信號(hào)與系統(tǒng) 第7章 信號(hào)的離散時(shí)間復(fù)指數(shù)描述-z變換

第七章信號(hào)的離散時(shí)間復(fù)指數(shù)描述-z變換z變換是用離散時(shí)間復(fù)指數(shù)信號(hào)描述離散系統(tǒng)或離散信號(hào)的方法，與用拉普拉斯變換比較，有其不同的表達(dá)方法。z變換能夠離散時(shí)間LTI系統(tǒng)及其對(duì)信號(hào)響應(yīng)提供比離散時(shí)間傅立葉變換（DTFT）更寬的特性描述。從很大程度上，z變換是離散時(shí)間傅立葉變換的擴(kuò)展，或者說DTFT是z變換的特例。z變換可以分析處理離散時(shí)間傅立葉變換不能分析的涉及無限求和不收斂的信號(hào)。z變換以有兩個(gè)變量的離散時(shí)間復(fù)指數(shù)函數(shù)作為基函數(shù)。離散時(shí)間復(fù)指數(shù)函數(shù)也是LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)?！?.1引言z變換的分類單邊z變換雙邊z變換單邊z變換是求解具有初始條件差分方程的有力工具雙邊z變換為了解系統(tǒng)的穩(wěn)定性、因果性及頻率響應(yīng)等提供了新的視角。兩個(gè)離散時(shí)間信號(hào)卷積和的z變換也是兩個(gè)離散時(shí)間信號(hào)z變換的乘積。LTI的輸出可以通過輸入信號(hào)的z變換與系統(tǒng)沖激響應(yīng)的z變換乘積得到。系統(tǒng)沖激響應(yīng)的z變換仍稱為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)?！?.2

z變換的引入7.2.1z變換中的基函數(shù)—離散時(shí)間復(fù)指數(shù)函數(shù)令模為r，相角為Ω的復(fù)指數(shù)為ejΩ，離散時(shí)間復(fù)指數(shù)信號(hào)一般在穩(wěn)定系統(tǒng)應(yīng)用問題中，r＜1，因而z的實(shí)部是衰減的余弦函數(shù)，虛部是衰減的正弦函數(shù)7.2.2

LTI系統(tǒng)離散時(shí)間復(fù)指數(shù)函數(shù)的本征函數(shù)特性以離散時(shí)間復(fù)指數(shù)函數(shù)做為沖激響應(yīng)為h[n]的LTI系統(tǒng)的輸入信號(hào)，則系統(tǒng)輸出信號(hào)可見zn

是離散LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)(信號(hào))，H(z)是對(duì)應(yīng)zn

的特征值，一般是復(fù)數(shù)。7.2.2LTI系統(tǒng)離散時(shí)間復(fù)指數(shù)函數(shù)的本征函數(shù)特性可見離散LTI系統(tǒng)的輸出信號(hào)只是將輸入特征信號(hào)zn的大小變?yōu)樵瓉淼膢H(rejΩ)|倍，相位移動(dòng)了φ(rejΩ)。利用復(fù)數(shù)的性質(zhì)和歐拉公式，得到稱為傳遞函數(shù)。函數(shù)7.2.3z

變換可見傳遞函數(shù)是h[n]r-n的傅立葉變換，其逆變換必定為將z=rejΩ

代入傳遞函數(shù)表達(dá)式得到將z=rejΩ

代入傳遞函數(shù)表達(dá)式得到以z為變量的積分形式

7.2.3

z

變換而Ω由-π到π的積分對(duì)應(yīng)于z

沿逆時(shí)針方向以r為半徑的圓繞行一周，因此在z=rejΩ

中將r視為常數(shù)，則可以定義傳遞函數(shù)是離散沖激響應(yīng)的z變換，而離散沖激響應(yīng)是傳遞函數(shù)的逆z變換。z變換的一般表示為記為7.2.4

z變換的收斂性z變換的收斂條件為滿足收斂條件的r的取值范圍為z變換的收斂域（ROC）。對(duì)不滿足傅立葉變換收斂條件的信號(hào)，可以通過調(diào)整r的大小使其z變換收斂。注意r>0！7.2.5

