激光原理與技術(shù)：第4講 光線穩(wěn)定條件、類透鏡介質(zhì)中的光線方程與波動方程

激光原理與技術(shù)·原理部分第4講光線穩(wěn)定條件類透鏡介質(zhì)中的光線方程與波動方程4.1透鏡波導(dǎo)光線穩(wěn)定條件透鏡波導(dǎo):由焦距為f1和f2的透鏡相互間隔d周期性排列而成，稱為雙周期透鏡波導(dǎo)。f1f2SS+1MNf1d同理，從N面到S面的光線傳播情況4.1透鏡波導(dǎo)光線穩(wěn)定條件從S面到N面的光線傳播情況4.1透鏡波導(dǎo)光線穩(wěn)定條件綜合可得到從S面到S+1面的光線傳播情況將矩陣形式的傳播方程寫成方程組的形式可得到遞推關(guān)系4.1透鏡波導(dǎo)光線穩(wěn)定條件該式為決定光線在雙周期透鏡波導(dǎo)內(nèi)傳播規(guī)律的差分方程，等價(jià)于微分方程：該方程具有的解，用作為試探解對差分方程進(jìn)行試探，可得到：4.1透鏡波導(dǎo)光線穩(wěn)定條件4.1透鏡波導(dǎo)光線穩(wěn)定條件雙周期透鏡波導(dǎo)的光線穩(wěn)定條件當(dāng)θ為實(shí)數(shù)時(shí)，光線與光軸的距離在rmax和-rmax之間振蕩；即光線傳播被約束在透鏡孔徑形成的波導(dǎo)之中，不會發(fā)生溢出。θ為實(shí)數(shù)等價(jià)于|b|≤1，即：由相同焦距的薄透鏡構(gòu)成的周期透鏡波導(dǎo)稱為相同周期透鏡波導(dǎo)，即f1=f2=f；相同周期透鏡波導(dǎo)的穩(wěn)定條件為：4.1球面反射鏡腔光線穩(wěn)定條件光線在球面反射鏡之間的傳播根據(jù)光線傳播矩陣可以寫出第2次反射后的光線狀態(tài)為：4.1球面反射鏡腔光線穩(wěn)定條件在腔內(nèi)經(jīng)過N次往返之后的光線參數(shù)為：

其中Tn為光線矩陣，可以按照矩陣?yán)碚撉蟪觯?其中：

從推導(dǎo)過程可以看出，近軸光線在兩個反射鏡間傳輸?shù)膫鬏斁仃嚺c光線的初始位置無關(guān)，因此可以用傳輸矩陣來描述任意近軸光線的傳輸特性。4.1球面反射鏡腔光線穩(wěn)定條件由前述可知一個半徑為R的球面反射鏡等效于一個焦距為F=R/2的透鏡,則上述的兩個球面反射鏡可以等效為由兩個焦距分別為R1/2和R2/2，距離為L的透鏡構(gòu)成的雙周期透鏡波導(dǎo)，由雙周期透鏡波導(dǎo)的光線穩(wěn)定性條件可以得到反射鏡系統(tǒng)的穩(wěn)定條件：1.薄透鏡的聚焦機(jī)理一單色平面波，經(jīng)過薄透鏡后，產(chǎn)生一個與離軸距離r2成正比的相位超前量，補(bǔ)償了到達(dá)焦點(diǎn)幾何路徑的不同所引起的相位不同滯后量。到達(dá)焦點(diǎn)時(shí)間、相位相同，實(shí)現(xiàn)聚焦，此時(shí)的薄透鏡相當(dāng)于一個平面的相位變換器。離軸距離為r的相位提前量為經(jīng)過透鏡后的光場4.2類透鏡介質(zhì)4.2類透鏡介質(zhì)2.類透鏡介質(zhì)折射率滿足的介質(zhì)稱為類透鏡介質(zhì)。其中η0為介質(zhì)軸線上的折射率；k0是軸線上的波數(shù)；k2是與介質(zhì)、工作狀態(tài)以及外界泵浦能量有關(guān)的常數(shù)。在Nd：YAG固體激光器中，當(dāng)激光其處于運(yùn)行狀態(tài)時(shí)，由于發(fā)熱造成工作物質(zhì)內(nèi)部沿徑向產(chǎn)生溫度分布：在實(shí)驗(yàn)上和理論上都證實(shí)了工作物質(zhì)的折射率隨溫度發(fā)生變化：可見工作狀態(tài)下的Nd：YAG工作物質(zhì)是一種二次折射率介質(zhì)。3.光線在均勻和非均勻各向同性介質(zhì)中的傳播程函(eikonal)方程：光線的傳播方向，就是程函

