教程-matlab6.0初級章矩陣及其基本運(yùn)算

1章矩陣及其基本運(yùn)算單元出發(fā)，介紹令及其用法。的強(qiáng)大功能之一體現(xiàn)在能直接處理向量或矩陣。當(dāng)然首要任務(wù)是輸入待處理一方括號（[]）內(nèi)；當(dāng)矩陣是（三維以上，且方括號內(nèi)的元素是維數(shù)較低的矩陣時(shí)，>>Time=[1112123456789Time1112123456789>>X_Data=[2.323.43；4.37X_Data2.434.37>>vect_a=[12345]vect_a=1234>>Matrix_B=[12 234；34Matrix_B=122334>>Null_M=[

第式>>>>C=[1,2*a+i*b,b*sqrt(a);sin(pi/4),a+5*b,3.5+1]5.4000+2>>R=[123;456],M=[111213;141516]R=123456MCN=1.00002.00003.00004.00005.00006.0000symsyms，先定義一>>sym_matrix=sym（'[abc；Jack，HelpMe!，NOWAY!]，'）sym_matrix= HelpMe! >>sym_digits=sym（'[123；abc；sin（x）cos（y）tan（z）]'）sym_digits= 1-4>>symsabc>>M1=>>M2=sym（'>>M3=>>syms_matrix=[abc；M1，M2，M3；int2str（[235]）]syms_matrix= [ClassicalJazzBlues] 5]供了一個將數(shù)值型轉(zhuǎn)化成符號型令，即sym。>>Digit_Matrix=[1/3sqrt（2）3.4234；exp（0.23）log（29）23^（->>Syms_Matrix= 對于大型矩陣，一般創(chuàng)建M文件，以便于修改：例1-6 用M文件創(chuàng)建大矩陣，文件名為example.mexm=[285596在窗口輸入 %顯示exm5 %表示exm56列函數(shù)格式說明n=1n=2時(shí)分別構(gòu)造[A1；A2]和[A1，A2]，都是二維數(shù)組，而n=3時(shí)可以構(gòu)造>>A1=[1,2,3;4,5,6;7,8,9];A2=A1';A3=A1-A4(:,:,1)=123456789A4(:,:,2)147258369A4(:,:,3) - - - 1-8>>A1=[1,2,3;4,5,6;7,8,9];A2=A1';A3=A1-A5(:,:,1)= A5(:,:,2) A5(:,:,3) - - - 命令全零陣函數(shù)zeros格式B= B Bzeros([m B=zeros(d1,d2,d3…)%生成d1×d2×d3×…全零陣或數(shù)組B=zeros([d1d2d3…])%生成d1×d2×d3×…全零陣或數(shù)組B=zeros(size(A)) %生成與矩陣A相同大小的全零陣命令單位陣函數(shù)eye格式Y(jié) %生成n×n單位 %生成與矩陣A相同大小的單位陣命令全1陣函數(shù)格式Y(jié)= %生成n×n全1Y Yones([m Y=ones(d1,d2,d3…) %生成d1×d2×d3×…全1陣或數(shù)組Y=ones([d1d2d3…])%生成d1×d2×d3×…全1陣或數(shù)組Y= 命令均勻分布隨機(jī)矩陣函數(shù)rand格式Y(jié)= %生成n×n隨機(jī)矩陣，其元素在（0，1）Y Yrand([m Y= Yrand([mn Y %生成與矩陣A相同大小的 s %產(chǎn)生包括均勻發(fā)生器當(dāng)前狀態(tài)的35個元素', ', ', rand('state',sum(100*clock)) 例1-9 產(chǎn)生一個3×4隨機(jī)矩陣R >>x=命令正態(tài)分布隨機(jī)矩陣函數(shù)randn格式Y(jié)=randn(n) %生成n×n正態(tài)分布隨機(jī)矩陣Y=randn(m,n) Y=randn([m Yrandn(m,n,p,…)%m×n×pY=randn([mnp…]) Y=randn(size(A)) %生成與矩陣A相同大小的正態(tài)分布隨機(jī)矩陣 s %產(chǎn)生包括正態(tài)發(fā)生器當(dāng)前狀態(tài)的2個元素的srandn('state srandn('state srandn('state s=randn('state',sum(100*clock)) 例1-11 產(chǎn)生均值為0.6，方差為0.1的4階矩陣>>mu=0.6;x=命令產(chǎn)生隨機(jī)排列函數(shù)randperm格式p= %產(chǎn)生1～n之間整數(shù)的隨機(jī)排ans= 命令產(chǎn)生線性等分向量函數(shù)linspace格式y(tǒng)= %在(a,b)上產(chǎn)生100個線性等分y=linspace(a,b,n) %在(ab)上產(chǎn)生n個線性等分點(diǎn)命令產(chǎn)生對數(shù)等分向量函數(shù)格式y(tǒng)= %在（10ay=logspace(a,pi)命令計(jì)算矩陣中元素個數(shù)

n=numel(a) 命令產(chǎn)生以輸入元素為對角線元素的矩陣函數(shù)格式out=blkdiag(a,b,c,d,…) 例1-13>>out=blkdiag(1,2,3,4)out=1000020000300004命令友矩陣函數(shù)compan格式A= %u為多項(xiàng)式系統(tǒng)向量，A為友矩陣，A的第1行元素 求多項(xiàng)式(x1)(x2)(x3)x37x6的友矩陣和>>u=[10-7 A07-100010 ans-命令hadamard矩陣函數(shù)hadamard格式H=hadamard(n) %返回n階hadamard矩陣?yán)?-15h11111-1-11--1--1命令Hankel方陣函數(shù)hankel格式H= %第1列元素為c，反三角以下元素為0H=hankel(c,r) >>c r h=12382389389H= 產(chǎn)生一個3階Hilbert矩>>formatH=1命令逆Hilbert矩陣函數(shù)invhilb格式H=invhilb(n) %產(chǎn)生n階逆Hilbert矩陣命令Magic(魔方)矩陣函數(shù)格式M=magic(n) %產(chǎn)生n階魔方矩陣?yán)?-18M=816357492PascalA=%產(chǎn)生nPascalA=A=%返回Pascal(n,1)的轉(zhuǎn)置和交A=11111234A=1001-01-1A=111--0100命令托普利茲矩陣函數(shù)格式TT=%用向量r生成一個對稱的托普利>>c=[1234>>r=[1.52.53.54.5T=121321432154321命令Wilkinson特征值測試陣函數(shù)wilkinson格式W=wilkinson(n) %返回n階Wilkinson特征值測試陣?yán)?-21>>W1001100110>>01W31000001210000011100000101000001110000012100000131-22>>A=[1,1,1;1,2,3;1,3,>>B=[8,1,6;3,5,7;4,9,>>A-Ｂ=A-9274758- --- --- >>X=3412211100100]；8533則顯示：a=468244C=C=相同；若為矩陣，則AB有相同的維數(shù)。例>>X=[-10>>Y=[-2-1則顯示：Z44在中，用函數(shù)cross實(shí)現(xiàn)。函數(shù)Ccross(A,B)%A、BABC=A×B，A、B3A、B3×nAB對應(yīng)列的叉積，A、B3×n矩C=cross(A,B,dim) 相同的維數(shù)，size(A,dim)和size(B,dim)必須是3。 計(jì)算垂直于向量(1,2,3)和(4,5,6)的向量>>a=[12>>b=[45- -可得垂直于向量(1,2,3)和(4,5,6)的向量為±(-3,6,3) 計(jì)算向量a=(1,2,3)、b=(4,5,6)和c=(-3,6,-3)的混合積a(b>>a=[123];b=[456];c=[-36->>x=dot(a,cross(b,結(jié)果顯示：x函數(shù)conv格式w= 說明長度為munv的卷積(Convolution)kwk)∑u(jv(k1j式中：w向量序列的長度為(m+n-1)m=nw(1)=w(2)=w(3)=…w(n)=u(1)*v(n)+u(2)*v(n-1)+……w(2*n-1)= 展開多項(xiàng)式(s22s2)(s4)(s解：w %將w表示成多項(xiàng)Ps^4+7s^3+16s^2+18s+8函數(shù)deconv格式[q,r]= %多項(xiàng)式v除以多項(xiàng)式u，返回商多項(xiàng)式q和余多項(xiàng)式r (x32x23x4)(10x220x30)，則其卷積>>u= >>v= c= q=r 0函數(shù)格式C=kron %A為m×n矩陣，B為p×q矩陣，則C為mp×nq矩陣說明ABCAB

