gè)人的人體對(duì)上述各部分比例均符合黃金分割律的話(huà)，就顯得協(xié)調(diào)勻稱(chēng)。古希臘斷臂維納斯、雅典娜女神和“海姑娘”阿曼達(dá)，其體型結(jié)構(gòu)比例完全符合黃金律，美妙絕倫。

x2+x–1=0

的解的近似值是0.618（即），這是一個(gè)有理數(shù)，人們稱(chēng)其為

黃金分割比值。它被認(rèn)為是最美的數(shù)值，具有很高的美學(xué)價(jià)值。

科學(xué)家和藝術(shù)家普遍認(rèn)為，黃金律是建筑藝術(shù)必須遵循的規(guī)律。在建筑造型上，人們?cè)诟咚狞S金分割點(diǎn)處建樓閣或設(shè)計(jì)平臺(tái)，便能使平直單調(diào)的塔身變得豐富多彩；而在摩天大樓的黃金分割處布置腰線(xiàn)或裝飾物，則可使整個(gè)樓群顯得雄偉雅致。古代雅典的巴特農(nóng)神殿，當(dāng)今世界最高建筑之一的加拿大多倫多電視塔，舉世聞名的法國(guó)巴黎埃菲爾鐵塔，都是根據(jù)黃金分割的原則來(lái)建造的。在日常生活中，最和諧悅目的矩形，如電視屏幕、寫(xiě)字臺(tái)面、書(shū)籍、衣服、門(mén)窗等，其短邊與長(zhǎng)邊之比為0.618，你會(huì)因此比例協(xié)調(diào)而賞心悅目。甚至連火柴盒、國(guó)旗的長(zhǎng)寬比例設(shè)計(jì)，都恪守0.618；二胡要獲得最佳音色，其“千斤”則須放在琴弦長(zhǎng)度的0.618處。最有趣的是，在消費(fèi)領(lǐng)域中你也可以妙用0.618這個(gè)“黃金分割數(shù)”，而獲得

不少植物葉，相鄰的兩片在與莖垂直的平面上的投影夾角為137°28′，顯然，圓周角的另一部分是360°－137°28′=222°32′。然而，又恰有“物美價(jià)廉”的效果。據(jù)專(zhuān)家統(tǒng)計(jì)，在同一商品有多個(gè)品種、多種價(jià)值情況下，將高檔價(jià)格減去低檔價(jià)格再乘以0.618，即為挑選商品的首選價(jià)格。

正因?yàn)辄S金比體現(xiàn)了美與適用，溝通了人與自然，所以在某些名曲中，樂(lè)章的高潮出現(xiàn)在全曲的0.618處。并且，這個(gè)角度對(duì)于植物葉子的通風(fēng)、采光而言，都是最佳的，從而最有利于植物的生長(zhǎng)。=0.618四、數(shù)學(xué)美的主要表征

人們對(duì)美的本身有許多形容，有壯美、俊美、秀美、柔美、優(yōu)美等，不同的形容方式反映了人們對(duì)美的不同理解和感受，反映了美的多樣性。數(shù)學(xué)美也有其多樣性，也可以適當(dāng)加以分類(lèi)，我認(rèn)為數(shù)學(xué)美可以表征為和諧美、簡(jiǎn)潔美、對(duì)稱(chēng)美和奇異美。下面在這四方面作一些簡(jiǎn)單分析。

（一）和諧美

數(shù)學(xué)的和諧美前面已經(jīng)涉及很多，不妨作一歸納。整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)一為有理數(shù)，有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)一在實(shí)數(shù)內(nèi)，而復(fù)數(shù)又包含著實(shí)數(shù)與虛數(shù)。在這些數(shù)系之中，1是最簡(jiǎn)單的數(shù)，但同時(shí)可以說(shuō)一切又起源于1。由1演變?yōu)樗凶匀粩?shù)2，3，4，……，后來(lái)又有它的相反數(shù)-1，-2，-3，……，之后又加進(jìn)0，再就是兩個(gè)整數(shù)所表示的分?jǐn)?shù)，這樣就構(gòu)成有理數(shù)系，而南北朝時(shí)期，祖沖之就已經(jīng)在計(jì)算的值，故無(wú)理數(shù)也早就出現(xiàn)了。i

在幾百年前才有，i

可表示成0+i。實(shí)數(shù)、虛數(shù)中的1，0，i都有其獨(dú)特的地位，無(wú)理數(shù)中，和e

又是相當(dāng)獨(dú)特的，這5個(gè)數(shù)1，0，i，，e

都融合在一個(gè)奇妙式子中，

這就是一種和諧美、統(tǒng)一美。幾何中的和諧美也到處體現(xiàn)，它們使你賞心悅目。簡(jiǎn)單的點(diǎn)、線(xiàn)段、三角形、矩形、正方形就能構(gòu)造出美麗的圖案，平面的、立體的，讓人美不勝收。

矩陣、行列式在代數(shù)學(xué)中起了多方面作用，它在幾何學(xué)研究中也起發(fā)揮了作用。它把幾何圖形的某些內(nèi)在聯(lián)系提示得更清楚，從而也使人更易看清它們之間的和諧、統(tǒng)一。這是代數(shù)與幾何和諧、統(tǒng)一的進(jìn)一步表現(xiàn)。e+1=0

