小學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程(附練習(xí)題和答案)三年級(jí)-30講全冊(cè)版（2022年整理）

優(yōu)質(zhì)資料word版本——下載后可編輯優(yōu)質(zhì)資料word版本——下載后可編輯148/148優(yōu)質(zhì)資料word版本——下載后可編輯小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程(三年級(jí))本教程共30講小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程(三年級(jí))本教程共30講第19講能被3整除的數(shù)的特征上一講我們講了能被2，5整除的數(shù)的特征，根據(jù)這些特征，很容易就能判別出一個(gè)數(shù)是否能被2或5整除。同學(xué)們自然會(huì)問(wèn)，有沒(méi)有類似的簡(jiǎn)便方法，直接判斷一個(gè)數(shù)能否被3整除？我們先具體觀察一些能被3整除的整數(shù)：18，345，4737，2567418能被3整除，1+8=9也能被3整除；345能被3整除，3+4+5=9也能被3整除；4737能被3整除，4+7+3+7=21也能被3整除；25674能被3整除，2+5+6+7+4=24也能被3整除。怎么這么巧？我們?cè)僭囈粋€(gè)：7896852能被3整除，7+8+9+6+8+5+2=45也能被3整除。好了，不用再試了，同學(xué)們可能已經(jīng)在想：“是不是所有能被3整除的數(shù)的各位數(shù)字的和都能被3整除？”結(jié)論是肯定的。它的一般性證明這里無(wú)法介紹，我們用一個(gè)具體的數(shù)來(lái)說(shuō)明一般性的證明方法。由99和9都能被3整除，推知(7×99+4×9)能被3整除。再由741能被3整除，推知(7+4+1)能被3整除；反之，由(7+4+1)能被3整除，推知741能被3整除。因此，判斷一個(gè)整數(shù)能否被3整除的簡(jiǎn)便方法是：如果整數(shù)的各位數(shù)字之和能被3整除，那么此整數(shù)能被3整除。如果整數(shù)的各位數(shù)字之和不能被3整除，那么此整數(shù)不能被3整除。例1判斷下列各數(shù)是否能被3整除：2574，38974，587931。解：因?yàn)?+5+7+4=18，18能被3整除，所以2574能被3整除；因?yàn)?+8+9+7+4=31，31不能被3整除，所以38974不能被3整除；因?yàn)?+8+7+9+3+1=33，33能被3整除，所以587931能被3整除。為了今后使用方便，我們介紹一個(gè)表示多位數(shù)的方法。當(dāng)一個(gè)多位數(shù)中有一個(gè)或幾個(gè)數(shù)字用字母來(lái)表示時(shí)，為防止理解錯(cuò)誤，就在這個(gè)多位數(shù)的上面劃一線段來(lái)表示這個(gè)多位數(shù)。例如，表示這個(gè)三位數(shù)的百、十、個(gè)位依次是3，a，5；又如，表示這個(gè)四位數(shù)的千、百、十、個(gè)位依次是a，b，c，d。例2六位數(shù)能被3整除，數(shù)字a=？解：2+5+7+a+3+8=25+a，要使25+a能被3整除，數(shù)字a只能是2，5或8。即符合題意的a是2，5或8。例3由1，3，5，7這四個(gè)數(shù)字寫(xiě)成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中，有幾個(gè)能被3整除？解：在1，3，5，7這四個(gè)數(shù)中，任取三個(gè)，共有4組：1，3，5；1，3，7；1，5，7；3，5，7。其中，1+3+5和3+5+7能被3整除，所以，由1，3，5或3，5，7寫(xiě)成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)能被3整除。由1，3，5可寫(xiě)成135，153，315，351，513，531六個(gè)三位數(shù)；同理，由3，5，7也能寫(xiě)成6個(gè)三位數(shù)。所以，符合題意的三位數(shù)有6×2=12(個(gè))。例4被2，3，5除余1且不等于1的最小整數(shù)是幾？解：除1以外，被2除余1的所有整數(shù)是3，5，7，9，11，…，27，29，31，33，…被3除余1的所有整數(shù)是4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，…被5除余1的所有整數(shù)是6，11，16，21，26，31，36，…上面三列數(shù)中，第一個(gè)同時(shí)出現(xiàn)的數(shù)是31，所以31是同時(shí)滿足被2，3，5除均余1且不等于1的最小數(shù)。例4中使用的方法是解這類題型的基本方法，但不夠簡(jiǎn)捷。一個(gè)較簡(jiǎn)捷的方法是：因?yàn)?大于2和3，所以先從被5除余1的數(shù)1，6，11，16，21，26，31，36，…中找出第一個(gè)(1除外)同時(shí)滿足被2和3除都余1的數(shù)31，就為所求。到五年級(jí)學(xué)了更多的知識(shí)后，還可直接由2×3×5+1=31得到所求數(shù)。例5同時(shí)能被2，3，5整除的最小三位數(shù)是幾？解：能被5整除的三位數(shù)是100，105，110，115，120，125，…其中，第一個(gè)能同時(shí)被2，3整除的數(shù)是120(它是偶數(shù)，且1+2+0=3)，故120為所求。

練習(xí)191.直接判斷25874和978651能否被3整除。3.由2，3，4，5這四個(gè)數(shù)字寫(xiě)成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中，有幾個(gè)能被3整除？4.(1)被2，3除余1且不等于1的最小整數(shù)是幾？(2)被3，5除余2且不等于2的最小整數(shù)是幾？5.同時(shí)能被2，3，5整除的最小自然數(shù)是幾？6.同時(shí)能被2，3，5整除的最大三位數(shù)是幾？7.一根鐵絲長(zhǎng)125厘米，要把它剪成長(zhǎng)2厘米、3厘米、5厘米的三種不同規(guī)格的小段。最多能剪成多少段？答案與提示

練習(xí)191.不能；能。2.a=0，3，6，9。3.12個(gè)。4.(1)7；(2)17。5.30。6.990。7.60段。提示：要使剪成盡量多的小段，2厘米長(zhǎng)的應(yīng)盡量多。因?yàn)槿N規(guī)格都要有，125為奇數(shù)，剪去若干個(gè)2厘米長(zhǎng)的小段后，剩下的長(zhǎng)度仍是奇數(shù)，所以3厘米、5厘米長(zhǎng)的至少要3段，125=114＋3＋3＋5=2×57＋3×2＋5×1，所以2厘米的剪57段，3厘米的剪2段，5厘米的剪1段，此時(shí)剪成的小段最多，為57＋2＋1=60(段)。小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程(三年級(jí))本教程共30講第2講橫式數(shù)字謎(一)在一個(gè)數(shù)學(xué)式子(橫式或豎式)中擦去部分?jǐn)?shù)字，或用字母、文字來(lái)代替部分?jǐn)?shù)字的不完整的算式或豎式，叫做數(shù)字謎題目。解數(shù)字謎題就是求出這些被擦去的數(shù)或用字母、文字代替的數(shù)的數(shù)值。例如，求算式324+□=528中□所代表的數(shù)。根據(jù)“加數(shù)=和-另一個(gè)加數(shù)”知，□=582-324＝258。又如，求右豎式中字母A，B所代表的數(shù)字。顯然個(gè)位數(shù)相減時(shí)必須借位，所以，由12-B＝5知，B＝12-5＝7；由A-1＝3知，A＝3＋1＝4。解數(shù)字謎問(wèn)題既能增強(qiáng)數(shù)字運(yùn)用能力，又能加深對(duì)運(yùn)算的理解，還是培養(yǎng)和提高分析問(wèn)題能力的有效方法。這一講介紹簡(jiǎn)單的算式(橫式)數(shù)字謎的解法。解橫式數(shù)字謎，首先要熟知下面的運(yùn)算規(guī)則：(1)一個(gè)加數(shù)+另一個(gè)加數(shù)=和；(2)被減數(shù)-減數(shù)=差；(3)被乘數(shù)×乘數(shù)=積；(4)被除數(shù)÷除數(shù)=商。由它們推演還可以得到以下運(yùn)算規(guī)則：由(1)，得和-一個(gè)加數(shù)=另一個(gè)加數(shù)；其次，要熟悉數(shù)字運(yùn)算和拆分。例如，8可用加法拆分為8＝0＋8＝1＋7＝2＋6＝3＋5＝4＋4；24可用乘法拆分為24＝1×24=2×12＝3×8＝4×6(兩個(gè)數(shù)之積)=1×2×12＝2×2×6=…(三個(gè)數(shù)之積)=1×2×2×6＝2×2×2×3=…(四個(gè)數(shù)之積)例1下列算式中，□，○，△，☆，*各代表什么數(shù)？(1)□+5＝13-6；(2)28-○＝15＋7；(3)3×△=54；(4)☆÷3＝87；(5)56÷*＝7。解：(1)由加法運(yùn)算規(guī)則知，□=13-6-5＝2；(2)由減法運(yùn)算規(guī)則知，○＝28-(15＋7)＝6；(3)由乘法運(yùn)算規(guī)則知，△＝54÷3＝18；(4)由除法運(yùn)算規(guī)則知，☆=87×3＝261；(5)由除法運(yùn)算規(guī)則知，*＝56÷7＝8。例2下列算式中，□，○，△，☆各代表什么數(shù)？(1)□+□+□=48；(2)○＋○＋6＝21-○；(3)5×△-18÷6＝12；(4)6×3-45÷☆＝13。解：(1)□表示一個(gè)數(shù)，根據(jù)乘法的意義知，□+□+□=□×3，故□=48÷3＝16。(2)先把左端(○＋○＋6)看成一個(gè)數(shù)，就有(○＋○＋6)＋○＝21，○×3＝21-6，○＝15÷3＝5。(3)把5×△，18÷6分別看成一個(gè)數(shù)，得到5×△=12＋18÷6，5×△=15，△=15÷5＝3。(4)把6×3，45÷☆分別看成一個(gè)數(shù)，得到45÷☆＝6×3-13，45÷☆＝5，☆＝45÷5＝9。例3(1)滿足58＜12×□＜71的整數(shù)□等于幾？(2)180是由哪四個(gè)不同的且大于1的數(shù)字相乘得到的？試把這四個(gè)數(shù)按從小到大的次序填在下式的□里。180=□×□×□×□。(3)若數(shù)□，△滿足□×△=48和□÷△=3，則□，△各等于多少？分析與解：(1)因?yàn)?8÷12＝4……10，71÷12＝5……11，并且□為整數(shù)，所以，只有□=5才滿足原式。(2)拆分180為四個(gè)整數(shù)的乘積有很多種方法，如180＝1×4×5×90＝1×2×3×30＝…但拆分成四個(gè)“大于1”的數(shù)字的乘積，范圍就縮小了，如180＝2×2×5×9＝2×3×5×6＝…若再限制拆分成四個(gè)“不同的”數(shù)字的乘積，范圍又縮小了。按從小到大的次序排列只有下面一種：180＝2×3×5×6。所以填的四個(gè)數(shù)字依次為2，3，5，6。(3)首先，由□÷△=3知，□＞△，因此，在把48拆分為兩數(shù)的乘積時(shí)，有48＝48×1＝24×2＝16×3＝12×4＝8×6，其中，只有48＝12×4中，12÷4=3，因此□=12，△=4。這道題還可以這樣解：由□÷△=3知，□=△×3。把□×△=48中的□換成△×3，就有(△×3)×△＝48，于是得到△×△=48÷3＝16。因?yàn)?6＝4×4，所以△=4。再把□=△×3中的△換成4，就有□=△×3=4×3=12。這是一種“代換”的思想，它在今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中應(yīng)用十分廣泛。下面，我們?cè)俳Y(jié)合例題講一類“填運(yùn)算符號(hào)”問(wèn)題。例4在等號(hào)左端的兩個(gè)數(shù)中間添加上運(yùn)算符號(hào)，使下列各式成立：(1)4444＝24；(2)55555=6。解：(1)因?yàn)?＋4＋4＋4＜24，所以必須填一個(gè)“×”。4×4＝16，剩下的兩個(gè)4只需湊成8，因此，有如下一些填法：4×4＋4＋4＝24；4＋4×4＋4＝24；4＋4＋4×4＝24。(2)因?yàn)?+1=6，等號(hào)左端有五個(gè)5，除一個(gè)5外，另外四個(gè)5湊成1，至少要有一個(gè)“÷”，有如下填法：5÷5+5-5+5＝6；5＋5÷5＋5-5＝6；5＋5×5÷5÷5=6；5＋5÷5×5÷5＝6。由例4看出，填運(yùn)算符號(hào)的問(wèn)題一般會(huì)有多個(gè)解。這些填法都是通過(guò)對(duì)問(wèn)題的綜合觀察、分析和試算得到的，如果只是盲目地“試算”，那么就可能走很多彎路。例5在下式的兩數(shù)中間添上四則運(yùn)算符號(hào)，使等式成立：823＝33。分析與解：首先考察右端“33”，它有四種填法：3+3＝6；3-3＝0；3×3＝9；3÷3=1。再考察左端“823”，因?yàn)橹挥幸粋€(gè)奇數(shù)3，所以要想得到奇數(shù)，3的前面只能填“＋”或“-”，要想得到偶數(shù)，3的前面只能填“×”。經(jīng)試算，只有兩種符合題意的填法：8-2＋3＝3×3；8÷2-3＝3÷3。填運(yùn)算符號(hào)可加深對(duì)四則運(yùn)算的理解和認(rèn)識(shí)，也是培養(yǎng)分析能力的好內(nèi)容。練習(xí)21.在下列各式中，□分別代表什么數(shù)？□+16＝35；47-□=12；□-3＝15；4×□=36；□÷4=15；84÷□=4。2.在下列各式中，□，○，△，☆各代表什么數(shù)？(□+350)÷3=200；(54-○)×4＝0；360-△×7＝10；4×9-☆÷5=1。3.在下列各式中，□，○，△各代表什么數(shù)？150-□-□=□；○×○＝○＋○；△×9＋2×△=22。4.120是由哪四個(gè)不同的一位數(shù)字相乘得到的？試把這四個(gè)數(shù)字按從小到大的次序填在下式的□里：120＝□×□×□×□。5.若數(shù)□，△同時(shí)滿足□×△=36和□-△=5，則□，△各等于多少？6.在兩數(shù)中間添加運(yùn)算符號(hào)，使下列等式成立：(1)55555＝3；(2)1234＝1。7.在下列各式的□內(nèi)填上合適的運(yùn)算符號(hào)，使等式成立：12□4□4=10□3。8.在下列各式的□內(nèi)填上合適的運(yùn)算符號(hào)，使等式成立：123□45□67□89＝100；123□45□67□8□9＝100；123□4□5□67□89＝100；123□4□5□6□7□8□9＝100；12□3□4□5□67□8□9＝100；1□23□4□56□7□8□9＝100；12□3□4□5□6□7□89＝100。答案與提示