a22B

ABBMMOML1 A

B

AB >>A=[12;34];B=[123;456;78C=1232464568789集合運(yùn)函數(shù)intersect格式c= %返回向量a、b的公共部分，即c=a∩bc [c,ia,ib] >>A=[1234;1246;6714]A=123412466714>>B=[1238;1146;6714]B=123811466714C= >>A=[19620];B=[1234610>>[c,ia,ib]=c16ia134ib157數(shù)ismember格式k= k= >>S=[024681012141618>>a=[12345k=

>>A=[1234;1246;671>>B=[1238;1146;671k=00%1數(shù)setdiff格式c= c= [c,i >>A=[179620];B=[1234610c= >>A=[1234;1246;671>>B=[1238;1146;671c=12341246數(shù)setxor格式c= c= [c,ia,ib] %ia、ib表示caA)、b(B)>>A=[123>>B=[245C= >>A=[1234;1246;6714]A=123412466714>>B=[1238;1146;6714]B=123811466714C=11 6ia12ib21函數(shù)union格式c= %返回a、b的并集，即c=a∪bc= [c,ia,ib]=union(…) 1-37>>A=[123>>B=[245>>c

>>A=[1234;1246]A= >>B=[1238;1146]B=12381146c=11246ia12ib21格式b=unique b=unique [b,i,j]=unique(…) %i、j體現(xiàn)b中元素在原向量（矩陣）中的位置1-39>>A=[112244646]A= c=ij

>>A=[1224;1146;1146]A=122411461146c= i31j211除法運(yùn)x=b/a是方程x*a=b的解。例：a=[123;426;749]b=[4;1;-a\b=inv(a)*bb/a=矩陣乘小于0的整數(shù)時(shí)，A^P表示A-1P次方。dd當(dāng)A為方陣，p為非整數(shù)時(shí)，則A^

V1VA的特征 為特征值對角矩陣。如果有重根，以上指令不成立標(biāo)量的矩陣乘方PA，標(biāo)量的矩陣乘方定義為PA V1式中V，Dpdn自特征值分解AV=AD

pa11

p標(biāo)量的數(shù)組乘方P.^A，標(biāo)量的數(shù)組乘方定義為P.^A 數(shù)組乘方p Lpam函數(shù)expm格式Y(jié)= %使用泰勒級數(shù)計(jì)算eA %使用特征值和特征向量計(jì)算命令矩陣的對數(shù)

Y=logm(X) %計(jì)算矩陣X的對數(shù)，它是expm(X)的反函數(shù)。[Y,esterr]=logm(X) >>A=[110;002;00-Y=000A=0000-F=是任意基本函數(shù)，如sincos等等，例如： 為結(jié)果所產(chǎn)生的相對誤X=sqrtm(A)%AA1/2X*X=AXA的特征值XAX為復(fù)矩陣；若A為奇異矩陣，則X不存在。 [X,alpha,condest 命令矩陣A的多項(xiàng)式函數(shù)polyvalm格式polyvalm(P, 矩陣轉(zhuǎn)函數(shù)格式ddet(XX1-42>>A=[123;456;78A D=0逆與偽命令函數(shù)格式 %求方陣X的逆矩陣。若X為奇異陣或近似奇異陣將給出警告信息1231-A221的逆矩343>>A=[123;221;34>>Y=inv(A)或Y=A^(-Y----1B3

321 3

0>>B=[1,2,3,1,0,0;2,2,1,0,1,0;3,4,3,0,0, >>X=C %取矩陣C中的A^(-1)部0000-00--00-----X>>A=[21-1;212;1-1>>formatD=

00--0命令偽逆函數(shù)格式B= Bpinv(A %tol種程度上代表矩陣的逆，若A為非奇異矩陣，則pinv(A)=inv(A)。 A=A(:,1:4) %54列元素構(gòu)成矩陣A。A185746 %計(jì)算AX--------函數(shù)格式b=trace %返回矩陣A的跡，即A的對角線元和命令向量的范數(shù)函數(shù)norm∑|xk格式n= %X為向量，求歐幾里德范數(shù)，即||∑|xknnorm(X,inf)%求-范數(shù)，即||X||maxabsXnnorm(X,1)%1-范數(shù)，即||X||1∑|xk|k)%p∑|xk|pn=norm(X,p)%求p-范數(shù)，即||Xp∑|xk|p命令矩陣的范數(shù)函數(shù)norm格式n=norm(A)%A為矩陣，求歐幾里德范數(shù)||A||2A的最大奇異值。nnorm(A,1)%A的列范數(shù)||A||1A1-范數(shù)的最大值。n=norm(A,2)%A的歐幾里德范數(shù)||A||2norm(A)相同。nnorm(A,inf)%求行范數(shù)||A||A1-即：max(sum(abs(A')))∑∑|aij n=norm(A,'fro' %求矩陣A的Frobenius∑∑|aij 即sqrt(sum(diag(A'*A)))，不能用矩陣p-范數(shù)的定義來求。命令范數(shù)的估計(jì)值函數(shù)格式nrm= 差小106nrm [nrm,count 條件命令矩陣的條件數(shù)函數(shù)cond格式c= %求X的2-范數(shù)的條件數(shù)即X的最大奇異值和最小奇異值的商c 義為：cond(A) |A||||A1||命令1-函數(shù)格式c=condest [c,v]=condest( %v為向量，滿足||Av||||A||||v||c=norm(A,1)*norm(v,1)/c[c,v]condestA,t)%cv，同時(shí)顯示出關(guān)于計(jì)算的步驟信息。如果t=1，則計(jì)算的每步都顯示出來；如果t=-1，則給出商命令矩陣可逆的條件數(shù)估值函數(shù)rcond格式c=rcond(A) %對于差條件矩陣A來說，給出一個接近于0的數(shù)；對于好條件矩陣A，則給出一個接近于1的數(shù)。命令特征值的條件數(shù)函數(shù)condeig格式c= %DA的特征值對角陣，VA函數(shù)格式k=rank %求矩陣A的krank 函數(shù)diagXdiag(v,k)%vXkk=0時(shí)，vXk>0時(shí)，vkk<0時(shí)，v為下方第k條對角線。Xdiag(v)%v0Xvdiag(X,k)%Xkv。k=0：抽取主對角線元素；k>0k條對角線元素；k<0k條v=diag(X) v。1-46>>v=[12x=0000100002000030>>A=[123;456;789]A=123456789v=26函數(shù)tril 格式L= L=tril(X,k) 為主對角線以上；k<0為主對角線以下。函數(shù) 格式U= U=triu(X,k) 為主對角線以上；k<0為主對角線以下。 A111111111111 >>L=tril(A,1) L1100111011111111>>U=triu(A,-1) U=1111111101110011（1-48>A=[123456;678901]A=123456678901B=111111111111B1格式B=reshape(A,m,n) %返回以矩陣A的元素構(gòu)成的m×n矩陣BB=reshape(A,m,n,p,…) %將矩陣A變維為m×n×p×…Breshape(A,[mn B >>b= 格式B=rot90 B=rot90(A,k) 1-50>>A=[123;456;789]A=123456789>>Y1=rot90(A),Y2=rot90(A,-Y1 Y2 格式B= 格式B= >>A=[123;456]A=12345632165321654= 123函數(shù)flipdim格式B= >>A=[123;456]A=12345645612456123= 654函數(shù)repmat格式B= %將矩陣Am×n塊，即B由m×n塊A平鋪而成Brepmat(A,[m Brepmat(A,[mn >>A=[12;56]A= B=121212125656565612121212565656561212121256565656若關(guān)系滿足，則將結(jié)果矩陣中該位置元素置為1，否則置0。1-><=~>>A=[1234;5678];B=[0214;077>>C1=A==B,C2=A>=B,C3=A~=BC1=01010010C211111011C310101101函數(shù)floor格式 函數(shù)ceil格式 函數(shù)round格式round %將A中元素按最近的整數(shù)取整，即四舍五入取整函數(shù)fix格式fix(A) %將A中元素按離0近的方向取整例1-55A--200-200-2-011=31103-122=200-2-122=20002-011格式[n,d]=rat n=--d

