第一章集合與常用邏輯用語

第一課時集合的概念與集合間相互關(guān)系第一章集合與常用邏輯用語考綱要求1.集合的含義與表示(1)了解集合的含義、元素與集合的“屬于”關(guān)系．(2)能用自然語言、圖形語言、集合語言(列舉法或描述法)描述不同的具體問題．2.集合間的基本關(guān)系(1)理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集．(2)在具體情境中，了解全集與空集的含義.知識梳理一、集合的含義與表示1．集合的含義：把研究的對象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫做________(簡稱為集)．2．元素與集合的關(guān)系：集合中元素與集合的關(guān)系有屬于與不屬于兩種，分別用符號________和________來表示．3．集合中元素的三個特征(1)確定性：按照明確的判斷標(biāo)準(zhǔn)給定一個元素________，二者必具其一，不能模棱兩可．(2)互異性：集合中的元素________．(3)無序性：在一個給定的集合中，元素之間_______．4．集合的表示(1)________；(2)________；(3)________．5.常用數(shù)集的符號表示(1)空集：________；(2)正整數(shù)集：________；(3)自然數(shù)集：________；(4)整數(shù)集：________；(5)有理數(shù)集：________；(6)實(shí)數(shù)集：________；(7)復(fù)數(shù)集：________.答案：1.集合2.∈?3.(1)或者在這個集合里，或者不在(2)各不相同，不允許重復(fù)(3)無先后次序之分4.(1)列舉法(2)描述法(3)Venn圖法5.(1)?(2)N＋(或N*)(3)N(4)Z(5)Q(6)R(7)C二、集合間的基本關(guān)系1．子集：對于兩個集合A、B，如果集合A的________，稱集合A為集合B的子集．記作________，讀作“A包含于B”(或“B包含A”)．用Venn圖表示兩個集合間的“包含”關(guān)系：A?B，如右圖所示．2．真子集：如果集合A?B，但________，我們稱集合A是集合B的真子集，記作：________.3．集合相等：如果_______(A?B)且_______(B?A)，此時集合A與集合B的元素是一樣的，因此集合A與B相等．記作：A＝B.4．空集：________叫空集．記作________.規(guī)定：?是任何集合的________，是任何非空集合的________．答案：1.任意一個元素都是集合B中的元素A?B(或B?A)2．存在元素x∈B，且x?A

AB或BA3.集合A是集合B的子集集合B是集合A的子集4.不含任何元素的集合?子集真子集三、集合的分類1．________；2．________；3．________.答案：1.有限集2.無限集3.空集四、有限集的子集數(shù)的求法設(shè)有限集合A的元素個數(shù)為n,則：1．A的子集個數(shù)為________；2．A的真子集個數(shù)為________；3．A的非空子集個數(shù)為________；4．A的非空真子集個數(shù)為________．答案：1.2n2.2n－13.2n－14.2n－2基礎(chǔ)自測1．(2011年南海一中摸底考試)下列四個集合中，為空集的是()A．{x|x＋1＝1}B．{x∈R|x2≤0}C．{x|x2＜x}D．{x∈R|x2＋1＝0}解析：對于方程x2＋1＝0，因?yàn)棣ぃ剑?＜0，所以方程x2＋1＝0無實(shí)數(shù)根，即集合{x∈R|x2＋1＝0}是空集．故選D.答案：D2．(2010年福州模擬)已知集合M＝{x|x2－4＜0}，N＝，則下列關(guān)系中正確的是()A．M＝NB．MNC．NMD．M∩N＝?解析：化簡得，M＝(－2,2)，N＝(0,2)，∴NM，故選C.答案：C3．給出如下關(guān)系式①a?{a，b}，②a∈{a，b}，③?∈{a}，④??{a}，⑤{a}?{a，b}，⑥{a}?{a}，其中正確的是__________．②④⑤⑥4．(2011年佛山一中檢測)已知集合A＝{x|x2－2x－3＝0}，B＝{x|mx－1＝0}，若BA，則實(shí)數(shù)m的取值的集合是________．解析：化簡得A＝，當(dāng)m＝0時，B＝?，有BA，符合題意；當(dāng)m≠0時，由mx－1＝0得x＝，因?yàn)锽A，所以＝－1或＝3，解得m＝－1或m＝.故實(shí)數(shù)m的取值的集合是.答案：

