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量子力學(xué)諧振子的薛定諤因式分解法角動量的本征值與本征態(tài)第23講目錄零、一維諧振子的分析解法(回顧)一、諧振子的薛定諤因式分解法二、角動量的本征值與本征態(tài)三、代數(shù)解法總結(jié)
四、例題
零、一維諧振子的分析解法(回顧)
一維諧振子的能量本征方程:(1)漸進行為和束縛態(tài)條件:
令:代入原方程零、一維諧振子的分析解法(回顧)(厄米方程)冪級數(shù)解法能量本征值能量本征態(tài):厄米多項式
以上為分析解法,非常復(fù)雜。本講將引入的薛定諤因式分解法(代數(shù)解法)處理該問題很簡單。一、諧振子的薛定諤因式分解法(1)1、,和的引入一維諧振子的哈密頓量:
利用自然單位:
引入兩個算符:和定義為:
對易關(guān)系:
逆變換:留作練習(xí)一、諧振子的薛定諤因式分解法(2)一維諧振子的哈密頓量用和表示為:注意:定義:因此,稱為粒子數(shù)算符。
的性質(zhì):在任何量子態(tài)下:
為正定(線性代數(shù))的厄米算符,正定厄米算符的本征值為非負(fù)實數(shù)。一、諧振子的薛定諤因式分解法(3)2、的本征值和本征態(tài)。設(shè)的本征值為,本征態(tài)為,即:
即:若令則有:,對比,可以看出就是算符屬于本征值的本征態(tài)。一、諧振子的薛定諤因式分解法(4)
利用同樣的方法,可得即:的本征態(tài):的本征值:
為正定的厄米算符,其本征值為非負(fù)實數(shù)??隙ù嬖谝粋€最小的本征值,相應(yīng)的本征態(tài)為,則為的本征值為的本征態(tài),即:一、諧振子的薛定諤因式分解法(5)3、利用確定一維諧振子的本征值即:,為的本征值,加上能量單位:;就是一維諧振子的屬于本征值本征態(tài)。
以上求解一維諧振子能量本征值的方法,未涉及任何分析(微分,積分等)的方法,僅僅從代數(shù)(左乘,數(shù)乘等)的角度來求解的。一、諧振子的薛定諤因式分解法(6)4、的性質(zhì)
因此就是算符屬于本征值的本征態(tài)。同理:()的本征態(tài):的本征值:的本征值:一、諧振子的薛定諤因式分解法(7):下降算符:上升算符固體物理:和稱為聲子的產(chǎn)生和消滅算符。量子電動力學(xué)(激光的全量子理論):和稱為光子的產(chǎn)生和消滅算符。一、諧振子的薛定諤因式分解法(8)5、一維諧振子的本征態(tài)
已證明就是一維諧振子的屬于本征值本征態(tài)。但是具體的形式未給出。利用上升算符可證明:歸一化的
即:
坐標(biāo)表象中的表示:首先求的表示,取坐標(biāo)表象:一、諧振子的薛定諤因式分解法(9)加上自然單位:歸一化的基態(tài)波函數(shù)激發(fā)態(tài)波函數(shù):,加上長度自然單位二、角動量的本征值與本征態(tài)
(1)1、角動量算符的定義設(shè)有三個標(biāo)量算符,和,若它們滿足下列對易式:則由這三個標(biāo)量算符作為分量的矢量算符稱為角動量算符,上述三個對易式稱為角動量的基本對易式。這個三個對易式與三個標(biāo)量算符是角動量算符分量互為充分必要條件。定義:為角動量平方算符,滿足對易式:基本對易式合寫為:二、角動量的本征值與本征態(tài)
(2)2、角動量算符本征值和本征態(tài)的代數(shù)解法
考慮二維各向同性諧振子,相應(yīng)的兩類聲子產(chǎn)生和消滅算符分別為:和滿足對易式:定義正定厄米算符:設(shè)其本征值分別為和,分別聲子的數(shù)目
和歸一化共同本征態(tài):二、角動量的本征值與本征態(tài)
(3)
定義以下算符():可以證明因此這三個算符,和可組成一個角動量算符:其中:二、角動量的本征值與本征態(tài)
(4)若的本征值可表示為則根據(jù)即角動量量子數(shù)只能取非負(fù)整數(shù)或半奇數(shù)
為和的共同本征態(tài),將改記為的取值范圍:二、角動量的本征值與本征態(tài)
(5)根據(jù)逆變換:角動量的本征值與本征態(tài):三、代數(shù)解法總結(jié)
(1)代數(shù)解法的核心?對易關(guān)系代數(shù)變換
和為粒子數(shù)產(chǎn)生和消滅算符,粒子數(shù)算符。粒子數(shù)表象四、例題
第一題:證明由產(chǎn)生算符性質(zhì)可知和為同一個態(tài):
為一個常數(shù),取它的模方取即四、例題
第二題:定義證明:由題可知:已知:,令根據(jù):根據(jù)逆變換:有:角動量的共同本征函數(shù)―球諧函數(shù)角動
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