C=rem(A, (A./x)。允許模x為小數(shù)。 格式A&Band(A說明AB010格式A|Bor(A說明AB001格式~Anot格式xorA,B)說明AB0001。1-57>>A=[0234;1350],B=[1053;150023402341350= 1505BC1=00111100C211111111C310000001C4110000116.x4.2版中為符號矩陣設(shè)計(jì)的復(fù)雜函數(shù)形式，把符號矩陣的四則運(yùn)算\）等或：符號矩陣的和（symadd、差（symsub、乘(symmul)1-58Asym([1x1/(x11/(x2),1/(x>>Bsym([x,1;x2,0])>>C=B-x-1/x1- （det（inv（rank（^）和指數(shù)（expexpm）等都與數(shù)值矩陣相同函數(shù)格式 %將A轉(zhuǎn)化為符號矩陣A= B=[2/3, >>B(2,3) ans=4947709893870346*2^(->>B(2,3)='log(7)' B= 2/3,sqrt(2), 7/5,100/23,函數(shù)factor格式 說明S為符號矩陣或符號表達(dá)式，常用于多項(xiàng)式的因式分解。1-61x9-1分解因式在命令窗口鍵入symsx則顯示：ans(x- 問“入”取何值時(shí)，齊次方程組2x1(3)x2x30有非0解 symsA=[1-k-24;23-k1;111-Dans=-k*(k-2)*(-函數(shù)expand格式 %符號表達(dá)式s的展開函說明：s為符號矩陣或表達(dá)式。常用在多項(xiàng)式的因式分解中，也常用于三角函數(shù)，指數(shù)例1-63將(x+1)3、sin(x+y)展開 symsxpq函數(shù)Collect格式 %函數(shù)simple或simplify 格式simple(s) %s是矩陣或表達(dá)式[R,how]=simple(s) %R為返回的最簡形，how為簡化過程中使用的主要方法。說明Simple(s)sPretty格式 %使表達(dá)式s更加精

1111abcdd1111abcdddsymsabcA=[1111;abcd;a^2b^2c^2d^2;a^4b^4c^4d^4]; %讓表達(dá)式d2符合人們的書寫習(xí)慣d1b*c^2*d^4-b*d^2*c^4-b^2*c*d^4+b^2*d*c^4+b^4*c*d^2-b^4*d*c^2-^2*d^4-a*b^2*c^4-a*b^4*d^2+a*b^4*c^2+a^2*c*d^4-a^2*d*c^4-a^2*b*d^4+a^2*b*c^4+a^2*b^4*d-d2=(-d+c)*(b-d)*(b-c)*(-d+a)*(a-c)*(a-(-d+c)(b-d)(b-c)(-d+a)(a-c)(a-函數(shù)格式n=numel(a) 例1-65>>A=[1234;567n=8函數(shù)格式R=chol(X) %如果X為n階對稱正定矩陣，則存在一個實(shí)的非奇異上三角陣R，滿足R'*R=X；若X非正定，則產(chǎn)生錯誤信息。[R,p]=chol(X) 若X非正定，則p為正整數(shù)，R是有序的上三角陣。>>X%4階pascal矩11 12 R=111101230013p00010LU上三角矩陣U的乘積，即A=LU。函數(shù)格式[L,U]=lu(X) %U為上三角陣，L為下三角陣或其變換形式，滿足LU=X。[L,U,P]= LU=PX>>A=[123;456;78L=000U000000000000P001100010 QRU函數(shù)qr格式[Q,R]=qr(A) %求得正交矩陣Q和上三角陣R，Q和R滿足A=QR。[Q,R,E]=qr(A) %求得正交矩陣Q和上三角陣R，E為單位矩陣的變換形式，[Q,R]=qr(A,0) %產(chǎn)生矩陣A的“經(jīng)濟(jì)大小”分解[Q,R,E]=qr(A,0) %E的作用是使得R的對角線元素降序，且Q*R=A(:,E)。R=qr(A) %稀疏矩陣A的分解，只產(chǎn)生一個上三角陣R，滿足R'*R=[C,R]=qr(A,b) qr(A,b)，x=R\c。R [C,R]=qr(A,b,0) 1-68>>A=[123;456;789;1011-------------=- - -0--00000R函數(shù)格式[Q,R]=qrdelete(Q,R,j) 例1-69>>A=[-149-50-154;537180546;-27-9-Q=---R-000 %將A3列去掉后進(jìn)行qr分解------=557.9418000R函數(shù)格式[Q,R]= %在矩陣A中第j列插入向量x后的新矩陣進(jìn)行qr>>A=[-149-50-154;537180546;-27-9->>x=[3510Q=- - -R--0-00Schur函數(shù)格式T=schur(A) %產(chǎn)生schur矩陣T即T的主對角線元素為特征值的三角陣。T=schur(A,flag) %若A有復(fù)特征根，則flag='complex'，否則flag='real'。[U,T]=schur(A,…) %返回正交矩陣U和schur矩陣T，滿足A=U*T*U'。>>H=[-149-50-154;537180546;-27-9-25U= - - T 2.0000- 函數(shù)格式[U,T]=rsf2csf(U,T) 例1-72>>A=[1113;1211;1131;-211u=--------t----0--0000--0.2756-0.2133--0.2756-0.2133+---0.1012+-0.1046+-0.1842+-0.1867---0.2635-0.3134--0.9697+-0.5212+2.0051i-01.9202+ 0.1117+001.9202- 0.8002+00 Td=d=%計(jì)算A的特征值對角陣D和特VAV=VD成立[V,Deig(A,'nobalance')%A該指令可能更精確。'nobalance'起誤差調(diào)節(jié)[V,Deig(A,B)%計(jì)算廣義特征值向量陣V和廣義特征值陣D[V,Deig(A,B,flag)%flagDV，flag的可能值為：'chol表示對BCholesky分解算法，這里AHermitian矩陣，B為正定陣。'qzQZ算法，這里A、B為非對稱或非Hermitian矩陣。AxxAxBx函數(shù)格式s=svd [U,S,VsvdX)%XSUV，[U,S,V]=svdX,0)%U>>A=[12;34;56;7U=-----------S000000V---U=-------S00V---函數(shù)格式[U,V,X,C,S]= II為單位矩陣)；AB的列數(shù)必須相同，行數(shù)可[U,V,X,C,S]=gsvd(A,B,0) sigma=gsvd(A,B) A %產(chǎn)生4階魔方B8 ---= - --------=0------- 000000000000VXCS0 00 特征值QZ函數(shù)格式[AA,BB,Q,Z,V]= 陣。且滿足：Q*A*Z=AAQ*B*ZBB。[AA,BB,Q,Z,V]= %flag決定的分解結(jié)果，flag'copx'（默認(rèn)'ra'：如果矩H的第一子對角線下元素0H為海森伯格(Hessenberg)矩陣。如果矩陣是對稱矩陣，則它的海森伯格形式是對角三角陣?？梢酝ㄟ^相似變換將矩陣變換函數(shù)格式H= %P為酉矩陣，滿足：APHP'P'Peye(size(A))>>A=[-149-50-154;537180546;-27-9-P= - H- 42.2037--537.6783152.5511- 若系數(shù)矩陣的秩r<n，則可能有無窮解；=求線性方程組的唯一解或特解（第一類問題5x1 x15x2 求方程 x25x3 0的解x35x4 x4 >>A=[50000156001B=[1000 R_A5X-- %由系數(shù)矩陣和常數(shù)列構(gòu)成增廣矩陣 %將C化成行最簡R00000000-00000000-0000x1x23x3x4 求方程組3x1x23x34x44的一個特解x15x29x38x4>>A=[11-3-1;3-1-34;15-9->>B=[14 X=[00-0.53330.6000]’（一個特解近似值）。若用rref求解，則比較>>A=[11-3-1;3-1-34;15-9-B=[14 R=0-0---00000由此得解向量 – LU換）和上三角矩陣的乘積。即A=LU，L為下三角陣，U為上三角陣。則 變成所以X=U\(L\b) 命令[L，U]=lu(A) 求方程