練習(xí)21.略。2.□=250，○=54，△=50，☆=175。3.□=50，○=0或2，△=2。4.1×3×5×8或1×4×5×6或2×3×4×5。5.□=9，△=4。6.(1)5-5÷5-5÷5=3；(2)1×2＋3-4=1。7.12÷4＋4=10-3或12＋4÷4=10＋3。8.123-45-67＋89＝100；123＋45－67＋8－9＝100；123＋4－5＋67－89＝100；123－4－5－6－7＋8－9＝100；12＋3－4＋5＋67＋8＋9＝100；1＋23－4＋56＋7＋8＋9=100；12-3-4＋5-6＋7＋89＝100。小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程(三年級(jí))本教程共30講

第3講豎式數(shù)字謎(一)這一講主要講加、減法豎式的數(shù)字謎問(wèn)題。解加、減法數(shù)字謎問(wèn)題的基本功，在于掌握好上一講中介紹的運(yùn)算規(guī)則(1)(2)及其推演的變形規(guī)則，另外還要掌握數(shù)的加、減的“拆分”。關(guān)鍵是通過(guò)綜合觀察、分析，找出解題的“突破口”。題目不同，分析的方法不同，其“突破口”也就不同。這需要通過(guò)不斷的“學(xué)”和“練”，逐步積累知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，總結(jié)提高解題能力。例1在右邊的豎式中，A，B，C，D各代表什么數(shù)字？解：顯然，C=5，D=1(因兩個(gè)數(shù)字之和只能進(jìn)一位)。由于A＋4＋1即A＋5的個(gè)位數(shù)為3，且必進(jìn)一位(因?yàn)?＞3)，所以A＋5=13，從而A＝13-5=8。同理，由7＋B＋1=12，即B＋8＝12，得到B＝12-8＝4。故所求的A=8，B=4，C=5，D=1。例2求下面各豎式中兩個(gè)加數(shù)的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和：分析與解：(1)由于和的個(gè)位數(shù)字是9，兩個(gè)加數(shù)的個(gè)位數(shù)字之和不大于9＋9＝18，所以兩個(gè)加數(shù)的個(gè)位上的兩個(gè)方框里的數(shù)字之和只能是9。(這是“突破口”)再由兩個(gè)加數(shù)的個(gè)位數(shù)之和未進(jìn)位，因而兩個(gè)加數(shù)的十位數(shù)字之和就是14。故這兩個(gè)加數(shù)的四個(gè)數(shù)字之和是9＋14=23。(2)由于和的最高兩位數(shù)是19，而任何兩個(gè)一位數(shù)相加的和都不超過(guò)18，因此，兩個(gè)加數(shù)的個(gè)位數(shù)相加后必進(jìn)一位。(這是“突破口”，與(1)不同)這樣，兩個(gè)加數(shù)的個(gè)位數(shù)字相加之和是15，十位數(shù)字相加之和是18。所求的兩個(gè)加數(shù)的四個(gè)數(shù)字之和是15＋18＝33。注意：(1)(2)兩題雖然題型相同，但兩題的“突破口”不同。(1)是從和的個(gè)位著手分析，(2)是從和的最高兩位著手分析。例3在下面的豎式中，A，B，C，D，E各代表什么數(shù)？分析與解：解減法豎式數(shù)字謎，與解加法豎式數(shù)字謎的分析方法一樣，所不同的是“減法”。首先，從個(gè)位減起(因已知差的個(gè)位是5)。4＜5，要使差的個(gè)位為5，必須退位，于是，由14-D＝5知，D=14-5＝9。(這是“突破口”)再考察十位數(shù)字相減：由B-1-0＜9知，也要在百位上退位，于是有10＋B-1-0＝9，從而B(niǎo)＝0。百位減法中，顯然E=9。千位減法中，由10＋A-1-3＝7知，A＝1。萬(wàn)位減法中，由9-1-C＝0知，C＝8。所以，A＝1，B＝0，C＝8，D＝9，E＝9。例4在下面的豎式中，“車”、“馬”、“炮”各代表一個(gè)不同的數(shù)字。請(qǐng)把這個(gè)文字式寫(xiě)成符合題意的數(shù)字式。分析與解：例3是從個(gè)位著手分析，而這里就只能從首位著手分析。由一個(gè)四位數(shù)減去一個(gè)三位數(shù)的差是三位數(shù)知，“炮”＝1。被減數(shù)與減數(shù)的百位數(shù)相同，其相減又是退位相減，所以，“馬”＝9。至此，我們已得到下式：由上式知，個(gè)位上的運(yùn)算也是退位減法，由11-“車”=9得到“車”＝2。因此，符合題意的數(shù)字式為：例5在右邊的豎式中，“巧，填，式，謎”分別代表不同的數(shù)字，它們各等于多少？解：由(4×謎)的個(gè)位數(shù)是0知，“謎”＝0或5。當(dāng)“謎”＝0時(shí)，(3×式)的個(gè)位數(shù)是0，推知“式”＝0，與“謎”≠“式”矛盾。當(dāng)“謎”＝5時(shí)，個(gè)位向十位進(jìn)2。由(3×式+2)的個(gè)位數(shù)是0知，“式”＝6，且十位要向百位進(jìn)2。由(2×填+2)的個(gè)位數(shù)是0，且不能向千位進(jìn)2知，“填”＝4。最后推知，“巧”＝1。所以“巧”＝1，“填”＝4，“式”=6，“謎”＝5。

練習(xí)31.在下列各豎式的□中填上適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使豎式成立：2.下列各豎式中，□里的數(shù)字被遮蓋住了，求各豎式中被蓋住的各數(shù)字的和：3.在下列各豎式的□中填入合適的數(shù)字，使豎式成立：4.下式中不同的漢字代表1～9中不同的數(shù)字，相同的漢字代表相同的數(shù)字。這個(gè)豎式的和是多少？5.在下列各豎式的□中填入合適的數(shù)字，使豎式成立：答案與提示練習(xí)31.(1)764＋265=1029；(2)981＋959=1940；(3)99＋903＝1002；(4)98＋97＋923＝1118。2.(1)28；(2)75。3.(1)23004-18501＝4503；(2)1056-989＝67；(3)24883-16789=8094；(4)9123-7684=1439。4.987654321。5.提示：先解上層數(shù)謎，再解下層數(shù)謎。小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程(三年級(jí))本教程共30講