平面上過(guò)點(diǎn)(x1,y1),(x2,y2)，的直線(xiàn)方程是：x

y1x1y11x2

y21=0

平面上過(guò)(x1,y1),(x2,y2)和(x3,y3)點(diǎn)的圓（只要三點(diǎn)不共線(xiàn)，這種圓就存在）的方程是：這些式子確實(shí)十分整齊，十分和諧，十分美觀(guān)。

（二）簡(jiǎn)潔美

簡(jiǎn)潔美無(wú)處不在。圖案設(shè)計(jì)、國(guó)畫(huà)藝術(shù)、標(biāo)志性建筑、新校區(qū)的概念性設(shè)計(jì)都要求簡(jiǎn)潔，數(shù)學(xué)更是以簡(jiǎn)潔著稱(chēng)。

人們?cè)谌粘Ｉ钪?，常以“成千上萬(wàn)”來(lái)形容多，再多就是“百萬(wàn)”、“千萬(wàn)”了，更多則是“億萬(wàn)”?？墒?，都不如數(shù)學(xué)能夠作出更簡(jiǎn)潔、更明確、更有力的表示，比如說(shuō)，1025這樣巨大的數(shù)字，一般語(yǔ)言就說(shuō)不太清楚了。更不要說(shuō)10221以及244497，286243這樣大的數(shù)字了。

從微觀(guān)來(lái)說(shuō)，日常語(yǔ)言之中，“失之毫厘，謬以千里”，用一毫一厘來(lái)形容微小，還有形容體積之小的，時(shí)間之短的，距離之近的。但是，沒(méi)有比10-15，10-45這樣一些表達(dá)更能說(shuō)明問(wèn)題，它們更簡(jiǎn)潔、更明了。

另外，許多不同的自然現(xiàn)象又常用一個(gè)數(shù)學(xué)公式加以描述，如弦振動(dòng)、電磁波的傳播和超音速定常流動(dòng)等都可以用雙曲型方程：

描述，可謂精美，簡(jiǎn)潔而且優(yōu)美動(dòng)人?。ㄈ?duì)稱(chēng)美

在日常生活中，舉目就可以看到對(duì)稱(chēng)物。有對(duì)稱(chēng)圖案、對(duì)稱(chēng)建筑物、對(duì)稱(chēng)文學(xué)作品等。為什么講求對(duì)稱(chēng)？因?yàn)樗?。?shù)學(xué)中的對(duì)稱(chēng)更是它的一種美麗。

在幾何圖形中，有所謂點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，面對(duì)稱(chēng)。畢達(dá)哥拉斯有句名言：“一切立體圖形中最美的是球形，一切平面圖形中最美的是圓形”。而圓形和球形正是幾何中對(duì)稱(chēng)美的杰出體現(xiàn)，圓是關(guān)于圓心對(duì)稱(chēng)的，也是關(guān)于過(guò)圓心的任一條直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的。球形既是點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，又是線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，還是面對(duì)稱(chēng)的。正是由于幾何圖形中有這些點(diǎn)對(duì)稱(chēng)、線(xiàn)對(duì)稱(chēng)、面對(duì)稱(chēng)，才構(gòu)成了美麗的圖案，精美的建筑，巧奪天工的生活世界，也才給我們帶來(lái)豐富的自然美，多彩的生活美。是不是只有幾何中才有對(duì)稱(chēng)美呢？非也！就已經(jīng)體現(xiàn)出對(duì)稱(chēng)美。

下面是對(duì)稱(chēng)的楊輝三角形。美嗎？當(dāng)然。

11112113311464115101051

對(duì)稱(chēng)是數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的形式之一，它是否給人以形式美的感覺(jué)，同時(shí)又總是與其內(nèi)容相聯(lián)系的呢?當(dāng)然是!（四）奇異美

平淡中無(wú)新奇，奇異中才有藝術(shù)。數(shù)學(xué)中的奇異是吸引許多人喜歡數(shù)學(xué)的重要原因，峰回路轉(zhuǎn)，柳暗花明，這也正是數(shù)學(xué)的魅力、數(shù)學(xué)的奇異美。

把分?jǐn)?shù)化成小數(shù)是一件極簡(jiǎn)單的事,

化成小數(shù)，得到0.1666…；化成小數(shù)得0.142857142857…；現(xiàn)在看看一個(gè)分子分母都比較大的分?jǐn)?shù)，只要

耐心一點(diǎn)，也可把它化成小數(shù)：8.000000072

900000663390006

03684905493532639911470239…，小數(shù)點(diǎn)后一下子有7個(gè)0，間隔3位數(shù)后是5個(gè)0。很有規(guī)律，0出現(xiàn)的個(gè)數(shù)依次是7、5、3、1。再看中間那個(gè)3位數(shù)的非

很令人驚奇的是=8，因而零的729，它是9的3次方，即729=93，再往后看那個(gè)5位數(shù)、7位數(shù)：

66339=93×91，

6036849＝93×912，=8+然而，