4x12x2x323xx2x10 11x13x2

A 11 >>A=[42-1;3-12;113>>B=[210D0--000=00-00UWarning:MatrixisclosetosingularorbadlyResultsmaybeinaccurate.RCOND=2.018587e-InD:\ \pujun\lx0720.matline4X=1.0e+016-即：ARR 其中R為上三角陣。方程A*X=b

RR*XXR\(R\QR方程 變形 所 上例中[Q 格式z= %z的列向量為方程組的正交規(guī)范基，滿足ZZI x12x22x3x4 求解方程組的通解：2x1x22x32x4x1x24x33x4>>A=[1221;21-2-2;1-1-4->>format B2--1001B=0--00000symsk1 X[2*k1+5/3*k2][-2*k1-4/3*k2] %[2k1+5/3k2 [-2k1- 第二步：求AX=b的一個特解x12x23x3x4 求解方程組3x1x25x33x42x1x22x32x4解：在中建立M文件如下A=[1-23-1;3-15-3;212-b=[12formatratifR_A==R_B&R_A==n elseifR_A==R_B&R_A<n %求AX=0的基礎(chǔ)解系elseX='equitionnosolve' R_AX=

3equitionno說明

x1x23x3x4 求解方程組的通解：3x1x23x34x4x15x29x38x4 A=[11-3-1;3-1-34;15-9-b=[14formatratifR_A==R_B&R_A==nelseX='Equationhasnosolves'R_A2R_B2Warning:Rankdeficient,rank=2tol InD:\\pujun\lx0723.matline11X=00-C-1001

3/3/

3/ 7/ 所以原方程組的通解為 8

3/A=[11-3-1;3-1-34;15-9-b=[14B=[A C10-01---00000

3/3/，10

2

3/7/01

非齊次方程組的特解為：5/1/* 所以，原方程組的通解為：X=k11+k22+*00線性方LQ函數(shù)xsymmlq(A,b)%AX=bX。An階對稱方陣，b為n元列向量。AafunA*X的函數(shù)。如果示相對殘差norm(b-A*x)/norm(b)和計(jì)算終止的迭代次數(shù)。 %指定誤差tol，默認(rèn)值是1e-6 %maxit指定最大迭代次數(shù) %M為用于對稱正定矩陣的預(yù)處理因子 %x0為初始估計(jì)值，默認(rèn)值為0。[x,flag]= 精度收斂；1表示在指定迭代次數(shù)內(nèi)不收斂；2表示相同；4表示標(biāo)量參數(shù)太小或太大；5表示預(yù)處理因[x,flag,relres]=symmlq(A,b,…) %relres表示相對誤差norm(b-A*x)/norm(b)[x,flag,relres,iter]=symmlq(A,b,…) %iter表示計(jì)算x的迭代次數(shù)[x,flag,relres,iter,resvec]=symmlq(A,b,…) %resvec表示每次迭代的殘差：[x,flag,relres,iter,resvec,resveccg]=symmlq(A,b,…) %resveccg表示每次迭代共函數(shù)x=bicg(A,b)%AX=bX。An階方陣，bn元列 %指定誤差tol，默認(rèn)值是1e-6 %maxit指定最大迭代次數(shù) %M為用于對稱正定矩陣的預(yù)處理因子 %x0為初始估計(jì)值，默認(rèn)值為0。[x,flag]bicg(A,b,…)%flag的取值為：0表示在指定迭代次數(shù)之內(nèi)按要求精度收斂；1表示在指定迭代次數(shù)內(nèi)不收斂；2表示M為壞條件的預(yù)處理因子；3表示兩次連續(xù)迭代完全相同；4表示[x,flag,relres]=bicg(A,b,…) %relres表示相對誤差norm(b-A*x)/norm(b)[x,flag,relres,iter]=bicg(A,b,…) %iter表示計(jì)算x的迭代次數(shù)[x,flag,relres,iter,resvec]=bicg(A,b,…) %resvec表示每次迭代的殘差：norm(b- 調(diào)用6.0數(shù)據(jù)文件west0479>>load %將數(shù)據(jù)取為系數(shù)矩陣Ab=sum %將A的各行求和，構(gòu)成一列向量 %用“\AX=b>>norm(b-A*X)/norm(b) ans=1.2454e- %用bicg函數(shù)x=（0，由于太長，不顯示出來）flag= relres= %相對殘差relresnorm(b-A*x)/norm(b)norm(b)/norm(b)1。iter %表明解法不當(dāng)，使得初始估計(jì)值0向量比后來所有迭代值0resvec=（略 >> xlabel('iteration %x軸為迭代次數(shù)ylabel('relative %y1-1雙共軛梯度法相對誤差函數(shù)格式x[x,flag]=bicgstab(A,b,…)[x,flag,relres]=bicgstab(A,b,…)1-84>>loadx1的值全為0，flag=2表示預(yù)處理因子為壞條件的預(yù)處理因子。>>[L2,U2]=luinc(A,1e- %稀疏矩陣的不完全LU>>[x2,flag2,relres2,iter2,resvec2]=bicgstab(A,b,1e-%指定最大迭代次數(shù)為10次，預(yù)處理因子M=L*U>>semilogy(0:0.5:iter2,resvec2/norm(b),'- %每次迭代的相對殘差圖形，見圖1-2 結(jié)果 flag2 relativerelres2relative iter2 resvec2 10復(fù)共軛梯度平方法解方程 10函數(shù)格式x

iteration[x,flag]=cgs(A,b,…)[x,flag,relres]=cgs(A,b,…)