第4講豎式數(shù)字謎(二)本講只限于乘數(shù)、除數(shù)是一位數(shù)的乘、除法豎式數(shù)字謎問(wèn)題。掌握好乘、除法的基本運(yùn)算規(guī)則(第2講的公式(3)(4)及推演出的變形式子)是解乘、除法豎式謎的基礎(chǔ)。根據(jù)題目結(jié)構(gòu)形式，通過(guò)綜合觀察、分析，找出“突破口”是解題的關(guān)鍵。例1在左下乘法豎式的□中填入合適的數(shù)字，使豎式成立。分析與解：由于積的個(gè)位數(shù)是5，所以在乘數(shù)和被乘數(shù)的個(gè)位數(shù)中，一個(gè)是5，另一個(gè)是奇數(shù)。因?yàn)槌朔e大于被乘數(shù)的7倍，所以乘數(shù)是大于7的奇數(shù)，即只能是9(這是問(wèn)題的“突破口”)，被乘數(shù)的個(gè)位數(shù)是5。因?yàn)?×9＜70＜8×9，所以，被乘數(shù)的百位數(shù)字只能是7。至此，求出被乘數(shù)是785，乘數(shù)是9(見(jiàn)右上式)。例2在右邊乘法豎式的□里填入合適的數(shù)字，使豎式成立。分析與解：由于乘積的數(shù)字不全，特別是不知道乘積的個(gè)位數(shù)，我們只能從最高位入手分析。乘積的最高兩位數(shù)是2□，被乘數(shù)的最高位是3，由可以確定乘數(shù)的大致范圍，乘數(shù)只可能是6，7，8，9。到底是哪一個(gè)呢？我們只能逐一進(jìn)行試算：(1)若乘數(shù)為6，則積的個(gè)位填2，并向十位進(jìn)4，此時(shí)，乘數(shù)6與被乘數(shù)的十位上的數(shù)字相乘之積的個(gè)位數(shù)只能是5(因4+5=9)。這樣一來(lái)，被乘數(shù)的十位上就無(wú)數(shù)可填了。這說(shuō)明乘數(shù)不能是6。(2)若乘數(shù)為7，則積的個(gè)位填9，并向十位進(jìn)4。與(1)分析相同，為使積的十位是9，被乘數(shù)的十位只能填5，從而積的百位填4。得到符合題意的填法如右式。(3)若乘數(shù)為8，則積的個(gè)位填6，并向十位進(jìn)5。為使積的十位是9，被乘數(shù)的十位只能填3或8。當(dāng)被乘數(shù)的十位填3時(shí)，得到符合題意的填法如右式。當(dāng)被乘數(shù)的十位填8時(shí)，積的最高兩位為3，不合題意。(4)若乘數(shù)為9，則積的個(gè)位填3，并向十位進(jìn)6。為使積的十位是9，被乘數(shù)的十位只能填7。而此時(shí)，積的最高兩位是3，不合題意。綜上知，符合題意的填法有上面兩種。除法豎式數(shù)字謎問(wèn)題的解法與乘法情形類似。例3在左下邊除法豎式的□中填入適當(dāng)?shù)臄?shù)，使豎式成立。分析與解：由48÷8=6即8×6=48知，商的百位填6，且被除數(shù)的千位、百位分別填4，8。又顯然，被除數(shù)的十位填1。由1□=商的個(gè)位×8知，兩位數(shù)1□能被8除盡，只有16÷8=2，推知被除數(shù)的個(gè)位填6，商的個(gè)位填2。填法如右上式。例3是從最高位數(shù)入手分析而得出解的。例4在右邊除法豎式的□中填入合適的數(shù)字。使豎式成立。分析與解：從已知的幾個(gè)數(shù)入手分析。首先，由于余數(shù)是5，推知除數(shù)＞5，且被除數(shù)個(gè)位填5。由于商4時(shí)是除盡了的，所以，被除數(shù)的十位應(yīng)填2，且由于3×4=12，8×4=32，推知，除數(shù)必為3或8。由于已經(jīng)知道除數(shù)＞5，故除數(shù)=8。(這是關(guān)鍵！)從8×4=32知，被除數(shù)的百位應(yīng)填3，且商的百位應(yīng)填0。從除數(shù)為8，第一步除法又出現(xiàn)了4，8×8=64，8×3=24，這說(shuō)明商的千位只能填8或3。試算知，8和3都可以。所以，此題有下面兩種填法。

練習(xí)41.在下列各豎式的□里填上合適的數(shù)：2.在右式中，“我”、“愛(ài)”、“數(shù)”、“學(xué)”分別代表什么數(shù)時(shí)，乘法豎式成立？3.“我”、“們”、“愛(ài)”、“祖”、“國(guó)”各代表一個(gè)不同的數(shù)字，它們各等于多少時(shí)，右邊的乘法豎式成立？4.在下列各除法豎式的□里填上合適的數(shù)，使豎式成立：5.在下式的□里填上合適的數(shù)。答案與提示

練習(xí)41.(1)7865×7＝55055；(2)2379×8=19032或7379×8=59032。2.“我”＝5，“愛(ài)”=1，“數(shù)”=7，“學(xué)”=2。3.“我”、“們”、“愛(ài)”、“祖”、“國(guó)”分別代表8，7，9，1，2。4.(1)5607×7=801；(2)822÷3=274。5.小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程(三年級(jí))本教程共30講

第5講找規(guī)律(一)這一講我們先介紹什么是“數(shù)列”，然后講如何發(fā)現(xiàn)和尋找“數(shù)列”的規(guī)律。按一定次序排列的一列數(shù)就叫數(shù)列。例如，(1)1，2，3，4，5，6，…(2)1，2，4，8，16，32；(3)1，0，0，1，0，0，1，…(4)1，1，2，3，5，8，13。一個(gè)數(shù)列中從左至右的第n個(gè)數(shù)，稱為這個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng)。如，數(shù)列(1)的第3項(xiàng)是3，數(shù)列(2)的第3項(xiàng)是4。一般地，我們將數(shù)列的第n項(xiàng)記作an。數(shù)列中的數(shù)可以是有限多個(gè)，如數(shù)列(2)(4)，也可以是無(wú)限多個(gè)，如數(shù)列(1)(3)。許多數(shù)列中的數(shù)是按一定規(guī)律排列的，我們這一講就是講如何發(fā)現(xiàn)這些規(guī)律。數(shù)列(1)是按照自然數(shù)從小到大的次序排列的，也叫做自然數(shù)數(shù)列，其規(guī)律是：后項(xiàng)=前項(xiàng)+1，或第n項(xiàng)an＝n。數(shù)列(2)的規(guī)律是：后項(xiàng)=前項(xiàng)×2，或第n項(xiàng)數(shù)列(3)的規(guī)律是：“1，0，0”周而復(fù)始地出現(xiàn)。數(shù)列(4)的規(guī)律是：從第三項(xiàng)起，每項(xiàng)等于它前面兩項(xiàng)的和，即a3=1+1=2，a4=1+2=3，a5=2+3＝5，a6=3+5=8，a7=5+8=13。常見(jiàn)的較簡(jiǎn)單的數(shù)列規(guī)律有這樣幾類：第一類是數(shù)列各項(xiàng)只與它的項(xiàng)數(shù)有關(guān)，或只與它的前一項(xiàng)有關(guān)。例如數(shù)列(1)(2)。第二類是前后幾項(xiàng)為一組，以組為單元找關(guān)系才可找到規(guī)律。例如數(shù)列(3)(4)。第三類是數(shù)列本身要與其他數(shù)列對(duì)比才能發(fā)現(xiàn)其規(guī)律。這類情形稍為復(fù)雜些，我們用后面的例3、例4來(lái)作一些說(shuō)明。例1找出下列各數(shù)列的規(guī)律，并按其規(guī)律在()內(nèi)填上合適的數(shù)：(1)4，7，10，13，()，…(2)84，72，60，()，()；(3)2，6，18，()，()，…(4)625，125，25，()，()；(5)1，4，9，16，()，…(6)2，6，12，20，()，()，…解：通過(guò)對(duì)已知的幾個(gè)數(shù)的前后兩項(xiàng)的觀察、分析，可發(fā)現(xiàn)(1)的規(guī)律是：前項(xiàng)+3=后項(xiàng)。所以應(yīng)填16。(2)的規(guī)律是：前項(xiàng)-12=后項(xiàng)。所以應(yīng)填48，36。(3)的規(guī)律是：前項(xiàng)×3=后項(xiàng)。所以應(yīng)填54，162。(4)的規(guī)律是：前項(xiàng)÷5=后項(xiàng)。所以應(yīng)填5，1。(5)的規(guī)律是：數(shù)列各項(xiàng)依次為1=1×1，4=2×2，9=3×3，16=4×4，所以應(yīng)填5×5=25。(6)的規(guī)律是：數(shù)列各項(xiàng)依次為2=1×2，6=2×3，12=3×4，20=4×5，所以，應(yīng)填5×6=30，6×7=42。說(shuō)明：本例中各數(shù)列的每一項(xiàng)都只與它的項(xiàng)數(shù)有關(guān)，因此an可以用n來(lái)表示。各數(shù)列的第n項(xiàng)分別可以表示為(1)an＝3n+1；(2)an＝96-12n；(3)an＝2×3n-1；(4)an＝55-n；(5)an＝n2；(6)an＝n(n+1)。這樣表示的好處在于，如果求第100項(xiàng)等于幾，那么不用一項(xiàng)一項(xiàng)地計(jì)算，直接就可以算出來(lái)，比如數(shù)列(1)的第100項(xiàng)等于3×100+1=301。本例中，數(shù)列(2)(4)只有5項(xiàng)，當(dāng)然沒(méi)有必要計(jì)算大于5的項(xiàng)數(shù)了。例2找出下列各數(shù)列的規(guī)律，并按其規(guī)律在()內(nèi)填上合適的數(shù)：(1)1，2，2，3，3，4，()，()；(2)()，()，10，5，12，6，14，7；(3)3，7，10，17，27，()；(4)1，2，2，4，8，32，()。解：通過(guò)對(duì)各數(shù)列已知的幾個(gè)數(shù)的觀察分析可得其規(guī)律。(1)把數(shù)列每?jī)身?xiàng)分為一組，1，2，2，3，3，4，不難發(fā)現(xiàn)其規(guī)律是：前一組每個(gè)數(shù)加1得到后一組數(shù)，所以應(yīng)填4，5。(2)把后面已知的六個(gè)數(shù)分成三組：10，5，12，6，14，7，每組中兩數(shù)的商都是2，且由5，6，7的次序知，應(yīng)填8，4。(3)這個(gè)數(shù)列的規(guī)律是：前面兩項(xiàng)的和等于后面一項(xiàng)，故應(yīng)填(17+27=)44。(4)這個(gè)數(shù)列的規(guī)律是：前面兩項(xiàng)的乘積等于后面一項(xiàng)，故應(yīng)填(8×32=)256。例3找出下列各數(shù)列的規(guī)律，并按其規(guī)律在()內(nèi)填上合適的數(shù)：(1)18，20，24，30，()；(2)11，12，14，18，26，()；(3)2，5，11，23，47，()，()。解：(1)因20-18=2，24-20=4，30-24=6，說(shuō)明(后項(xiàng)-前項(xiàng))組成一新數(shù)列2，4，6，…其規(guī)律是“依次加2”，因?yàn)?后面是8，所以，a5-a4=a5-30=8，故a5=8+30=38。(2)12-11=1，14-12=2，18-14=4，26-18=8，組成一新數(shù)列1，2，4，8，…按此規(guī)律，8后面為16。因此，a6-a5＝a6-26=16，故a6＝16+26=42。(3)觀察數(shù)列前、后項(xiàng)的關(guān)系，后項(xiàng)=前項(xiàng)×2+1，所以a6=2a5+1＝2×47+1＝95，a7＝2a6+1＝2×95+1=191。例4找出下列各數(shù)列的規(guī)律，并按其規(guī)律在()內(nèi)填上合適的數(shù)：(1)12，15，17，30，22，45，()，()；(2)2，8，5，6，8，4，()，()。解：(1)數(shù)列的第1，3，5，…項(xiàng)組成一個(gè)新數(shù)列12，17，22，…其規(guī)律是“依次加5”，22后面的項(xiàng)就是27；數(shù)列的第2，4，6，…項(xiàng)組成一個(gè)新數(shù)列15，30，45，…其規(guī)律是“依次加15”，45后面的項(xiàng)就是60。故應(yīng)填27，60。(2)如(1)分析，由奇數(shù)項(xiàng)組成的新數(shù)列2，5，8，…中，8后面的數(shù)應(yīng)為11；由偶數(shù)項(xiàng)組成的新數(shù)列8，6，4，…中，4后面的數(shù)應(yīng)為2。故應(yīng)填11，2。