z平面用復(fù)數(shù)坐標(biāo)描述復(fù)指數(shù)z

的特點(diǎn)的平面稱為z平面。復(fù)指數(shù)z

的特點(diǎn)是以復(fù)平面的原點(diǎn)為圓心，以r為半徑，與實(shí)軸夾角為Ω的線段來描述。如果r=1時(shí)z變換收斂，則z變換退化為傅立葉變換。傅立葉變換的區(qū)域是z變換中半徑為1的單位圓。z平面Re{z}Im{z}ΩrrejΩz平面Re{z}Im{z}Ωr

=1ejΩ7.2.6極點(diǎn)和零點(diǎn)如果z變換具有分子與分母兩個(gè)z-1的多項(xiàng)式相比的形式：其中，稱為增益；ck是分子多項(xiàng)式的根，稱為z變換的零點(diǎn)；dk是分母多項(xiàng)式的根，稱為z變換的極點(diǎn)。由極點(diǎn)、零點(diǎn)和收斂域可以確定z變換的特點(diǎn)。則可以化為例題與習(xí)題：例7.1（P535）（z變換的求法）例7.2（P536）（指數(shù)因果信號(hào)的z變換）例7.3（P536）（指數(shù)反因果信號(hào)的z變換。收斂域的重要性）例7.4（P537）（雙邊信號(hào)的z變換）作業(yè)：習(xí)題7.1（538）例題與習(xí)題：例題與習(xí)題：例題與習(xí)題：例題與習(xí)題：§7.3z變換收斂域的特性z變換的收斂條件為因此z變換的收斂域可以反映信號(hào)的特性。1、收斂域不包括極點(diǎn)；2、有限持續(xù)時(shí)間內(nèi)的有限信號(hào)的z變換的收斂域是除了|z|=0或|z|

=∞的整個(gè)z平面；3、由于沖激信號(hào)的z變換是常數(shù)，因此沖激信號(hào)z變換的收斂域是整個(gè)z平面，沖激信號(hào)也是唯一一個(gè)z變換在整個(gè)z平面上收斂的信號(hào)；4、單邊及雙邊信號(hào)的收斂特點(diǎn)右邊信號(hào)的收斂域?yàn)椋簗z|

＞r+；r+是z平面上“最大”極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的半徑左邊信號(hào)的收斂域?yàn)椋簗z|

＜

r-；r-是z平面上“最小”極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的半徑雙邊信號(hào)的收斂域?yàn)椋簉+

＜|z|＜

r-。5、信號(hào)傅立葉變換的收斂域位于|z|=1的單位園上收斂域的特性：§7.3

z變換收斂域的特性右邊信號(hào)及其收斂域………………z平面Re{z}Im{z}r+0z平面Re{z}Im{z}r-0z平面Re{z}Im{z}r+0r-左邊信號(hào)及其收斂域雙邊信號(hào)及其收斂域§7.3

z變換收斂域的特性例題與習(xí)題：例7.5（P541）作業(yè)：習(xí)題7.2（543）§7.3

z變換收斂域的特性例題與習(xí)題：§7.3

z變換收斂域的特性例題與習(xí)題：§7.4z變換的性質(zhì)大部分z

變換的性質(zhì)與離散傅立葉變換的特性類似，這里只給出z

變換的主要特性，證明從略。設(shè)信號(hào)x[n]和y[n]的z變換存在，即A.線性特性其收斂域至少為兩信號(hào)收斂域的交集，即§7.4z變換的性質(zhì)B.時(shí)間反轉(zhuǎn)性質(zhì)原信號(hào)x[n]的時(shí)間反轉(zhuǎn)（映射）信號(hào)的z變換是原信號(hào)z變換中以z-1取代z得到。若原信號(hào)z變換的收斂域Rx為a