1-2穩(wěn)定雙共軛梯度方法的相對誤差LSQR函數(shù)格式x[x,flag]=lsqr(A,b,…)[x,flag,relres]=lsqr(A,b,…)1-85>>n=>>on=- >>b=>>tol1e- >>maxit >>M1=spdiags([on/(-2)on],->>M2spdiags([4*on flag relres3.5241e- iter 函數(shù)格式x[x,flag]=gmres(A,b,…)[x,flag,relres]=gmres(A,b,…)[x,flag,relres,iter]=gmres(A,b,…)式與命令bicg一樣。>>load>>A=>>b=>>[x,flag]=[L2,U2]=luinc(A,1e-tol=1e-[x4,flag4,relres4,iter4,resvec4]=gmres(A,b,4,tol,5,L2,U2)[x6,flag6,relres6,iter6,resvec6]=gmres(A,b,6,tol,3,L2,U2)[x8,flag8,relres8,iter8,resvec8]=gmres(A,b,8,tol,3,L2,U2)函數(shù)格式x[x,flag]=minres(A,b,…)[x,flag,relres]=minres(A,b,…)[x,flag,relres,iter]=minres(A,b,…)[x,flag,relres,iter,resvec]=minres(A,b,…)[x,flag,relres,iter,resvec,resveccg]=minres(A,b,…)令bicg一樣。>>n=100;on=>>b=>>tol=1e->>maxit=>>M1=flag0relres=iter=

4.6537e-resvec=（略）函數(shù)格式x[x,flag]=pcg(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0,p1,p2,…)[x,flag,relres]=pcg(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0,p1,p2,…)[x,flag,relres,iter]=pcg(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0,p1,p2,…)函數(shù)格式x[x,flag]=qmr(A,b,…)[x,flag,relres]=qmr(A,b,…)[x,flag,relres,iter]=qmr(A,b,…)[x,flag,relres,iter,resvec]=qmr(A,b,…)1-88>>load>>A=>>b=>>[x,flag]=>>semilogy(0:iter2,resvec2/norm(b),'- flag2= relres2= iter2= resvec2= 1.0e+005*1-3準(zhǔn)最小殘差法相對誤差A(yù)的特征值，非零向量xA”的特征向量。 求矩陣A 的特征值和特征向 >>A=[-211;020;-41V- - - - D-00020002 - - 求矩陣A 0的特征值和特征向量 >>A=[-110;-430;10V0-0--D200010001說明當(dāng)特征值為1(二重根)時(shí)，對應(yīng)特征向量都是k -函數(shù)格式[T,B]= %求相似變換矩陣T和平衡矩陣B，滿足BT1ATB %求平衡矩陣函數(shù)格式[V,D]=cdf2rdf >>A=[123;045;0-5v= -0.0191-0.4002i-0.0191+00-0+0d0004.0000+0 4.0000-V=--00-00D0000-命令格式B=orth(A) %將矩陣A正交規(guī)范化，B的列與A的列具有相同的空間，B的列向量是正交向量，且滿足：B'*B=eye(rank(A))。4 將矩陣A0

31正交規(guī)范 >>A=[400;031;01P000-0Q000000 求一個正交變換X=PY，把二次0 1 11 1 0f2x1x22x1x32x0 1 11 1 0AA=[011-1;10-11;1-101;-111symsy1y2y3y4 f=[y1y2y3-----00=1000010000-00001DX[.79*y1+.21*y2+.50*y3-.29*y4][.21*y1+.79*y2-.50*y3+.29*y4][.56*y1-.56*y2-.50*y3+.29*y4] fy1^2+y2^2- f=y2y23y2 函數(shù)格式k= k 求向量組1(1 3)，2 13)，3(1 3)4 3)5 4)的秩，并判斷其線性相關(guān)性。>>A=[1-223;-24-13;-1203;0623;2-63k3<交換兩行rirj（i、第j兩行交換i行的K倍kri行的Kj行上去rjkr函數(shù)rrefrrefmovie格式R=rref(A) %用高斯—約當(dāng)消元法和行主元法求A的行最簡行矩陣R[R,jb]= [R,jb] %給出每一步化簡 >>-2>>a2=[-4- >>a3=[-2062-6a2A1--02-426-2-02333334R=jb

- - >>ans1-0-462-2333即 a4為向量組的一個基函數(shù)格式S=sparse(A) %將矩陣A轉(zhuǎn)化為稀疏矩陣形式，即由A的非零元素和下標(biāo)構(gòu)成稀疏矩陣S。若A本身為稀疏矩陣，則返回A本身。S S=sparse(i,j,s) 量或與i，j長度相同的向量，表示在(i,j)位置上的元素。S= si，mmax(i)nmax(j)S= S，nzmaxiS=123456789S= 函數(shù)格式A=full(S) %S為稀疏矩陣，A為滿矩陣。例1-97S=4567>>8A4000005000006000007000008函數(shù)格式k= [i,j [i,j,v] >>I=[234j=[234v567函數(shù)格式 %D是只有3列或4列的矩load函數(shù)把外部數(shù)據(jù)（.mat文件或.dat文件）裝載于內(nèi)存空間中的變T；T數(shù)組的行維為nnznnz+1，列維為3（對實(shí)數(shù)而言）或列維為4（對復(fù)數(shù)而言）T數(shù)組的每一行（以[i,j,Sre,Sim]形式）指定一個稀疏矩陣元素。>>D254;346;3123254346367S=3647>>D=[1234;2540;3469;3674];D=1234254034693674S= 3.0000+ 6.0000+ 7.0000+函數(shù)spdiags格式[B,d]= B A=spdiags(B,d,A) A=spdiags(B,d,m,n) 在由d指定的對角線位置上。>>A= 000000000000>>[B,d]=spdiags(A)B=00d- %表示B1列元素在A中主對角線下3條對角線 %表示B2A >>B=[12356791011131415>>d=[-201>>ans=270050數(shù)speye格式S= S %生成n×n的單位函數(shù)sprand格式R= R R=sprand(m,n,density,rc) 數(shù)sprandn格式R= R= R= %生成一個近似的條件數(shù)為1/rc、大小為m×n函數(shù)sprandsym格式R= %生成稀疏對稱隨機(jī)矩陣，其下三角和對角線與S具有相R= %生成n×nR %生成近似條件數(shù)為1/rc的稀疏對稱R 表示矩陣由一正定對角矩陣經(jīng)隨機(jī)Jacobi旋陣為外積的換位和，其條件數(shù)近似等于1/rc；kind=3表示生成一個與矩陣S結(jié)構(gòu)相同的稀疏隨機(jī)矩陣，條件數(shù)近似為1/rc，density被函數(shù)nnz格式n= 數(shù)nonzeros格式s= >>A=[ >>s=[2176511101615函數(shù)nzmax格式n=nzmax(S) 函數(shù)格式S= %產(chǎn)生一個m×n階只有nzmax個非零元素的稀疏矩陣函數(shù)spfun格式f= %用S中非零元素對函數(shù)'function'求值，如果'function'例1-103 4階稀疏矩陣對角矩陣S f=f