練習(xí)5按其規(guī)律在下列各數(shù)列的()內(nèi)填數(shù)。1.56，49，42，35，()。2.11，15，19，23，()，…3.3，6，12，24，()。4.2，3，5，9，17，()，…5.1，3，4，7，11，()。6.1，3，7，13，21，()。7.3，5，3，10，3，15，()，()。8.8，3，9，4，10，5，()，()。9.2，5，10，17，26，()。10.15，21，18，19，21，17，()，()。11.數(shù)列1，3，5，7，11，13，15，17。(1)如果其中缺少一個(gè)數(shù)，那么這個(gè)數(shù)是幾？應(yīng)補(bǔ)在何處？(2)如果其中多了一個(gè)數(shù)，那么這個(gè)數(shù)是幾？為什么？答案與提示

練習(xí)51.28。2.27。3.48。4.33。提示：“后項(xiàng)-前項(xiàng)”依次為1，2，4，8，16，…5.18。提示：后項(xiàng)等于前兩項(xiàng)之和。6.31。提示：“后項(xiàng)-前項(xiàng)”依次為2，4，6，8，10。7.3，20。8.11，6。9.37。提示：an=n2+1。10.24，15。提示：奇數(shù)項(xiàng)為15，18，21，24；偶數(shù)項(xiàng)為21，19，17，15。11.(1)缺9，在7與11之間；(2)多15，因?yàn)槌?5以外都不是合數(shù)。小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程(三年級(jí))本教程共30講

第6講找規(guī)律(二)這一講主要介紹如何發(fā)現(xiàn)和尋找圖形、數(shù)表的變化規(guī)律。例1觀察下列圖形的變化規(guī)律，并按照這個(gè)規(guī)律將第四個(gè)圖形補(bǔ)充完整。分析與解：觀察前三個(gè)圖，從左至右，黑點(diǎn)數(shù)依次為4，3，2個(gè)，并且每個(gè)圖形依次按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，所以第四個(gè)圖如右圖所示。觀察圖形的變化，主要從各圖形的形狀、方向、數(shù)量、大小及各組成部分的相對(duì)位置入手，從中找出變化規(guī)律。例2在下列各組圖形中尋找規(guī)律，并按此規(guī)律在“？”處填上合適的數(shù)：

解：(1)觀察前兩個(gè)圖形中的數(shù)可知，大圓圈內(nèi)的數(shù)等于三個(gè)小圓圈內(nèi)的數(shù)的乘積的一半，故第三個(gè)圖形中的“？”=5×3×8÷2=60；第四個(gè)圖形中的“？”=(21×2)÷3÷2=7。(2)觀察前兩個(gè)圖形中的已知數(shù)，發(fā)現(xiàn)有10=8+5-3，8=7+4-3，即三角形里面的數(shù)的和減去三角形外面的數(shù)就是中間小圓圈內(nèi)的數(shù)。故第三個(gè)圖形中的“？”=12+1-5=8；第四個(gè)圖形中的“？”=7+1-5=3。例3尋找規(guī)律填數(shù)：解：(1)考察上、下兩數(shù)的差。32-16=16，31-15=16，33-17=16，可知，上面那個(gè)“？”=35-16=19，下面那個(gè)“？”=18+16=34。(2)從左至右，一上一下地看，由1，3，5，？，9，…知，12下面的“？”=7；一下一上看，由6，8，10，12，？，…知，9下面的“？”=14。例4尋找規(guī)律在空格內(nèi)填數(shù)：

解：(1)因?yàn)榍皟蓤D中的三個(gè)數(shù)滿足：256=4×64，72=6×12，所以，第三圖中空格應(yīng)填12×15=180；第四圖中空格應(yīng)填169÷13=13。第五圖中空格應(yīng)填224÷7=32。(2)圖中下面一行的數(shù)都是上一行對(duì)應(yīng)數(shù)的3倍，故43下面應(yīng)填43×3=129；87上面應(yīng)填87÷3=29。例5在下列表格中尋找規(guī)律，并求出“？”：解：(1)觀察每行中兩邊的數(shù)與中間的數(shù)的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)3+8=11，4+2=6，所以，？=5+7=12。(2)觀察每列中三數(shù)的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)1+3×2=7，7+2×2=11，所以，？=4+5×2=14。例6尋找規(guī)律填數(shù)：(1)(2)解：(1)觀察其規(guī)律知(2)觀察其規(guī)律知：觀察比較圖形、圖表、數(shù)列的變化，并能從圖形、數(shù)量間的關(guān)系中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，這種能力對(duì)于同學(xué)們今后的學(xué)習(xí)將大有益處。

練習(xí)6尋找規(guī)律填數(shù)：6.下圖中第50個(gè)圖形是△還是○？○△○○○△○○○△○…答案與提示練習(xí)61.5。提示：中間數(shù)=兩腰數(shù)之和÷底邊數(shù)。2.45；1。提示：中間數(shù)=周圍三數(shù)之和×3。3.(1)13。提示：中間數(shù)等于兩邊數(shù)之和。(2)20。提示：每行的三個(gè)數(shù)都成等差數(shù)列。4.橫行依次為60，65，70，75，325；豎行依次為40，65，90，115，325。5.14。提示：(23＋5)÷2=14。6.△。7.714285；857142。8.8888886；9876543×9。9.36。提示：等于加式中心數(shù)的平方。小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程(三年級(jí))本教程共30講

第7講加減法應(yīng)用題用數(shù)學(xué)方法解決人們生活和工作中的實(shí)際問(wèn)題就產(chǎn)生了通常所說(shuō)的“應(yīng)用題”。應(yīng)用題由已知的“條件”和未知的“問(wèn)題”兩部分構(gòu)成，而且給出的已知條件應(yīng)能保證求出未知的問(wèn)題。這一講主要介紹利用加、減法解答的簡(jiǎn)單應(yīng)用題。例1小玲家養(yǎng)了46只鴨子，24只雞，養(yǎng)的雞和鵝的總只數(shù)比養(yǎng)的鴨多5只。小玲家養(yǎng)了多少只鵝？解：將已知條件表示為下圖：表示為算式是：24+？=46+5。由此可求得養(yǎng)鵝(46+5)-24=27(只)。答：養(yǎng)鵝27只。若例1中雞和鵝的總數(shù)比鴨少5只(其它不變)，則已知條件可表示為下圖，表示為算式是：24+？+5=46。由此可求得養(yǎng)鵝46-5-24=17(只)。例2一個(gè)筐里裝著52個(gè)蘋(píng)果，另一個(gè)筐里裝著一些梨。如果從梨筐里取走18個(gè)梨，那么梨就比蘋(píng)果少12個(gè)。原來(lái)梨筐里有多少個(gè)梨？分析：根據(jù)已知條件，將各種數(shù)量關(guān)系表示為下圖。有幾種思考方法：(1)根據(jù)取走18個(gè)梨后，梨比蘋(píng)果少12個(gè)，先求出梨筐里現(xiàn)有梨52-12=40(個(gè))，再求出原有梨(52-12)+18=58(個(gè))。(2)根據(jù)取走18個(gè)梨后梨比蘋(píng)果少12個(gè)，我們?cè)O(shè)想“少取12個(gè)”梨，則現(xiàn)有的梨和蘋(píng)果一樣多，都是52個(gè)。這樣就可先求出原有梨比蘋(píng)果多18-12＝6(個(gè))，再求出原有梨52+(18-12)=58(個(gè))。(3)根據(jù)取走18個(gè)梨后梨比蘋(píng)果少12個(gè)，我們?cè)O(shè)想不取走梨，只在蘋(píng)果筐里加入18個(gè)蘋(píng)果，這時(shí)有蘋(píng)果52+18=70(個(gè))。這樣一來(lái)，現(xiàn)有蘋(píng)果就比原來(lái)的梨多了12個(gè)(見(jiàn)下圖)。由此可求出原有梨(52+18)-12=58(個(gè))。由上面三種不同角度的分析，得到如下三種解法。解法1：(52-12)+18=58(個(gè))。解法2：52+(18-12)=58(個(gè))。解法3：(52+18)-12=58(個(gè))。答：原來(lái)梨筐中有58個(gè)梨。例3某校三年級(jí)一班為歡迎“手拉手”小朋友們的到來(lái)，買了若干糖果。已知水果糖比小白兔軟糖多15塊，巧克力糖比水果糖多28塊。又知巧克力糖的塊數(shù)恰好是小白兔軟糖塊數(shù)的2倍。三年級(jí)一班共買了多少塊糖果？分析與解：只要求出某一種糖的塊數(shù)，就可以根據(jù)已知條件得到其它兩種糖的塊數(shù)，總共買多少就可求出。先求出哪一種糖的塊數(shù)最簡(jiǎn)便呢？我們先把已知條件表示為下圖。由上圖可求出，小白兔軟糖塊數(shù)=15+28=43(塊)，水果糖塊數(shù)=43+15=58(塊)，巧克力糖塊數(shù)=43×2=86(塊)。糖果總數(shù)=43+58+86=187(塊)。答:共買了187塊糖果。例4一口枯井深230厘米，一只蝸牛要從井底爬到井口處。它每天白天向上爬110厘米，而夜晚卻要向下滑70厘米。這只蝸牛哪一個(gè)白天才能爬出井口？分析與解：因蝸牛最后一個(gè)白天要向上爬110厘米，井深230厘米減去這110厘米后(等于120厘米)，就是蝸牛前幾天一共要向上爬的路程。因?yàn)槲伵０滋煜蛏吓?10厘米，而夜晚又向下滑70厘米，所以它每天向上爬110-70=40(厘米)。由于120÷40=3，所以，120厘米是蝸牛前3天一共爬的。故第4個(gè)白天蝸牛才能爬到井口。若將例4中枯井深改為240厘米，其它數(shù)字不變，這只蝸牛在哪個(gè)白天才能爬出井口？(第5個(gè)白天)