＜|z|＜

b，則其時(shí)間反轉(zhuǎn)信號(hào)z變換的收斂域?yàn)閍

＜1/|z|＜

b或1/b

＜|z|＜1/a

。C.時(shí)移性質(zhì)時(shí)移后信號(hào)z變換可能的收斂域是除了|z|=0或|z|=∞所有Rx，當(dāng)n0＞0，則時(shí)移后信號(hào)z變換的收斂域不能包含z=0，當(dāng)n0＜0，則時(shí)移后信號(hào)z變換的收斂域不能包含|z|=∞。§7.4z變換的性質(zhì)D.與指數(shù)序列相乘的性質(zhì)收斂域?yàn)閨α|

Rx。若原信號(hào)z變換的收斂域Rx為a

＜|z|＜

b，則其與指數(shù)序列相乘的z變換的收斂域?yàn)閨α|a

＜|z|＜|α|b。E.卷積性質(zhì)收斂域R≥Rx∩RyF.z域微分特性收斂域?yàn)镽x§7.4

z變換的性質(zhì)例題與習(xí)題：例7.6（P544）例7.7（P546）例7.8（P547）作業(yè)：習(xí)題7.3（548）§7.4

z變換的性質(zhì)例題7.6§7.4

z變換的性質(zhì)例題7.7§7.4

z變換的性質(zhì)例題7.7§7.4

z變換的性質(zhì)例題7.8§7.4

z變換的性質(zhì)例題7.8§7.5

逆

z變換逆

z變換是從

z變換中求對(duì)應(yīng)的原時(shí)間信號(hào)。我們只介紹部分分式展開法和冪級(jí)數(shù)法兩種求逆

z變換的方法。用部分分式展開法求逆

z變換，是通過基本的z變換對(duì)，以及z變換的性質(zhì)來得到逆z變換。收斂域是極點(diǎn)半徑以外區(qū)域的逆z變換得到右邊信號(hào)，收斂域是極點(diǎn)半徑以內(nèi)區(qū)域的逆z變換得到左邊信號(hào)。冪級(jí)數(shù)法求逆

z變換的方法是把z變換的的表達(dá)式化為

z-1

的冪級(jí)數(shù)形式，再通過觀察冪級(jí)數(shù)的系數(shù)來確定時(shí)域信號(hào)。7.5.1部分分式展開法求逆z變換如果z變換具有分子與分母兩個(gè)z-1的多項(xiàng)式相比的形式：如果M＜N，則可以直接進(jìn)行部分分式分解。如果M＞N，可以先用長除法把X(z)化為一個(gè)z-1的多項(xiàng)式和一個(gè)有理多項(xiàng)式形式。z-1的多項(xiàng)式形式的逆z變換可以利用變換對(duì)和z變換的時(shí)移性質(zhì)求得。z-1的有理多項(xiàng)式形式的逆z變換用部分分式分解方法求得。先將分母多項(xiàng)式分解因式得：7.5.1部分分式展開法求逆z變換根據(jù)極點(diǎn)的性質(zhì)、收斂域、極點(diǎn)的位置和系統(tǒng)的性質(zhì)，可以采用以下幾種方法。1、當(dāng)各極點(diǎn)互不相同，則用留數(shù)法求得部分分式為對(duì)部分分式中的每一項(xiàng)當(dāng)收斂域：|z|＞dk，則其對(duì)應(yīng)的部分分式中的逆z變換是右邊信號(hào)，即當(dāng)收斂域：|z|＜dk，則其對(duì)應(yīng)的部分分式中的逆z變換是左邊信號(hào)，即7.5.1部分分式展開法求逆z變換2、如果極點(diǎn)di是r重的，則用留數(shù)法求得部分分式為r個(gè)對(duì)其中的第m項(xiàng)部分分式當(dāng)收斂域：|z|＞di，則其對(duì)應(yīng)的部分分式中的逆z變換是右邊信號(hào)，即當(dāng)收斂域：|z|＜di，則其對(duì)應(yīng)的部分分式中的逆z變換是左邊信號(hào)，即7.5.1部分分式展開法求逆z變換3、如果極點(diǎn)dk是復(fù)數(shù)，則當(dāng)有理分式的所有系數(shù)為實(shí)數(shù)時(shí)，必有一個(gè)與共軛的極點(diǎn)，所得到的部分分式的系數(shù)也是共軛的當(dāng)收斂域：|z|＞dk，則其對(duì)應(yīng)的部分分式中的逆z變換是右邊信號(hào)，即當(dāng)收斂域：|z|＜dk，則其對(duì)應(yīng)的部分分式中的逆z變換是左邊信號(hào)，即7.5.1部分分式展開法求逆z變換4、如果系統(tǒng)是因果的，則其z變換只在|z|＞dk