變化最快的方向在討論光線和幾何光學(xué)的強(qiáng)度時(shí)，可以推導(dǎo)出光線的微分方程（光線方程），其中為光線上某點(diǎn)到另外一點(diǎn)的長度，而是該點(diǎn)的位置矢量

：（1）均勻介質(zhì)解方程得：上式代表一個矢量直線方程，即直線沿著的方向并通過點(diǎn)，因此，在均勻通行介質(zhì)中，光線是直線傳播的4.3光線的傳播：光線方程4.3光線的傳播：光線方程（2）類透鏡介質(zhì)當(dāng)考慮近軸光線近似光線方程可以寫成：在二次折射率介質(zhì)中，由于η(x,y)沒有軸向分布，只有徑向分布，因此，而由類透鏡介質(zhì)的折射率表達(dá)式可得到：x,y都是獨(dú)立變量，因此有：為了簡化討論，取y-z平面上的光線討論，并以r代替y，得到近軸光線的微分方程（1）k2>0

微分方程的解為若考慮光線入射初始條件為，則可以求出，因此微分方程的解可以寫成：4.3光線的傳播：光線方程如右圖的曲線可以代表在類透鏡介質(zhì)中傳播的光線，只是在幅度上作了夸大。從該方程可以得出結(jié)論：當(dāng)k2>0時(shí)，類透鏡介質(zhì)對光線起匯聚作用，相當(dāng)于正透鏡。4.3光線的傳播：光線方程(2)k2<0當(dāng)k2<0時(shí)，光線微分方程的解可以表示為： 從方程可以得出結(jié)論，隨著z的不斷增加，r(z)不斷增大，當(dāng)，因此k2<0的類透鏡介質(zhì)對光線具有發(fā)散性，類似于負(fù)透鏡的作用。練習(xí)：證明2-1-39式4.4光束的傳播：波動方程類透鏡介質(zhì)中的波動方程在各向同性、無電荷分布的介質(zhì)中，Maxwell方程組的微分形式為：對2式求旋度：且由3式：在各向同性介質(zhì)中有介電常數(shù)不隨位置而發(fā)生變化，即綜合上三式可以得到假設(shè)折射率n的空間變化很小，即n(r)滿足慢變近似，此時(shí)可以將電磁場表示為：代入(4)式波動方程也稱亥姆霍茲方程4.4光束的傳播：波動方程當(dāng)考慮到介質(zhì)中存在增益和損耗的情況時(shí)，上式最后一項(xiàng)可以表示為：當(dāng)代表吸收介質(zhì)，代表增益介質(zhì)上式表示復(fù)數(shù)波數(shù)，我們考慮波數(shù)表示形式為其中k0、k2都可以是復(fù)數(shù)，這個表達(dá)式可以理解為波數(shù)與位置r和介質(zhì)的特性k2都有關(guān)系。由波數(shù)的定義：可以得到n(r)的表達(dá)式：的情況該表達(dá)式就是類透鏡介質(zhì)的折射率表達(dá)式，證明我們考慮的k(r)表達(dá)式代表的正是在類透鏡介質(zhì)中的情況。級數(shù)展開4.4光束的傳播：波動方程下面我們研究類透鏡介質(zhì)中波動方程的解，考慮在介質(zhì)中傳播的是一種近似平面波，即能量集中在光軸附近，沿光軸方向傳播?？梢约僭O(shè)光場的橫向分布只與有關(guān)，因此波動方程中的算符可以表示為：我們假設(shè)，其中a為集中大部分能量的橫截面半徑，這一假設(shè)說明衍射效應(yīng)很弱，因此可以將推導(dǎo)局限于單一的橫向場分量，其單色平面波的表達(dá)式為：其中e-ikz表示波數(shù)為k的嚴(yán)格平面波；4.4光束的傳播：波動方程為了研究修正平面波，我們引入了修正因子，它包含了相位和振幅修正兩部分。該修正因子滿足慢變近似：將這些相關(guān)假設(shè)帶入波動方程可以得到：