練習(xí)71.甲、乙、丙三人原各有桃子若干個(gè)。甲給乙2個(gè)，乙給丙3個(gè)，丙又給甲5個(gè)后，三人都有桃子9個(gè)。甲、乙、丙三人原來(lái)各有桃子多少個(gè)？2.三座橋，第一座長(zhǎng)287米，第二座比第一座長(zhǎng)85米，第三座比第一座與第二座的總長(zhǎng)短142米。第三座橋長(zhǎng)多少米？3.(1)幼兒園小班有巧克力糖40塊，還有一些奶糖。分給小朋友奶糖24塊后，奶糖就比巧克力糖少了10塊。原有奶糖多少塊？(2)幼兒園中班有巧克力糖48塊，還有一些奶糖。分給小朋友奶糖26塊后，奶糖就只比巧克力糖多18塊。原有奶糖多少塊？4.一桶柴油連桶稱重120千克，用去一半柴油后，連桶稱還重65千克。這桶里有多少千克柴油？空桶重多少？5.一只蝸牛從一個(gè)枯水井底面向井口處爬，白天向上爬110厘米，而夜晚向下滑40厘米，第5天白天結(jié)束時(shí)，蝸牛到達(dá)井口處。這個(gè)枯水井有多深？若第5天白天爬到井口處，這口井至少有多少厘米深？(厘米以下的長(zhǎng)度不計(jì))6.在一條直線上，A點(diǎn)在B點(diǎn)的左邊20毫米處，C點(diǎn)在D點(diǎn)左邊50毫米處，D點(diǎn)在B點(diǎn)右邊40毫米處。寫(xiě)出這四點(diǎn)從左到右的次序。7.(1)五個(gè)不同的數(shù)的和為172，這些數(shù)中最小的數(shù)為32，最大的數(shù)可以是多少？(2)六個(gè)不同的數(shù)的和為356，這些數(shù)中，最大的是68，最小的數(shù)可以是多少？答案與提示練習(xí)71.甲6個(gè)，乙10個(gè)，丙11個(gè)。2.517米。解：287＋(287＋85)-142=517(米)。3.(1)54塊；(2)92塊。解：(1)40-10＋24=54(塊)；(2)48＋18＋26=92(塊)。4.110千克，10千克。解：柴油=(12－65)×2＝110(千克)，空桶=120-110=10(千克)。5.390厘米；321厘米。解：(110-40)×4＋110=390(厘米)；(110-40)×3＋110＋1=321(厘米)。6.A，C，B，D。解：如右圖所示。7.(1)38；(2)26。解：(1)172-(32＋33＋34＋35)＝38；(2)356-(68＋67＋66＋65＋64)＝26。小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程(三年級(jí))本教程共30講第8講乘除法應(yīng)用題本講向同學(xué)們介紹如何利用乘、除法解答簡(jiǎn)單應(yīng)用題。用乘、除法解應(yīng)用題，首先要明確下面幾個(gè)關(guān)系，然后根據(jù)應(yīng)用題中的已知條件，利用這些數(shù)量關(guān)系求解。被乘數(shù)×乘數(shù)=乘積，相同數(shù)×個(gè)數(shù)=總數(shù)，小數(shù)×倍數(shù)=大數(shù)，被除數(shù)÷除數(shù)=商，被除數(shù)÷商=除數(shù)，被除數(shù)÷除數(shù)=(不完全)商……余數(shù)。例1學(xué)校開(kāi)運(yùn)動(dòng)會(huì)，三年級(jí)有86人報(bào)名參加單項(xiàng)比賽，其他年級(jí)參加單項(xiàng)比賽的人數(shù)是三年級(jí)的4倍少5人。全校參加單項(xiàng)比賽的人數(shù)有多少人？分析：先求出其他年級(jí)參賽人數(shù)，86×4-5＝339(人)，再加上三年級(jí)參賽人數(shù)，就可求出全校參賽人數(shù)。解：(86×4-5)＋86＝425(人)。答：全校參賽425人。本題中全校參賽人數(shù)也可以看成是三年級(jí)參賽人數(shù)的5倍少5人，所以可列式為86×5-5＝425(人)。例2有5只猴子，其中2只各摘了7個(gè)桃子，另外3只各摘了12個(gè)桃子。把所有摘下的桃子平均分給這5只猴子，每只猴子能分到多少個(gè)桃子？解：共摘桃子7×2＋12×3＝50(個(gè))，平均每只猴可分50÷5＝10(個(gè))。綜合算式(7×2＋12×3)÷5＝10(個(gè))。答：每只猴子能分到10個(gè)桃。例3小白兔上山采摘了許多蘑菇。它把這些蘑菇先平均分成4堆，3堆送給它的小朋友，自己留一堆。后來(lái)它又把留下的這一堆平均分成3堆，兩堆送給別的小白兔，一堆自己吃。自己吃的這一堆有5個(gè)。它共采摘了多少個(gè)蘑菇？分析：我們從后向前分析。當(dāng)分成3堆時(shí)，共有5×3＝15(個(gè))，這是分成4堆時(shí)每一堆的個(gè)數(shù)。所以，分成4堆時(shí)，共有15×4＝60(個(gè))。解：(5×3)×4＝15×4=60(個(gè))。答：共摘了60個(gè)蘑菇。例4小雨到奶奶家。如果來(lái)回都乘車，那么路上要用20分鐘。如果去時(shí)乘車，回來(lái)時(shí)步行，那么一共要用50分鐘。小雨步行回來(lái)用多少時(shí)間？分析：來(lái)回都乘車用20分，所以乘車單程所用的時(shí)間是20÷2=10(分)。去時(shí)乘車回來(lái)時(shí)步行共用50分，減掉去時(shí)乘車用的10分，回來(lái)時(shí)步行用了50-10＝40(分)。解：50-20÷2=40(分)。答：步行回來(lái)用40分鐘。例5師徒二人加工同樣的機(jī)器零件。師傅加工的個(gè)數(shù)是徒弟的4倍，其個(gè)數(shù)比徒弟多54個(gè)。師徒二人這天各加工了多少個(gè)零件？分析：如下圖所示，把徒弟加工的個(gè)數(shù)看成“1份”，師傅加工的就是“4份”，因而師傅比徒弟多(4-1)份。由上圖可求得1份為54÷(4-1)=18(個(gè))，由此可求出師徒二人各加工了多少個(gè)零件。解：徒弟加工了54÷(4-1)=18(個(gè))，師傅加工了18×4＝72(個(gè))。答：徒弟加工了18個(gè)，師傅加工了72個(gè)。解這類題的關(guān)鍵是分析出“54”是如何多出來(lái)的，即弄明白用“倍數(shù)-1”來(lái)除它，所得的數(shù)代表什么。例6工廠裝配四輪推車，1個(gè)車身要配4個(gè)車輪?，F(xiàn)在有40個(gè)車身，70個(gè)車輪。問(wèn)：裝配出多少輛四輪推車后，剩下的車身和車輪的數(shù)量相等？分析：1個(gè)車身配4個(gè)車輪，即每裝配出一輛四輪推車，用的車輪數(shù)比車身數(shù)多4-1=3(個(gè))?，F(xiàn)在車輪比車身多70-40＝30(個(gè))，要把這30個(gè)車輪“消耗掉”，需裝配30÷3＝10(輛)四輪車。解：(70-40)÷(4-1)＝10(輛)。答：需裝配出10輛四輪推車。