區(qū)域收斂，其逆z變換只有右邊信號(hào)；5、如果信號(hào)是穩(wěn)定的，則其必然是絕對(duì)可和的，其離散時(shí)間傅立葉變換是存在的。z變換收斂域必定包含|z|=1的單位園，當(dāng)極點(diǎn)位于單位園以內(nèi)，逆z變換只存在右邊信號(hào)；當(dāng)極點(diǎn)位于單位園外，則逆z變換只存在左邊信號(hào)。7.5.2求逆z變換的冪級(jí)數(shù)展開法（第5節(jié)課，2014年12月1日，金工實(shí)習(xí)停課6周后第六次課講到此。）

如果z變換X(z)可以表示為z-1或z的形式，信號(hào)x[n]可以通過與z-n或zn聯(lián)系的系數(shù)來表示。特點(diǎn)：1、此方法只適用于單邊信號(hào)，即離散時(shí)間信號(hào)是由收斂域?yàn)閨z|＜a或|z|＞a的z變換所決定。如果收斂域|z|＞a，則把z變換X(z)表示成z-1的冪級(jí)數(shù)形式（|z|→∞時(shí)才有定義

），得到右邊信號(hào)形式的逆z變換；如果收斂域|z|＜a，則把z變換X(z)表示成z的冪級(jí)數(shù)形式（|z|→0時(shí)才有定義

）

，得到左邊信號(hào)形式的逆z變換；2、冪級(jí)數(shù)展開法可以得到不是多項(xiàng)式比形式z變換的逆變換?！?.5逆z變換例題與習(xí)題：例7.9（P550）例7.10（P551）例7.11（P554）（長除法求z變換）例7.12（P555）（冪級(jí)數(shù)展開法求z變換）作業(yè)：習(xí)題7.4（551），習(xí)題7.5（553），習(xí)題7.6（553），習(xí)題7.7（555）§7.5逆z變換例題7.9§7.5逆z變換例題7.9§7.5逆z變換例題7.10§7.5逆z變換例題7.10§7.5逆z變換例題7.11§7.5逆z變換例題7.11§7.5逆z變換例題7.12§7.6傳遞函數(shù)（LTI系統(tǒng)的性質(zhì)）傳遞函數(shù)是沖激響應(yīng)的

z變換。LTI系統(tǒng)的輸出信號(hào)是沖激響應(yīng)與輸入信號(hào)的卷積和，即兩邊進(jìn)行拉氏變換LTI系統(tǒng)的傳遞函數(shù)是輸出信號(hào)

z變換與輸入信號(hào)

z變換之比，即當(dāng)輸出信號(hào)的

z變換和輸入信號(hào)

z變換為已知，傳遞函數(shù)的收斂域已經(jīng)確定，或雖然沒有給定傳遞函數(shù)的收斂域，但系統(tǒng)的穩(wěn)定性或因果性質(zhì)已知的情況下，可以通過求傳遞函數(shù)的逆z變換得到系統(tǒng)的沖激響應(yīng)。7.6.1傳遞函數(shù)與差分方程的關(guān)系從描述LTI系統(tǒng)輸入信號(hào)x[n]與輸出信號(hào)y[n]關(guān)系的差分方程，可以得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)H(z)。描述LTI系統(tǒng)的