%即指數(shù)e的非零元素函數(shù)格式R= %將稀疏矩陣S中的非零元素全換為函數(shù)格式 %參數(shù)與上面相同000>>load>>函數(shù)colamd格式p= %返回稀疏矩陣S的列 nz=1-4稀疏矩陣函數(shù)colmmd格式p=colmmd(S)%S的列的最小度排序向量p，按p排列后的矩陣為S(:,p)。 比較稀疏矩陣S與排序后的矩陣S(:,>>load>>>>>>>>>>>>1-5稀疏矩陣的排序函數(shù)colperm格式j(luò)=colperm(S)%S的列變換的向量。列按非0元素升序排列。有時(shí)這是LU分解前有用的變換：LU(S(:,j))。如果S是一個對稱矩陣，對行和列進(jìn)行排序，有利于Cholesky分解：函數(shù)dmperm格式p=dmperm A(p,:)是具有非0對角線元素的[p,q,r]=dmperm(A) %A為方陣p為行排列向量q為列排列向量，使得A(p,q)是上三角塊形式，r為索引向量。[p,q,r,s] >>A=[110130;410044;022024;00630]A=000000000p= q r >>ans000000000數(shù)randperm格式p=randperm %對正整數(shù)1，2，3，…，n的隨機(jī)排列，可以用來創(chuàng)建隨p= 函數(shù)symamd格式p= 函數(shù)symrcm格式r=symrcm(S) %返回S的對稱逆Cuthill-McKee排序r，使S的非0元素集中函數(shù)symmmd格式p=symmmd(S) %返回S的對稱最小度排列向量p，S為對稱正定矩陣。例1-108>>B=>>r=>>p=>>R=>>S=0 nz=2400 nz=

0 nz=2400 nz=1-6稀疏對稱最小度命令矩陣A1-范數(shù)估計(jì)值函數(shù)condest格式c= [c,v]= %A1-cv||Av||(||A||||v||c，即命令2-函數(shù)格式nrm=normest(S) nrm=normest(S,tol) %tol為指定的相對誤差，而不用默認(rèn)誤差10-6。[nrm,count]=normest(…) %count為給出的計(jì)算范數(shù)迭代的次數(shù)LU分解函數(shù)luinc格式[L,U]= 三角矩陣；'0'是一種分[L,U,P [L,U]= 掉的列元素。ugiag1表示droptol值代替上三角0。thresh為[L,U [L,U,P]=luinc(X,options)[L,U,P]=>>S=[110130;410044;022024;00630]S=000000000S= 1111LUpCholesky分解函數(shù)cholinc格式R= droptolR 果michol=1，則從對角線上抽取出被去掉的元素。rdiagdroptol值代替上三角分解因子中的對角線上的R %'0'是一種分解[R,p]= %不產(chǎn)生任何出錯信息，如果R存在，則p=0；如果R d=d=%求稀疏矩陣的廣義特征值問題。滿足AV=BVD，其中d d deigs(A,k,sigma)%sigma取值：'lm'表示最大數(shù)量的特征值；'sm'最小數(shù)量特征值；對非對稱和復(fù)數(shù)問題：'lr'表示最大實(shí)部；'sr表示最小實(shí)部；'li'表示最大虛部；'si'表示最小虛部。d %d d d d=d=d=d=d=d= %D6個最大特征值對角陣，V的列向量為對應(yīng)特征向量[V,D,flag]= 2章數(shù)值計(jì)算與數(shù)據(jù)分析三角函數(shù)與雙曲函函數(shù)sin、功能正弦函數(shù)與雙曲正弦函數(shù)格式Y(jié)=sin(X) 度分量的正弦值Y，所有分量的角度單位為弧度。Y Z=x+iy，函數(shù)的定義為：sin(x+iy)=sin(x)*cos(y)sin(z) sin(z) eizsin(z) sin(z)2

ezezx=-pi:0.01:pi;x=-5:0.01:5;2-1正弦函數(shù)與雙曲正弦函數(shù)函數(shù)asin、格式Y(jié)asin(X)%X（可以是向量、矩陣）中每一個元素的反正弦函數(shù)值YX中有的分量處于[-1,1]Y=asin(X)對應(yīng)的分量處于[-π/2,π/2]之間，若X中有分量在區(qū)間[-1,1]之外，則Y=Yasinh(X)%X說明反正弦函數(shù)與反雙曲正弦函數(shù)的定義為：asinziln(iz1z2asinhzln(z

1z2x=-1:.01:1;x=-5:.01:5;函數(shù)cos、

2-2反正弦函數(shù)與反雙曲正弦函數(shù)功能余弦函數(shù)與雙曲余弦函數(shù)格式Y(jié)cos(X)%X（可以是向量、矩陣，元素可以是復(fù)數(shù)）中每一個角cos(pi/2)并不是精確的零，而是與浮點(diǎn)精度有關(guān)的無窮小量eps，因?yàn)閜i僅僅是精確值π浮點(diǎn)近似的表示值而已。Y Xzx+iy，則函數(shù)定義為：cos(x+iycos(x)*cos(ycosz

eizeiz

，coshz

ezezx=-pi:0.01:pi;x=-5:0.01:5;2-3余弦函數(shù)與雙曲余弦函數(shù)函數(shù)acos、格式Y(jié)= %返回參 X（可以是向量、矩陣）中每一個元素的反余弦函YX中有的分量處于[-1,1]之間Y=acos(X)對應(yīng)的分Yasinh(X)%X說 反余弦函數(shù)與反雙曲余弦函數(shù)定義為：acosziln(izi1z2)acoshzln(z