練習(xí)81.某項(xiàng)工作3人做需要3個(gè)星期又3天，中間無(wú)休息日，那么，1人單獨(dú)做這項(xiàng)工作需要多少天？2.賀林家養(yǎng)雞的只數(shù)是鵝的只數(shù)的6倍，鴨比鵝多8只，鴨有15只。賀林家養(yǎng)了多少只雞？3.小敏買了一本書(shū)和一包糖。買一本書(shū)用了3元6角，買糖用的錢數(shù)是買書(shū)所用錢數(shù)的5倍。她帶去的50元錢還剩多少？4.小峰去老師家看望老師。如果往返都騎自行車，那么在路上要用1時(shí)20分。如果去時(shí)騎自行車，回來(lái)時(shí)步行，那么一共要用2時(shí)30分。小峰步行回來(lái)用多少時(shí)間？5.4元錢能買西瓜8千克，10元錢能買多少西瓜？6.小蘭有24本書(shū)，小玲有18本書(shū)。小蘭要給小玲幾本書(shū)，兩人的書(shū)才一樣多？7.小紅與小光買拼音本。小紅買了12本，小光買了8本。小紅比小光多用2元4角錢。每本多少錢？8.甲、乙兩輛汽車分別從同一車站出發(fā)，沿相反方向開(kāi)去，3時(shí)共行360千米。甲的速度是乙的速度的2倍。甲、乙的速度各是多少？9.甲、乙兩個(gè)糧庫(kù)共存糧150噸。甲庫(kù)運(yùn)出40噸，乙?guī)爝\(yùn)入10噸，這時(shí)甲庫(kù)存糧是乙?guī)齑婕Z的2倍。甲、乙糧庫(kù)原來(lái)存糧各多少？答案與提示練習(xí)81.72天。解：3×(7×3＋3)=3×24＝72(天)。2.42只。解：(15-8)×6＝42(只)。3.28元4角。解：500－36－36×5＝284(角)＝28元4角，或500－36×(5＋1)＝284(角)＝28元4角。4.1時(shí)50分。解：(60×2＋30)－(60＋20)÷2＝110(分)＝1時(shí)50分。5.20千克。解：(8÷4)×10=20(千克)。6.3本。解：(24-18)÷2=3(本)。7.6角。解：24÷(12-8)=6(角)。8.甲80千米/時(shí)，乙40千米/時(shí)。解：乙360÷3÷(2＋1)=40(千米/時(shí))，甲40×2=80(千米/時(shí))。9.甲120噸，乙30噸。解：乙?guī)煸?150-40＋10)÷(2＋1)-10＝30(噸)，甲庫(kù)原有150-30=120(噸)。小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程(三年級(jí))本教程共30講第9講平均數(shù)把一個(gè)(總)數(shù)平均分成幾個(gè)相等的數(shù)，相等的數(shù)的數(shù)值就叫做這個(gè)(總)數(shù)的平均數(shù)。例如，24平均分成四個(gè)數(shù)：6，6，6，6，數(shù)6就叫做24分成四份的平均數(shù)。又如，24平均分成六個(gè)數(shù)：4，4，4，4，4，4，數(shù)4就叫做24分成六份的平均數(shù)。由此可見(jiàn)，平均數(shù)是相對(duì)于“總數(shù)”和分成的“份數(shù)”而言的。知道了被均分的“總數(shù)”和均分的“份數(shù)”，就可以求出平均數(shù)：總數(shù)÷份數(shù)=平均數(shù)?！捌骄鶖?shù)”這個(gè)數(shù)學(xué)概念在我們的日常生活和工作中經(jīng)常用到。例如，某次考試全班同學(xué)的“平均成績(jī)”，幾件貨物的“平均重量”，某輛汽車行駛某段路程的“平均速度”等等，都是我們經(jīng)常碰到的求平均數(shù)的問(wèn)題。根據(jù)求平均數(shù)的一般公式可以得到它們的計(jì)算方法：全班同學(xué)的總成績(jī)÷全班同學(xué)人數(shù)=平均成績(jī)，幾件貨物的總重量÷貨物件數(shù)=平均重量，一輛汽車行駛的路程÷所用的時(shí)間=平均速度。我們?cè)谏弦恢v的例2中，已經(jīng)接觸到求平均數(shù)的應(yīng)用題，下面再舉一些例子來(lái)說(shuō)明有關(guān)平均數(shù)應(yīng)用問(wèn)題的解法。例1一小組六個(gè)同學(xué)在某次數(shù)學(xué)考試中，分別為98分、87分、93分、86分、88分、94分。他們的平均成績(jī)是多少？解：總成績(jī)=98＋87＋93＋86＋88＋94＝546(分)。這個(gè)小組有6個(gè)同學(xué)，平均成績(jī)是546÷6＝91(分)。答：平均成績(jī)是91分。例2把40千克蘋(píng)果和80千克梨裝在6個(gè)筐內(nèi)(可以混裝)，使每個(gè)筐裝的重量一樣。每筐應(yīng)裝多少千克？解：蘋(píng)果和梨的總重量為40＋80＝120(千克)。因要裝成6筐，所以，每筐平均應(yīng)裝120÷6＝20(千克)。答：每筐應(yīng)裝20千克。例3小明家先后買了兩批小豬，養(yǎng)到今年10月。第一批的3頭每頭重66千克，第二批的5頭每頭重42千克。小明家養(yǎng)的豬平均多重？解：兩批豬的總重量為66×3＋42×5＝408(千克)。兩批豬的頭數(shù)為3＋5＝8(頭)，故平均每頭豬重408÷8＝51(千克)。答：平均每頭豬重51千克。注意，在上例中不能這樣來(lái)求每頭豬的平均重量：(66＋42)÷2＝54(千克)。上式求出的是兩批豬的“平均重量的平均數(shù)”，而不是(3＋5＝)8頭豬的平均重量。這是剛接觸平均數(shù)的同學(xué)最容易犯的錯(cuò)誤！例4一個(gè)學(xué)生為了培養(yǎng)自己的數(shù)學(xué)解題能力，除了認(rèn)真讀一些書(shū)外，還規(guī)定自己每周(一周為7天)平均每天做4道數(shù)學(xué)競(jìng)賽訓(xùn)練題。星期一至星期三每天做3道，星期四不做，星期五、六兩天共做了13道。那么，星期日要做幾道題才能達(dá)到自己規(guī)定的要求？分析：要先求出每周規(guī)定做的題目總數(shù)，然后求出星期一至星期六已做的題目數(shù)。兩者相減就是星期日要完成的題目數(shù)。每周要完成的題目總數(shù)是4×7=28(道)。星期一至星期六已做題目3×3＋13＝22(道)，所以，星期日要完成28-22＝6(道)。解：4×7-(3×3＋13)＝6(道)。答：星期日要做6道題。例5三年級(jí)二班共有42名同學(xué)，全班平均身高為132厘米，其中女生有18人，平均身高為136厘米。問(wèn)：男生平均身高是多少？解：全班身高的總數(shù)為132×42＝5544(厘米)，女生身高總數(shù)為136×18＝2448(厘米)，男生有42-18＝24(人)，身高總數(shù)為5544-2448＝3096(厘米)，男生平均身高為3096÷24＝129(厘米)。綜合列式：(132×42-136×18)÷(42-18)＝129(厘米)。答：男生平均身高為129厘米。例6小敏期末考試，數(shù)學(xué)92分，語(yǔ)文90分，英語(yǔ)成績(jī)比這三門的平均成績(jī)高4分。問(wèn)：英語(yǔ)得了多少分？分析：英語(yǔ)比平均成績(jī)高的這4分，是“補(bǔ)”給了數(shù)學(xué)和語(yǔ)文，所以三門功課的平均成績(jī)?yōu)?92＋90＋4)÷2＝93(分)，由此可求出英語(yǔ)成績(jī)。解：(92＋92＋4)÷2＋4＝97(分)。答：英語(yǔ)得了97分。

練習(xí)91.一班有40個(gè)學(xué)生，二班有42個(gè)學(xué)生，三班有45個(gè)學(xué)生。開(kāi)學(xué)后又轉(zhuǎn)學(xué)來(lái)了11個(gè)學(xué)生。怎樣分才能使每班學(xué)生人數(shù)相等？2.小崗計(jì)劃4天做15道數(shù)學(xué)題，結(jié)果多做了9道。平均每天做了多少道？3.一小組同學(xué)體檢量身高時(shí)發(fā)現(xiàn)其中2人的身高是123厘米，另外4人的身高均為132厘米。這個(gè)小組同學(xué)的平均身高是多少？4.小梅做跳繩練習(xí)，第一次跳了67下，第二次跳了76下。她要想三次平均成績(jī)達(dá)到80下，第三次至少要跳多少下？5.一農(nóng)機(jī)站有960千克的柴油。用了6天，還剩240千克。照此用法，剩下的柴油還可用幾天？6.小浩為培養(yǎng)自己的閱讀能力，自己規(guī)定這一個(gè)月(30天)要讀完共288頁(yè)的彩圖世界童話名著《伊索寓言》。頭9天平均每天讀了8頁(yè)，第二個(gè)9天平均每天讀了10頁(yè)，第三個(gè)9天平均每天讀了11頁(yè)。最后三天平均每天需要讀幾頁(yè)才能達(dá)到自己規(guī)定的要求？7.五個(gè)同學(xué)期末考試的數(shù)學(xué)成績(jī)平均94分，而其中有三個(gè)同學(xué)的平均成績(jī)?yōu)?2分，另兩個(gè)同學(xué)的平均成績(jī)是多少？8.小亮學(xué)游泳，第一次游了25米，第二次游的距離比兩次游的平均距離多8米。小亮第二次游了多少米？9.籃球隊(duì)中四名隊(duì)員的平均身高是182厘米，另一名隊(duì)員的身高比這五隊(duì)員的平均身高矮8厘米，這名隊(duì)員的身高是多少？答案與提示