N階差分方程為（P129）對(duì)方程兩邊同時(shí)作z變換，并利用時(shí)域平移信號(hào)z變換的性質(zhì)得到因此差分方程所代表的LTI系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：7.6.1傳遞函數(shù)與差分方程的關(guān)系對(duì)分子和分母多項(xiàng)式分別分解因子可以得到零點(diǎn)和極點(diǎn)形式的傳遞函數(shù)。通過極點(diǎn)、零點(diǎn)、增益因子，可以得到另外一種描述系統(tǒng)特點(diǎn)的方法。ck和dk分別是系統(tǒng)的零點(diǎn)和極點(diǎn)，

=b0/a0是增益因子，三者完全確定了傳遞函數(shù)。注意，傳遞函數(shù)的極點(diǎn)就是常系數(shù)差分方程描述的LTI系統(tǒng)特征方程的根?！?.6傳遞函數(shù)例題與習(xí)題：例7.13（P556）系統(tǒng)識(shí)別例7.14（P557）求傳遞函數(shù)和沖激響應(yīng)例7.15（P557）由傳遞函數(shù)還原差分方程作業(yè)：習(xí)題7.8（556），習(xí)題7.9（557）§7.6傳遞函數(shù)例題7.13§7.6傳遞函數(shù)例題7.13§7.6傳遞函數(shù)例題7.14§7.6傳遞函數(shù)例題7.15§7.7LTI系統(tǒng)因果性和穩(wěn)定性與極點(diǎn)的關(guān)系由于是討論系統(tǒng)本身的特性，需要由傳遞函數(shù)極點(diǎn)在z平面上位于|z|=1

的單位園內(nèi)外的情況來研究系統(tǒng)沖激響應(yīng)的相關(guān)特點(diǎn)。位于z

平面上單位園內(nèi)外極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的沖激響應(yīng)成分具有以下特點(diǎn)：當(dāng)極點(diǎn)位于單位園內(nèi)，即：|dk|＜1，n＞0，h[n]是指數(shù)衰減信號(hào)；n＜0，h[n]是指數(shù)增長信號(hào)。不受收斂域約束的任意部分分式對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)沖激響應(yīng)h[n]為當(dāng)極點(diǎn)位于單位園外，即：

|dk|＞1，n＞0，h[n]是指數(shù)增長信號(hào)；n＜0，h[n]是指數(shù)衰減信號(hào)。當(dāng)極點(diǎn)位于單位園上，即：|dk|=1，h[n]是復(fù)正弦信號(hào)。§7.7LTI系統(tǒng)因果性和穩(wěn)定性與極點(diǎn)的關(guān)系因果系統(tǒng)：當(dāng)

n＜0時(shí)h[n]=0z平面Re{z}Im{z}×z平面Re{z}Im{z}×位于單位園內(nèi)的極點(diǎn)（|dk|＜1）對(duì)應(yīng)的沖激響應(yīng)h[n]是指數(shù)衰減信號(hào)位于單位園外的極點(diǎn)（|dk|＞1）對(duì)應(yīng)的沖激響應(yīng)h[n]是指數(shù)增長信號(hào)§7.7LTI系統(tǒng)因果性和穩(wěn)定性與極點(diǎn)的關(guān)系穩(wěn)定系統(tǒng)：

h[n]必須絕對(duì)可和z平面Re{z}Im{z}×z平面Re{z}Im{z}×位于單位園內(nèi)的極點(diǎn)（|dk|＜1）對(duì)應(yīng)的沖激響應(yīng)h[n]只能有右邊信號(hào)位于單位園外的極點(diǎn)（|dk|＞1）對(duì)應(yīng)的沖激響應(yīng)h[n]只能有左邊信號(hào)§7.7LTI系統(tǒng)因果性和穩(wěn)定性與極點(diǎn)的關(guān)系穩(wěn)定的因果系統(tǒng)：

h[n]必須絕對(duì)可和，且當(dāng)

n＜0時(shí)