(2011年廈門模擬)設(shè)a，b∈R，現(xiàn)有三個實(shí)數(shù)的集合，既可以表示為{1，a＋b，a}，也可以表示為，則b2012－a2011＝()A．1B．－1C．2D．－2思路分析：由兩集合相等知0∈{1，a＋b，a}且a≠0得a＋b＝0，且b＝1.解析：∵a，b∈R，由題意知集合{1，a＋b，a}＝，又∵a≠0，∴，∴a＝－1，則b2012－a2011＝2，故選C.答案：C變式探究1.(2010年廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬)設(shè)P、Q為兩個非空實(shí)數(shù)集合，定義集合P※Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，則P※Q中元素的個數(shù)是()A．9B．8C．7D．6解析：因?yàn)榧螾※Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q},且P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}所以得P※Q＝{1,2,3,4,6,7,8,11}，故P※Q中元素的個數(shù)是8，所以選B.答案：B已知集合A＝，B＝，C＝，D＝，E＝，則()A．A＝BB．B＝CC．C＝ED．B＝E解析：集合A是用列舉法表示，它只含有一個元素，即函數(shù)y＝x2＋2，集合B、C、E中的元素都是數(shù)，即這三個集合都是數(shù)集，集合B表示的是函數(shù)y＝x2＋2的值域，集合C表示的是函數(shù)y＝x2＋2的定義域R，集合E是不等式x－2≥0的解集，集合D的元素是平面上的點(diǎn)，此集合是函數(shù)y＝x2＋2的圖象上所有點(diǎn)所組成的集合．故只有B＝E，故選D.答案：D點(diǎn)評：解集合問題時，對集合元素的準(zhǔn)確識別十分重要，不允許有半點(diǎn)差錯，否則將導(dǎo)致解題的失?。兪教骄?．設(shè)集合A＝

，B＝.則用列舉法表示A＝________，B＝________.x∈N∈N∈Nx∈N解析：因?yàn)?的正約數(shù)只有3個：1,3,9.要使∈N，當(dāng)且僅當(dāng)9－x＝1,3,9.即x＝8,6,0.從而A＝{0,6,8},B＝{1,3,9}．答案：{0,6,8}{1,3,9}設(shè)集合A＝{x|10＋3x－x2≥0}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B?A，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解析：

化簡，得A＝[－2,5]，(1)若B＝?時，得m＋1＞2m－1，解得m<2，符合B?A；(2)若B≠?時，m滿足即2≤m≤3時，有B?A.故當(dāng)m≤3時，B?A.點(diǎn)評：集合間的包含、相等關(guān)系，關(guān)鍵搞清A、B兩集合誰是誰的子集，若B?A，說明B是A的子集，即集合B中元素都在集合A中，注意B是?的情況，同樣若A?B，說明A是B的子集，此時注意B是不是?.若A＝B說明兩集合元素完全相同．變式探究3．已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，(1)若A＝B，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)若A?B，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解析：化簡，得A＝[－2,5],(1)若A＝B，則必有,解得m∈?，即不存在實(shí)數(shù)m使得A＝B.(2)若A?B，則依題意應(yīng)有，解得，故3≤m≤4.所以m的取值范圍為[3,4].1．對集合的準(zhǔn)確識別：集合有三種表示法：列舉法，描述法，圖示法．解題時，對集合的準(zhǔn)確識別很關(guān)鍵，關(guān)鍵是要特別注意代表元素是什么，如果性質(zhì)相同，但代表元素不同，所表示的集合也不一樣．2．集合中的元素具有確定性、互異性、無序性三個特征，尤其是“確定性和互異性”在解題中要注意把握與運(yùn)用，例如在解決含參數(shù)問題時，千萬別忘了檢驗(yàn)，否則很可能會因?yàn)椴粷M足“互異性”而導(dǎo)致結(jié)論錯誤．3．任何集合是它自身的子集，空集是任何集合的子集．同學(xué)們在考慮集合之間的包含關(guān)系時容易遺漏空集“?”．要特別注意：“?是任何集合的子集”，不少同學(xué)在解題時常忽略這一點(diǎn)，造成解題結(jié)果不全面．4．正確區(qū)分?，{?},0，{0}在?∈{?}，?{?}表述方法中，?∈{?}，此時?作為元素，而{?}則為以?為元素的集合；?{?}中?和{?}均作為集合來理解，這樣就符合空集是任何非空集合的真子集這一事實(shí)．同時不要把數(shù)0或集合{0}與空集?混淆，數(shù)0不是集合，{0}是含有一個元素0的集合，而?是不含任何元素的集合，更不要把空集錯誤的寫成{空集}或{?}．5．解題時要注意空集的情形，防止因漏掉空集而導(dǎo)致解題的失誤.6．集合中如果含有參數(shù)，多根據(jù)集合元素的互異性來處理，要注意對參數(shù)進(jìn)行分類討論，并對結(jié)果加以檢驗(yàn)．1．(2009年廣東卷)已知全集U＝R，則正確表示集合M＝{－1，0,1}和N＝關(guān)系的韋恩(Venn)圖是()解析：由N＝，得N＝{－1,0}，則N

M，故選B.答案：B2．(2010年四川卷)設(shè)S為復(fù)數(shù)集C的非空子集．若對任意x，y∈S，都有x＋y，x－y，xy∈S，則稱S為封閉集．下列命題：①集合S＝{a＋bi|a，b為整數(shù)，i為虛數(shù)單位}為封閉集；②若S為封閉集，則一定有0∈S；③封閉