練習(xí)91.一、二、三班分別轉(zhuǎn)入6，4，1人。提示：每班應(yīng)有(40＋42＋45＋11)÷3＝46(人)。2.6道。解：(15＋9)÷4=6(道)。3.129厘米。解：(123×2＋132×4)÷6=129(厘米)。4.97下。解：80×3－(67＋76)＝97(下)。5.2天。解：240÷［(960—240)÷6］＝2(天)。6.9頁(yè)。解：［288－(8＋10＋11)×9］÷3＝9(頁(yè))。7.97分。解：(94×5－92×3)÷2＝97(分)。8.41米。解：25＋8×2＝41(米)。9.172厘米。解：這名隊(duì)員比平均身高矮的這8厘米，是由另四名隊(duì)員給“補(bǔ)上”的，所以平均身高為182－8÷4＝180(厘米)，這名隊(duì)員身高180－8＝172(厘米)。小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程(三年級(jí))本教程共30講第10講植樹(shù)問(wèn)題綠化工程是造福子孫后代的大事。確定在一定條件下栽樹(shù)、種花的棵數(shù)是最簡(jiǎn)單、最基本的“植樹(shù)問(wèn)題”。還有許多應(yīng)用題可以化為“植樹(shù)問(wèn)題”來(lái)解，或借助解“植樹(shù)問(wèn)題”的思考方法來(lái)解。先介紹四類最簡(jiǎn)單、最基本的植樹(shù)問(wèn)題。為使其更直觀，我們用圖示法來(lái)說(shuō)明。樹(shù)用點(diǎn)來(lái)表示，植樹(shù)的沿線用線來(lái)表示，這樣就把植樹(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一條非封閉或封閉的線上的“點(diǎn)數(shù)”與相鄰兩點(diǎn)間的線的段數(shù)之間的關(guān)系問(wèn)題。顯然，只有下面四種情形：(1)非封閉線的兩端都有“點(diǎn)”時(shí)，“點(diǎn)數(shù)”＝“段數(shù)”＋1。(2)非封閉線只有一端有“點(diǎn)”時(shí)，“點(diǎn)數(shù)”=“段數(shù)”。(3)非封閉線的兩端都沒(méi)有“點(diǎn)”時(shí)，“點(diǎn)數(shù)”＝“段數(shù)”-1。(4)封閉線上，“點(diǎn)數(shù)”=“段數(shù)”。最簡(jiǎn)單、最基本的植樹(shù)問(wèn)題只有這四類情形。例如，一條河堤長(zhǎng)420米，從頭到尾每隔3米栽一棵樹(shù)，要栽多少棵樹(shù)？這是第(1)種情形，所以要栽樹(shù)420÷3＋1＝141(棵)。又如，肖林家門口到公路邊有一條小路，長(zhǎng)40米。肖林要在小路一旁每隔2米栽一棵樹(shù)，一共要栽多少棵樹(shù)？由于門的一端不能栽樹(shù)，公路邊要栽樹(shù)，所以，屬于第(2)種情形，要栽樹(shù)40÷2＝20(棵)。再如，兩座樓房之間相距30米，每隔2米栽一棵樹(shù)，一直行能栽多少棵樹(shù)？因緊挨樓房的墻根不能栽樹(shù)，所以，屬于第(3)種情形，能栽樹(shù)30÷2-1＝14(棵)。再例如，一個(gè)圓形水池的圍臺(tái)圈長(zhǎng)60米。如果在此臺(tái)圈上每隔3米放一盆花，那么一共能放多少盆花？這屬于第(4)種情形，共能放花60÷3＝20(盆)。許多應(yīng)用題都可以借助或歸結(jié)為上述植樹(shù)問(wèn)題求解。例1在一段路邊每隔50米埋設(shè)一根路燈桿，包括這段路兩端埋設(shè)的路燈桿，共埋設(shè)了10根。這段路長(zhǎng)多少米？解：這是第(1)種情形，所以，“段數(shù)”＝10－1＝9。這段路長(zhǎng)為50×(10-1)＝450(米)。答：這段路長(zhǎng)450米。例2小明要到高層建筑的11層，他走到5層用了100秒，照此速度計(jì)算，他還需走多少秒？分析：因?yàn)?層不用走樓梯，走到5層走了4段樓梯，由此可求出走每段樓梯用100÷(5－1)＝25(秒)。走到11層要走10段樓梯，還要走6段樓梯，所以還需25×6＝150(秒)。解：［100÷(5-1)］×(11-5)＝150(秒)。答：還需150秒。例3一次檢閱，接受檢閱的一列彩車車隊(duì)共30輛，每輛車長(zhǎng)4米，前后每輛車相隔5米。這列車隊(duì)共排列了多長(zhǎng)？如果車隊(duì)每秒行駛2米，那么這列車隊(duì)要通過(guò)535米長(zhǎng)的檢閱場(chǎng)地，需要多少時(shí)間？解：車隊(duì)間隔共有30-1＝29(個(gè))，每個(gè)間隔5米，所以，間隔的總長(zhǎng)為(30-1)×5＝145(米)，而車身的總長(zhǎng)為30×4＝120(米)，故這列車隊(duì)的總長(zhǎng)為(30-1)×5+30×4＝265(米)。由于車隊(duì)要行265＋535＝800(米)，且每秒行2米，所以，車隊(duì)通過(guò)檢閱場(chǎng)地需要(265＋535)÷2＝400(秒)＝6分40秒。答：這列車隊(duì)共長(zhǎng)265米，通過(guò)檢閱場(chǎng)地需要6分40秒。例4下圖是五個(gè)大小相同的鐵環(huán)連在一起的圖形。它的長(zhǎng)度是多少？十個(gè)這樣的鐵環(huán)連在一起有多長(zhǎng)？解：如上圖所示。關(guān)鍵是求出重疊的“環(huán)扣”數(shù)(每個(gè)長(zhǎng)6毫米)。根據(jù)植樹(shù)問(wèn)題的第(3)種情形知，五個(gè)連在一起的“環(huán)扣”數(shù)為5-1＝4(個(gè))，所以重疊部分的長(zhǎng)為6×(5-1)＝24(毫米)，又4厘米=40毫米，所以五個(gè)鐵環(huán)連在一起長(zhǎng)40×5-6×(5－1)＝176(毫米)。同理，十個(gè)鐵環(huán)連在一起的長(zhǎng)度為40×10-6×(10-1)=346(毫米)。答：五個(gè)鐵環(huán)連在一起的長(zhǎng)度為176毫米。十個(gè)鐵環(huán)連在一起的長(zhǎng)度為346毫米。例5父子倆一起攀登一個(gè)有300個(gè)臺(tái)階的山坡，父親每步上3個(gè)臺(tái)階，兒子每步上2個(gè)臺(tái)階。從起點(diǎn)處開(kāi)始，父子倆走完這段路共踏了多少個(gè)臺(tái)階？(重復(fù)踏的臺(tái)階只算一個(gè))。解：因?yàn)閮啥说呐_(tái)階只有頂?shù)呐_(tái)階被踏過(guò)，根據(jù)已知條件，兒子踏過(guò)的臺(tái)階數(shù)為300÷2＝150(個(gè))，父親踏過(guò)的臺(tái)階數(shù)為300÷3＝100(個(gè))。由于2×3=6，所以父子倆每6個(gè)臺(tái)階要共同踏一個(gè)臺(tái)階，共重復(fù)踏了300÷6＝50(個(gè))。所以父子倆共踏了臺(tái)階150＋100-50＝200(個(gè))。答：父子倆共踏了200個(gè)臺(tái)階。

練習(xí)101.學(xué)校有一條長(zhǎng)60米的走道，計(jì)劃在道路一旁栽樹(shù)。每隔3米栽一棵。(1)如果兩端都各栽一棵樹(shù)，那么共需多少棵樹(shù)苗？(2)如果兩端都不栽樹(shù)，那么共需多少棵樹(shù)苗？(3)如果只有一端栽樹(shù)，那么共需多少棵樹(shù)苗？2.一個(gè)長(zhǎng)100米，寬20米的長(zhǎng)方形游泳池，在離池邊3米的外圍圈(仍為長(zhǎng)方形)上每隔2米種一棵樹(shù)。共種了多少棵樹(shù)？3.一根90厘米長(zhǎng)的鋼條，要鋸成9厘米長(zhǎng)的小段，一共要鋸幾次？4.測(cè)量人員測(cè)量一條路的長(zhǎng)度。先立了一個(gè)標(biāo)桿，然后每隔40米立一根標(biāo)桿。當(dāng)立桿10根時(shí)，第1根與第10根相距多少米？5.學(xué)校舉行運(yùn)動(dòng)會(huì)。參加入場(chǎng)式的儀仗隊(duì)共180人，每6人一行，前后兩行間隔120厘米。這個(gè)儀仗隊(duì)共排了多長(zhǎng)？6.在一條長(zhǎng)1200米的河堤邊等距離植樹(shù)(兩端都要植樹(shù))。已挖好每隔6米植一棵樹(shù)的坑，后要改成每隔4米植一棵樹(shù)。還要挖多少個(gè)坑？需要填上多少個(gè)坑？7.一個(gè)車隊(duì)以5米/秒的速度緩緩地通過(guò)一座210米長(zhǎng)的大橋，共用100秒。已知每輛車長(zhǎng)5米，兩車之間相隔10米，那么這個(gè)車隊(duì)共有多少輛車？答案與提示練習(xí)101.(1)21棵；(2)19棵；(3)20棵。2.132棵。解：(100＋3×2)×2＋(20＋3×2)×2＝264(米)，264÷2＝132(棵)。3.9次。4.360米。5.34米80厘米。解：180÷6=30(行)，120×(30-1)=3480厘米)。6.200個(gè)；100個(gè)。解：原有坑1200÷6＋1=201(個(gè))，現(xiàn)有坑1200÷4＋1=301(個(gè))，其中重復(fù)而不需要新挖的坑有1200÷12＋1=101(個(gè))，需要新挖的坑有301－101=200(個(gè))，需要填上的坑有201-101=100(個(gè))。7.20輛。解：車隊(duì)長(zhǎng)5×100-210=290(米)，共有車(290-5)÷(5＋10)＋1=20(輛)。小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程(三年級(jí))本教程共30講

第11講巧數(shù)圖形數(shù)出某種圖形的個(gè)數(shù)是一類有趣的圖形問(wèn)題。由于圖形千變?nèi)f化，錯(cuò)綜復(fù)雜，所以要想準(zhǔn)確地?cái)?shù)出其中包含的某種圖形的個(gè)數(shù)，還真需要?jiǎng)狱c(diǎn)腦筋。要想有條理、不重復(fù)、不遺漏地?cái)?shù)出所要圖形的個(gè)數(shù)，最常用的方法就是分類數(shù)。例1數(shù)出下圖中共有多少條線段。分析與解：我們可以按照線段的左端點(diǎn)的位置分為A，B，C三類。如下圖所示，以A為左端點(diǎn)的線段有3條，以B為左端點(diǎn)的線段有2條，以C為左端點(diǎn)的線段有1條。所以共有3＋2＋1＝6(條)。我們也可以按照一條線段是由幾條小線段構(gòu)成的來(lái)分類。如下圖所示，AB，BC，CD是最基本的小線段，由一條線段構(gòu)成的線段有3條，由兩條小線段構(gòu)成的線段有2條，由三條小線段構(gòu)成的線段有1條。所以，共有3＋2＋1＝6(條)。由例1看出，數(shù)圖形的分類方法可以不同，關(guān)鍵是分類要科學(xué)，所分的類型要包含所有的情況，并且相互不重疊，這樣才能做到不重復(fù)、不遺漏。例2下列各圖形中，三角形的個(gè)數(shù)各是多少？分析與解：因?yàn)榈走吷系娜魏我粭l線段都對(duì)應(yīng)一個(gè)三角形(以頂點(diǎn)及這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形)，所以各圖中最大的三角形的底邊所包含的線段的條數(shù)就是三角形的總個(gè)數(shù)。由前面數(shù)線段的方法知，圖(1)中有三角形1＋2＝3(個(gè))。圖(2)中有三角形1＋2＋3=6(個(gè))。圖(3)中有三角形1＋2＋3＋4＝10(個(gè))。圖(4)中有三角形1＋2＋3＋4＋5＝15(個(gè))。圖(5)中有三角形1＋2＋3＋4＋5＋6=21(個(gè))。例3下列圖形中各有多少個(gè)三角形？分析與解：(1)只需分別求出以AB，ED為底邊的三角形中各有多少個(gè)三角形。以AB為底邊的三角形ABC中，有三角形1＋2＋3＝6(個(gè))。以ED為底邊的三角形CDE中，有三角形1＋2＋3＝6(個(gè))。所以共有三角形6＋6=12(個(gè))。這是以底邊為標(biāo)準(zhǔn)來(lái)分類計(jì)算的方法。它的好處是可以借助“求底邊線段數(shù)”而得出三角形的個(gè)數(shù)。我們也可以以小塊個(gè)數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)來(lái)計(jì)算：圖中共有6個(gè)小塊。由1個(gè)小塊組成的三角形有3個(gè)；由2個(gè)小塊組成的三角形有5個(gè)；由3個(gè)小塊組成的三角形有1個(gè)；由4個(gè)小塊組成的三角形有2個(gè)；由6個(gè)小塊組成的三角形有1個(gè)。所以，共有三角形3＋5＋1＋2＋1＝12(個(gè))。(2)如果以底邊來(lái)分類計(jì)算，各種情況較復(fù)雜，因此我們采用以“小塊個(gè)數(shù)”為分類標(biāo)準(zhǔn)來(lái)計(jì)算：由1個(gè)小塊組成的三角形有4個(gè)；由2個(gè)小塊組成的三角形有6個(gè)；由3個(gè)小塊組成的三角形有2個(gè)；由4個(gè)小塊組成的三角形有2個(gè)；由6個(gè)小塊組成的三角形有1個(gè)。所以，共有三角形4＋6＋2＋2＋1＝15(個(gè))。例4右圖中有多少個(gè)三角形？解：假設(shè)每一個(gè)最小三角形的邊長(zhǎng)為1。按邊的長(zhǎng)度來(lái)分類計(jì)算三角形的個(gè)數(shù)。邊長(zhǎng)為1的三角形，從上到下一層一層地?cái)?shù)，有1＋3＋5＋7=16(個(gè))；邊長(zhǎng)為2的三角形(注意，有一個(gè)尖朝下的三角形)有1＋2＋3＋1=7(個(gè))；邊長(zhǎng)為3的三角形有1＋2＝3(個(gè))；邊長(zhǎng)為4的三角形有1個(gè)。所以，共有三角形16＋7＋3＋1＝27(個(gè))。例5數(shù)出下頁(yè)左上圖中銳角的個(gè)數(shù)。分析與解：在圖中加一條虛線，如下頁(yè)右上圖。容易發(fā)現(xiàn)，所要數(shù)的每個(gè)角都對(duì)應(yīng)一個(gè)三角形(這個(gè)角與它所截的虛線段構(gòu)成的三角形)，這就回到例2，從而回到例1的問(wèn)題，即所求銳角的個(gè)數(shù)，就等于從O點(diǎn)引出的6條射線將虛線截得的線段的條數(shù)。虛線上線段的條數(shù)有1+2+3+4+5=15(條)。所以圖中共有15個(gè)銳角。例6在下圖中，包含“*”號(hào)的長(zhǎng)方形和正方形共有多少個(gè)？解：按包含的小塊分類計(jì)數(shù)。包含1小塊的有1個(gè)；包含2小塊的有4個(gè)；包含3小塊的有4個(gè)；包含4小塊的有7個(gè)；包含5小塊的有2個(gè)；包含6小塊的有6個(gè)；包含8小塊的有4個(gè)；包含9小塊的有3個(gè)；包含10小塊的有2個(gè)；包含12小塊的有4個(gè)；包含15小塊的有2個(gè)。所以共有1＋4＋4＋7＋2＋6＋4＋3＋2＋4＋2=39(個(gè))。