h[n]=0，因此所有極點(diǎn)必須全部位于單位園內(nèi)，信號(hào)只能有右邊信號(hào)z平面Re{z}Im{z}×××××7.7.1LTI系統(tǒng)的逆系統(tǒng)與零點(diǎn)的關(guān)系及沖激響應(yīng)的特點(diǎn)h[n]hinv[n]x[n]y[n]x[n]逆系統(tǒng)的信號(hào)變換過程示意圖逆系統(tǒng)的信號(hào)變換過程示的數(shù)學(xué)描述逆系統(tǒng)沖激響應(yīng)與原系統(tǒng)沖激響應(yīng)之間的關(guān)系逆系統(tǒng)傳遞函數(shù)與原系統(tǒng)傳遞函數(shù)之間的關(guān)系7.7.1LTI系統(tǒng)的逆系統(tǒng)與零點(diǎn)的關(guān)系及沖激響應(yīng)的特點(diǎn)（第6節(jié)課，2014年12月8日，金工實(shí)習(xí)停課6周后第六次課講到此。）

逆系統(tǒng)的傳遞函數(shù)具有有理傳遞函數(shù)H(z)的系統(tǒng)一定存在逆系統(tǒng)；逆系統(tǒng)的零點(diǎn)是原系統(tǒng)傳遞函數(shù)H(z)的極點(diǎn)；逆系統(tǒng)的極點(diǎn)是原系統(tǒng)傳遞函數(shù)H(z)的零點(diǎn)；逆系統(tǒng)的性質(zhì)由原系統(tǒng)傳遞函數(shù)H(z)的零點(diǎn)決定，決定的方法與原系統(tǒng)方法相同。具有穩(wěn)定因果逆系統(tǒng)的穩(wěn)定因果系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)H(z)的極點(diǎn)和零點(diǎn)都位于z

平面的單位園內(nèi)；傳遞函數(shù)H(z)的全部極點(diǎn)和零點(diǎn)都位于z平面單位園內(nèi)的系統(tǒng)稱為最小相位系統(tǒng)，最小相位系統(tǒng)的幅度響應(yīng)與相位響應(yīng)之間具有惟一的關(guān)系，其相位響應(yīng)由幅度響應(yīng)惟一確定，反之亦然?！?.7傳遞函數(shù)例題與習(xí)題：例7.16（P560）例7.17（P560）例7.18（P562）例7.19（P562）作業(yè)：習(xí)題7.10（561），習(xí)題7.11（563）習(xí)題7.12（563），§7.7傳遞函數(shù)例題7.16§7.7傳遞函數(shù)例題7.16§7.7傳遞函數(shù)例題7.17§7.7傳遞函數(shù)例題7.18§7.7傳遞函數(shù)例題7.19§7.8LTI系統(tǒng)頻率響應(yīng)與極點(diǎn)和零點(diǎn)的關(guān)系LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)是傳遞函數(shù)H(z)中z的取值限定在z平面單位園上時(shí)的情況，計(jì)算時(shí)是以

ejΩ替代

z而得到。因此要求傳遞函數(shù)的收斂域必須包含單位園。在傳遞函數(shù)中以z=ejΩ替代

z得到頻率響應(yīng)：在分子分母中同時(shí)乘以ejNΩ得到用ejΩ的正冪形式表示的頻率響應(yīng)：根據(jù)上式的特點(diǎn)，可以通過研究零點(diǎn)（ejΩ-

g）及極點(diǎn)1/(ejΩ-

g)的幅度和相位頻率響應(yīng)特性得到系統(tǒng)的頻率特征?！?.8LTI系統(tǒng)頻率響應(yīng)與極點(diǎn)和零點(diǎn)的關(guān)系以

ejΩ代表單位園上的任意一點(diǎn)，則是從原點(diǎn)到單位園上ejΩ點(diǎn)的矢量，g是從原點(diǎn)到g點(diǎn)的矢量，（ejΩ-

g）是從g點(diǎn)到單位園上ejΩ點(diǎn)的矢量，這個(gè)矢量的長度是|ejΩ-

g

|。g位于單位園內(nèi)外的情況如上圖?？梢酝ㄟ^研究（ejΩ-

g）隨Ω的變化來研究系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。0Re{z}Im{z}z平面ejΩejΩ-

gg