z2x=-1:.01:1;x=-5:.01:5;2-4反余弦函數(shù)與反雙曲余弦函數(shù)函數(shù)tan、功能正切函數(shù)與雙曲正切函數(shù)格式Y(jié)=tan(X) %計(jì)算參量X（可以是向量、矩陣，元素可以是復(fù)數(shù)）中每一個角tan(pi/2)并不是精確的零，而是與浮點(diǎn)精度有關(guān)的無窮小量eps，因?yàn)閜i僅僅是精確值π浮點(diǎn)近似的表示值而已。Y xpi/2)+0.01:0.01:(pi/2)-0.01;%稍微縮小定義x=-5:0.01:5;2-5正切函數(shù)與雙曲正切函數(shù)函數(shù)atan、格式Y(jié)=atan(X)%X（可以是向量、矩陣）中每一個元素的反正切函數(shù)Y。若X中有的分量Y=atan(X)對應(yīng)的分量處于[-Yatanh(X)%XYatanzilniz，atanhz1ln1 i 1x=-20:0.01:20;x=-0.99:0.01:0.99;2-6反正切函數(shù)與反雙曲正切函數(shù)函數(shù)cot、功能余切函數(shù)與雙曲余切函數(shù)格式Y(jié)=cot(X) 度分量的余切值Y，所有角度分量的單位為弧度。Y x1pi+0.01:0.01:-0.01;%去掉奇點(diǎn)x0x2=0.01:0.01:pi-0.01;%做法同上2-7余切函數(shù)與雙曲余切函數(shù)函數(shù)acot、格式Y(jié)=acot(X) Y=acoth(X)%返回參量X中每一個元素的反雙曲余切函數(shù)值Yx12*pi:pi/30:-0.1;x20.1:pi/30:2*pi;%去掉奇異點(diǎn)x0x1=-30:0.1:-1.1;x2=2-8反余切函數(shù)與反雙曲余切函數(shù)函數(shù)sec、功能正割函數(shù)與雙曲正割函數(shù)格式Y(jié)=scX)%X（）度分量的正割函數(shù)值Y，所有角度分量的單位為弧度。我們要的是，ec(p2)并不是無窮大，而是與浮點(diǎn)精度有關(guān)的無窮小量eppi僅僅是精確值πYsech(X)%Xx1pi/2+0.01:0.01:pi/2-0.01;%去掉奇異點(diǎn)xpi/2x2=pi/2+0.01:0.01:(3*pi/2)-0.01;x=-2*pi:0.01:2*pi;2-9正割函數(shù)與雙曲正割函數(shù)函數(shù)asec、格式Y(jié)=asec(X) Y x1=-5:0.01:-1;x2=x=0.01:0.001:1;2-10反正割函數(shù)與反雙曲正割函數(shù)csc、功能余割函數(shù)與雙曲余割函數(shù)格式Y(jié)=csc(X) 角度分量的余割函數(shù)值Y，所有角度分量的單位為弧度。Y x1pi+0.01:0.01:-0.01;x20.01:0.01:pi-0.01;%去掉奇異點(diǎn)函數(shù)acsc、

2-11余割函數(shù)與雙曲余割函數(shù)格式Y(jié)=asec(X) 值YY x110:0.01:-1.01;x21.01:0.01:10;%去掉奇異點(diǎn)xx1=-20:0.01:-1;x2=2-12反余割函數(shù)與反雙曲余割函數(shù)功能四象限的反正切函數(shù)P=atan2(Y,X)%XYXY元素的實(shí)數(shù)部分對應(yīng)的、元素對元素的四象限的反正切函數(shù)陣列P，其中X和Y的虛數(shù)部分將忽略。陣列P中的元素分布在閉區(qū)間[-pi,pi]上。特定的象限將取決于sign(Y)與sign(X)。yy-xr=z=r*exp(i*theta)feather(z);holdonaxisequal;holdthetaz1.0000+2-13四象限的反正切函數(shù)函數(shù)功能格式Bfix(A)%對AA同維的數(shù)組。A，則返回一復(fù)數(shù)，其分量的實(shí)數(shù)與虛數(shù)部分分別取>>A=[-1.9,-0.2, ,5.6,7.0,>>B=BColumns1through- Columns5through 2.0000+函數(shù)功能朝最近的方向取整。格式Y(jié)=roun(X)%對XX的數(shù)組。對于復(fù)數(shù)參量X，則返回一復(fù)數(shù)，其分量的實(shí)數(shù)與虛數(shù)>>A=[-1.9,-0.2, ,5.6,7.0,>>Y=YColumns1through- Columns5through 2.0000+函數(shù)功能朝負(fù)無窮大方向取整格式B=floor(A) %對A的每一個元素朝負(fù)無窮大的方向取整數(shù)部分，返回與A同維的數(shù)組。對于復(fù)數(shù)參 A，則返回一復(fù)數(shù)，其分量的實(shí)數(shù)與

>>A=[-1.9,-0.2, ,5.6,7.0,>>F=FColumns1through- - Columns5through 2.0000+函數(shù)功能求作除法后的剩余數(shù)Rrem(X,Y)%Xfix(X./Y).*YX、YX、Y為是不可意料的。fix(X./Y)為商數(shù)X./Y朝零方向取的整數(shù)部分。若X與Yrem(X,Y)返回的結(jié)果與mod(X,Y)相同，Xrem(-X,Ymod(-X,Y)-Y。該命令返回的結(jié)果在區(qū)間[0，sign(X)*abs(Y)]，若Y中有量，則相應(yīng)地NaN。

>>X=[122334>>Y=[372>>R=R函數(shù)

功能朝正無窮大方向取整格式B=floor(A)%A的每一個元素朝正無窮大的方向取整數(shù)部分，返回與A同維的數(shù)組。對于復(fù)數(shù)參量A，則返回一復(fù)數(shù)，其分量的實(shí)數(shù)與虛>>A=[-1.9,-0.2, ,5.6,7.0,>>B=BColumns1through- Columns5through 3.0000+函數(shù)功能以e格式Y(jié)=exp(X) %對參量X的每一分量，求以e為底數(shù)的指數(shù)函數(shù)Y。X中的分量可以為復(fù)數(shù)。對于復(fù)數(shù)分量如，z=x+i*y，則相應(yīng)地計(jì)算：e^ze^x*(cos(y)i*sin(y))>>A=[-1.9,-0.2, ,5.6,7.0,>>Y=Y1.0e+003Columns1through Columns5through -0.0099-函數(shù)功能求矩陣的以e格式Y(jié)=expm(X) %計(jì)算以e為底數(shù)、x的每一個元素為指數(shù)的指數(shù)函數(shù)值。若矩陣x有小于等于零的特征值，則返回復(fù)數(shù)的結(jié)果。Taylorexpm2.m中。但這種一般計(jì)在文件expm3.m中，先是將矩陣對角線化，再把函數(shù)計(jì)算出相應(yīng)的的特征向量，>>Y=Y功能自然對數(shù)，即以e格式Y(jié)=log(X)%XX中的元素可以log對復(fù)數(shù)的計(jì)算如下：log(z)=log(abs(z))+i*atan2(y,x)2-21下面的語句可以得到無理數(shù)π>>Pi=abs(log(-Pi函數(shù)功能常用對數(shù)，即以10格式Y(jié)=log10(X) %計(jì)算X中的每一個元素的常用對數(shù)，若X中出現(xiàn)復(fù)數(shù)，則可>>L1log10(realmax)%由此可得特殊變量realmax的近>>L2log10(eps)%由此可得特殊變量eps的近似>>M=>>L3=L10

-函數(shù)格式B=sort(A)%AA中的元素。A可以是字符串的、實(shí)數(shù)的、復(fù)數(shù)的單元數(shù)組。對于A中完AA為則再按它們在區(qū)間[-π,π]的幅角從小到大排列；若A中有元素為若A為二維矩陣則按列的方向進(jìn)行排列若A為數(shù)組sort(A)B= %沿著矩陣A（向量的、矩陣的或的）中指定維[B,INDEXsort(A,…)%輸出參量BINDEXsize(A)A中列向量的A中有重復(fù)出現(xiàn)的相同的>>A=[-1.9,-0.2, ,5.6,7.0,>>[B1,INDEX]=>>M=>>B2=B1Columns1through- - 2.4000+Columns5through INDEX B2 函數(shù)