練習(xí)111.下列圖形中各有多少條線段？2.下列圖形中各有多少個(gè)三角形？3.下列圖形中，各有多少個(gè)小于180°的角？4.下列圖形中各有多少個(gè)三角形？5.下列圖形中各有多少個(gè)長(zhǎng)方形？6.下列圖形中，包含“*”號(hào)的三角形或長(zhǎng)方形各有多少？7.下列圖形中，不含“*”號(hào)的三角形或長(zhǎng)方形各有幾個(gè)？答案與提示

練習(xí)111.(1)28；(2)210。2.(1)36；(2)8。3.(1)10；(2)15。4.(1)9個(gè)；(2)16個(gè)；(3)21個(gè)。5.(1)60個(gè)；(2)66個(gè)。6.(1)12個(gè)；(2)32個(gè)。7.(1)21個(gè)；(2)62個(gè)。提示：4～7題均采用按所含小塊的個(gè)數(shù)分類(見(jiàn)下表)，表中空缺的為0。小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程(三年級(jí))本教程共30講

第12講巧求周長(zhǎng)我們知道：這兩個(gè)計(jì)算公式看起來(lái)十分簡(jiǎn)單，但用途卻十分廣泛。用它們可以解決許多直角多邊形(所有的角都是直角的多邊形)的周長(zhǎng)問(wèn)題。這是因?yàn)橹苯嵌噙呅慰偪梢苑指畛扇舾蓚€(gè)正方形或長(zhǎng)方形。例如，下面的圖形都可以分割成若干個(gè)正方形或長(zhǎng)方形，當(dāng)然分割的方法不是唯一的。由此，可以演變出許多只涉及正方形、長(zhǎng)方形周長(zhǎng)計(jì)算公式的題目。例1一個(gè)苗圃園(如左下圖)，周邊和中間有一些路供人行走(圖中線段表示“路”)，幾個(gè)小朋友在里面觀賞時(shí)發(fā)現(xiàn)：從A處出發(fā)，在速度一樣的情況下，只要是按“向右”、“向上”方向走，幾個(gè)人分頭走不同的路線，總會(huì)同時(shí)達(dá)到B處。你知道其中的道理嗎？分析與解：如右上圖所示，將各個(gè)交點(diǎn)標(biāo)上字母。由A處到B處，按“向右”、“向上”方向走，只有下面六條路線：(1)A→C→D→E→B；(2)A→C→O→E→B；(3)A→C→O→F→B；(4)A→H→G→F→B；(5)A→H→O→E→B；(6)A→H→O→F→B。因?yàn)锳→C與H→O，G→F的路程一樣長(zhǎng)，所以可以把它們都換成A→C；同理，將O→E，F(xiàn)→B都換成C→D；將A→H，C→O都換成D→E；將H→G，O→F都換成E→B。這樣換過(guò)之后，就得到六條路線的長(zhǎng)度都與第(1)條路線相同，而第(1)條路線的長(zhǎng)“AD+DB”就是長(zhǎng)方形的“長(zhǎng)+寬”，也就是說(shuō)，每條路線的長(zhǎng)度都是“長(zhǎng)+寬”。路程、速度都相同，當(dāng)然到達(dá)B處的時(shí)間就相同了。例2計(jì)算下列圖形的周長(zhǎng)(單位：厘米)。解：(1)將圖中右上缺角處的線段分別向上、向右平行移動(dòng)到虛線處(見(jiàn)左下圖)，這樣正好移補(bǔ)成一個(gè)正方形，所以它的周長(zhǎng)為25×4=100(厘米)。(2)與(1)類似，可以移補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方形，周長(zhǎng)為(10＋15)×2=50(厘米)。例3求下面兩個(gè)圖形的周長(zhǎng)(單位：厘米)。解：(1)與例2類似，可以移補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)(15＋10＋15)厘米、寬(12＋20)厘米的長(zhǎng)方形，所以周長(zhǎng)為(15＋10＋15)×2＋(12＋20)×2＝144(厘米)。(2)設(shè)想先把長(zhǎng)20厘米的線段向上平移到兩條長(zhǎng)15厘米的線段中間，構(gòu)成一個(gè)長(zhǎng)60厘米，寬(15＋20＋15)厘米的長(zhǎng)方形，此時(shí)，還有兩條長(zhǎng)35厘米的豎線段。所以周長(zhǎng)為60×2＋(15＋20＋15)×2＋35×2＝290(厘米)。例4在一張紙上畫(huà)出由四個(gè)邊長(zhǎng)為3厘米的正方形拼湊或組合成的圖形(重疊的線段只算畫(huà)一次)。顯然，這個(gè)圖形有多種多樣的畫(huà)法，下列各圖是其中的一部分畫(huà)法。在所有的這些畫(huà)法中，(1)哪種畫(huà)法畫(huà)出的線段總長(zhǎng)最長(zhǎng)？有多長(zhǎng)？(2)哪種畫(huà)法畫(huà)出的線段總長(zhǎng)最短？有多長(zhǎng)？分析與解：畫(huà)的線段重疊部分越少，畫(huà)的線段就越長(zhǎng)。反之，重疊部分越多，畫(huà)的線段就越短。因此，類似圖1那樣畫(huà)的線條最長(zhǎng)，共畫(huà)了3×4×4=48(厘米)。右圖畫(huà)的線條最短，共畫(huà)了(3＋3)×6=36(厘米)。例5下圖是一個(gè)方形螺線。已知兩相鄰平行線之間的距離均為1厘米，求螺線的總長(zhǎng)度。分析與解：如左下圖所示，按箭頭方向轉(zhuǎn)動(dòng)虛線部分，于是得到了三個(gè)邊長(zhǎng)分別為3，5，7厘米的正方形和中間一個(gè)三邊圖形(見(jiàn)右下圖)。所以螺線總長(zhǎng)度為(3＋5＋7)×4＋1×3=63(厘米)。

練習(xí)121.試求左下圖的周長(zhǎng)(單位：厘米)。2.上頁(yè)右下圖是由邊長(zhǎng)為1厘米的11個(gè)正方形堆成的“土”字圖形。試求出其周長(zhǎng)。3.右圖是某小學(xué)教學(xué)樓的平面示意圖，設(shè)計(jì)者在圖上只標(biāo)明了三條線段的長(zhǎng)度(單位：米)。請(qǐng)你算出它的周長(zhǎng)。4.下圖是由七個(gè)長(zhǎng)5厘米、寬3厘米的相同長(zhǎng)方形經(jīng)過(guò)豎放、橫放而成的圖形。求這個(gè)圖形的周長(zhǎng)。5.下面兩圖中的小方格的大小相同。圖(1)的周長(zhǎng)為48厘米，圖(2)的周長(zhǎng)等于多少？6.如右圖所示，一個(gè)正方形被分成了三個(gè)相同的長(zhǎng)方形。如果其中一個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是16米，那么這個(gè)正方形的周長(zhǎng)是多少米？答案與提示練習(xí)121.50厘米。2.24厘米。3.188米。解：(28＋16＋50)×2=188(米)。4.76厘米。解：7個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)之和，減去圖中重疊(虛線)部分，(5＋3)×2×7－3×2×6＝76(厘米)。5.60厘米。提示：每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為3厘米。6.24米。解：三個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)等于正方形的8個(gè)邊長(zhǎng)，即等于正方形的兩個(gè)周長(zhǎng)，故正方形的周長(zhǎng)為16×3÷2＝24(米)。小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程(三年級(jí))本教程共30講第13講火柴棍游戲(一)火柴除了可作火種外，人們常用它來(lái)擺圖形、算式，做出許多有趣的游戲。它不受場(chǎng)地和時(shí)間的限制，只要有幾根火柴(或幾根長(zhǎng)短一樣的細(xì)小木棍)就可以進(jìn)行?；鸩裼螒蛟⒅R(shí)、技巧于游戲之中，啟迪你的智慧，開(kāi)闊你的思路，豐富你的課余生活。火柴游戲大體分為兩種：一種是擺圖形和變換圖形；一種是變換算式。這一講我們先介紹變換圖形的游戲。1.擺圖形游戲游戲1用8根火柴棍可以擺成一個(gè)正方形。現(xiàn)添兩根，即用10根火柴能擺出與這個(gè)正方形同樣大小的圖形嗎？分析與解：8根火柴擺一個(gè)正方形，每邊必是兩根火柴。它可以分成四個(gè)小正方形(如右圖)。因此，只要用10根火柴擺出有四個(gè)同樣大小的小正方形的圖形即可。下面的四個(gè)圖形都符合題意。游戲2用8根火柴棍擺出八個(gè)大小一樣的三角形和兩個(gè)一樣大小的正方形。分析與解：4根火柴可擺出一個(gè)正方形，另4根火柴又可擺出一個(gè)同樣大小的正方形。把這兩個(gè)正方形如右圖所示交叉放在一起，就形成八個(gè)相同的三角形。2.移動(dòng)火柴，變換圖形游戲游戲3右圖是用10根火柴棍擺成的一座房子。請(qǐng)移動(dòng)2根火柴，使