功能數(shù)值的絕對值與復(fù)數(shù)的幅值格式Y(jié)=abs(X) %返回參量X的每一個分量的絕對值；若X為復(fù)數(shù)的，則返回每一分量的幅值：abs(X)=sqrt(real(X).^2+imag(X).^2)。>>A=[-1.9,-0.2, ,5.6,7.0,>>Y=Y 函數(shù)功能格式ZC= conj(Z)=real(Z)-函數(shù)功能格式Y(jié)=imag(Z) %返回輸入?yún)⒘縕的每一個分量的虛數(shù)部分。例2-25ans3函數(shù)功能格式Y(jié)=real(Z) %返回輸入?yún)⒘縕的每一個分量的實(shí)數(shù)部分。例2-26ans2函數(shù)功能格式P=angle(Z) %返回輸入?yún)⒘縕的每一復(fù)數(shù)元素的、單位為弧度的相角，其值說明angle(zimaglog(zatan2>>Z=[1-i,2+i,3-i,>>P=P--------函數(shù)功能用實(shí)數(shù)與虛數(shù)部分創(chuàng)建復(fù)數(shù)格式c= （同為向量、矩陣、或陣列。該命令比下列形式的復(fù)數(shù)輸入更有用：ai*baj*b因?yàn)閕j可能被用做其他的變量(不等于sqrt(-1))，或者ab不是雙精度的。c=complex(a) 2-28>>a=>>b=>>c=c1.0000+2.0000+3.0000+4.0000+函數(shù)功能模數(shù)（帶符號的除法余數(shù)用法Mmod(X,Y)%X、Y應(yīng)為整數(shù)，此時(shí)返回余數(shù)X-Y.*floor(X./Y)，等于rem(X,Y?？傊?，對于整數(shù)x,ymod(-x,y)=>>M1=>>M2=>>M3=M1M2=M3

函數(shù)n<15函數(shù)C= %參量n,k為非負(fù)整數(shù)，返回n!/((n-k)!k!)，即一次從nkC=nchoosek(v,k) kn-kk!)k>>C=C2468246248268468函數(shù)功能生成元素均勻分布于(0,1)用法Y=rand(n) Y=rand(m,n)、Y=rand([m 于區(qū)間(0,1)上矩陣YY=rand(m,n,p,…)、Y=rand([mn Y=rand(size(A)) %生成一與陣列A同型的隨機(jī)均勻陣列Y s= 2-命命令 設(shè)置狀態(tài)為設(shè)設(shè)第k個狀態(tài)(k為整數(shù)在每次使用時(shí)的狀態(tài)都不同（因?yàn)閏lock每次都不同>>R1=>>a=10;b=>>R2ab-a*rand(5)%生成元素均勻分布于(10,50)R1R2函數(shù)功能生成元素服從正態(tài)分布（N(0,1)）格式Y(jié)=randn(n) %返回n*n階的方陣Y，其元素服從正態(tài)分布N(0,1)。若n不是Y=randn(m,n)、Y=randn([m (0,1)YY=randn(m,n,p,…)、Y=randn([mn Y=randn(size(A)) %生成一與陣列A同型的隨機(jī)正態(tài)陣列Y s=randn('state') 前狀態(tài)。該改變的當(dāng)前狀態(tài)，見表2-2。2- 設(shè)置狀態(tài)為設(shè)設(shè)第k個狀態(tài)(k為整數(shù)設(shè)在每次使用時(shí)的狀態(tài)都不同（因?yàn)閏lock每次都不同>>R1=>>R2=0.6+sqrt(0.1)*R2yyf(x)的關(guān)系式有時(shí)不能直接寫出表達(dá)式，而只能得到函數(shù)在若干個點(diǎn)的yφ()y=φ()x=()在x點(diǎn)的值。尋找這樣的函數(shù)()，辦法是很多的。()可以是一個代數(shù)多項(xiàng)式，或是三角多項(xiàng)式，也φx)（任意階導(dǎo)數(shù)連續(xù)的近效果。許多應(yīng)用中，常要用一個解析函（一、二元函插值命命令 功能一維數(shù)據(jù)插值（表格查找f(x)在中間點(diǎn)的數(shù)值。其中函數(shù)f(x)由所給數(shù)據(jù)決定。各個參量之間的關(guān)系示意圖為圖2-14Y：原始數(shù)據(jù)點(diǎn)Yi：插值2-14數(shù)據(jù)點(diǎn)與插值點(diǎn)關(guān)系示意格式y(tǒng)i= %返回插值向量yi，每一元素對應(yīng)于參量xi，同時(shí)若Y為一矩陣，則按Y的每列計(jì)算。yi是階數(shù)為yi yi=interp1(x,Y,xi,method) 值：’nearest’：最近鄰點(diǎn)插值，直接完成計(jì) ，數(shù)。命令spline用它們執(zhí)行三次樣條函數(shù)插值；’pchip’：分段三次Hermite插值。對于該方法，命令interp1調(diào)用函數(shù)pchip，用xy執(zhí)行分段三次內(nèi)插值。該方法保留單調(diào)性與’cubic’：與’pchip’操作相 yi 殊的外插值法extrapyi= >>x=0:10;y=>>xx=0:.25:10;yy=插值圖形為圖2-15。2-32>>year=>>product=[75.99591.972105.711123.203131.669150.697179.323203.212249.633256.344267.893>>p1995=>>x=>>y=p1995圖2-15一元函數(shù)插值圖 圖2-16離散數(shù)據(jù)的一維插值命令 功能二維數(shù)據(jù)內(nèi)插值（表格查找格式ZI= %返回矩陣ZI，其元素包含對應(yīng)于參量XI與YI（以是向量、或同型矩陣）的元素，即Zi(i,j←[Xi(i,j),yi(i,j)]Xi與Yi，此時(shí)，輸出向量Zi與矩陣meshgrid(xi,yi)是同型的。同時(shí)取決于由輸入矩X、YZ確定的二維函數(shù)Z=f(X,Y)。參XY必須是單調(diào)的，且相同的meshgridXiYi中有在X與Y范圍之外的點(diǎn)，則相應(yīng)地nanNumberZI= %缺省地，X=1:n、Y=1:m，其中[m,n]=size(Z)。再ZI= 等價(jià)于interp2(z,1)。ZI 法；’nearest’：最插值；>>[X,Y]=meshgrid(->>Z=>>ZZ=>>axis([-33-33-520]);shading>>hold2-34>>years=>>service=>>wage=[150.697199.592179.323195.072203.212179.092226.505153.706249.633120.281>>w=w

2-17二維插值命令 功能三維數(shù)據(jù)插值（查表格式VI=interp3(X,Y,Z,V,XI,YI,ZI) 在點(diǎn)（XI,YI,ZI）的值。參量XI,YI,ZI是同型陣列或向量。若向量參量VI與Y1,Y2,Y3為同型矩陣。其中Y1,Y2,Y3為用命令(X,Y,Z)之外的點(diǎn)，則相應(yīng)地返回特殊變量值NaN。VI= %缺省地X=1:NY=1:MZ=1:P，其中[M,N,P]=size(V)，再按上面的情形計(jì)算。VI= interp3(V)等價(jià)于interp3(V,1)VI >>[x,y,z,v]=>>vv=2-18三維插值命令 功