第六章彎曲應(yīng)力(B)

第六章彎曲應(yīng)力上海工程技術(shù)大學(xué)機(jī)械學(xué)院工程力學(xué)部材料力學(xué)1§6—1彎曲正應(yīng)力及強(qiáng)度計(jì)算§6—2彎曲剪應(yīng)力及強(qiáng)度計(jì)算§6—3提高彎曲強(qiáng)度的措施彎曲應(yīng)力部分小結(jié)第六章彎曲應(yīng)力第六章彎曲應(yīng)力

作業(yè)

2§6—1彎曲正應(yīng)力及強(qiáng)度計(jì)算第六章彎曲應(yīng)力3第六章彎曲應(yīng)力4（一）、純彎曲：梁的橫截面上只有彎矩而無剪力的彎曲。

梁的橫截面上只有正應(yīng)力而無剪應(yīng)力的彎曲剪力“Fs”——剪應(yīng)力“τ”；（二）、橫力彎曲（剪切彎曲）：

§6—1彎曲正應(yīng)力及強(qiáng)度計(jì)算一、基本概念：FBAFMxFsxFaFF梁的橫截面上既有彎矩又有剪力的彎曲。梁的橫截面上既有正應(yīng)力又有剪應(yīng)力的彎曲.彎矩“M”——正應(yīng)力“σ”第六章彎曲應(yīng)力5二、純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力公式（超靜定問題）（一）幾何方面：（二）物理方面：（三）靜力方面：（一）、幾何方面1、實(shí)驗(yàn)：mm由純彎曲的變形規(guī)律→縱向線應(yīng)變的變化規(guī)律。由縱向線應(yīng)變的變化規(guī)律→正應(yīng)力的分布規(guī)律。由橫截面上的彎矩和正應(yīng)力的關(guān)系→正應(yīng)力的計(jì)算公式。(變形協(xié)調(diào)關(guān)系)(應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系)(應(yīng)力與內(nèi)力的關(guān)系)nn第六章彎曲應(yīng)力6第六章彎曲應(yīng)力7第六章彎曲應(yīng)力82、變形規(guī)律：⑴、橫向線：仍為直線，只是相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)了一個(gè)角度且仍與縱向線正交。⑵、縱向線：由直線變?yōu)榍€，且靠近上部的纖維縮短，靠近下部的纖維伸長(zhǎng)。3、假設(shè)：（a）、平面假設(shè)：梁變形前的橫截面變形后仍為平面，且仍垂直于變形后的軸線，只是各橫截面繞某軸轉(zhuǎn)動(dòng)了一個(gè)角度。mmnnMMmmnn第六章彎曲應(yīng)力9（b）縱向纖維假設(shè)：梁是由許多縱向纖維組成的，且各縱向纖維之間無擠壓。4、中性層：不發(fā)生變形的一層纖維。5、中性軸：中性層與橫截面的交線。推論：梁變形實(shí)際上是繞中性軸轉(zhuǎn)動(dòng)了一個(gè)角度，等高度的一層纖維的變形完全相同。中性面第六章彎曲應(yīng)力106、線應(yīng)變的變化規(guī)律：dxyoo1（二）、物理方面應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系：在彈性范圍內(nèi)，應(yīng)力和應(yīng)變成正比。即：mmnn第六章彎曲應(yīng)力113、應(yīng)力的分布圖：MZyσmaxσmax（三）、靜力方面第六章彎曲應(yīng)力12Myxz（中性軸Z軸為形心軸）（產(chǎn)生平面彎曲的必要條件，本題自然滿足）第六章彎曲應(yīng)力13將上式代入（2）式得：——（彎曲變形計(jì)算的基本公式）……彎曲正應(yīng)力計(jì)算公式。三、注意：彎矩代入絕對(duì)值，應(yīng)力的符號(hào)由變形來判斷。當(dāng)M>0時(shí)，Z軸上側(cè)所有點(diǎn)為壓應(yīng)力，下側(cè)所有點(diǎn)為拉應(yīng)力；當(dāng)M<0時(shí)，Z軸下側(cè)所有點(diǎn)為壓應(yīng)力，上側(cè)所有點(diǎn)為拉應(yīng)力。梁的抗彎剛度。TzEI第六章彎曲應(yīng)力14例：求最大拉應(yīng)力與最大壓應(yīng)力。已知：№10槽鋼解：1）畫彎矩圖2）查型鋼表：3）求應(yīng)力：第六章彎曲應(yīng)力15四、公式的使用條件彈性范圍內(nèi)工作的純彎梁或橫力彎曲的細(xì)長(zhǎng)梁（L＞5h）。五、正應(yīng)力最大值的確定1、橫截面上：⑴對(duì)Z軸對(duì)稱的截面⑵對(duì)Z軸不對(duì)稱的截面

2、整個(gè)梁上：⑴對(duì)Z軸對(duì)稱的截面⑵對(duì)Z軸不對(duì)稱的截面第六章彎曲應(yīng)力16六、慣性矩和抗彎截面模量的確定1、實(shí)心圓：2、空心圓：3、矩形：抗彎截面模量第六章彎曲應(yīng)力17（一）、強(qiáng)度條件：（二）、強(qiáng)度計(jì)算：

1、強(qiáng)度校核——2、設(shè)計(jì)截面尺寸——3、確定外荷載——[]ss￡max；[]

maxsMWz3[];

maxszWM￡七、正應(yīng)力的強(qiáng)度計(jì)算第六章彎曲應(yīng)力18例：厚為t=1.5mm的鋼帶，卷成直徑D＝3m圓環(huán)。。求：橫截面上最大應(yīng)力解：1）研究對(duì)象：?jiǎn)挝粚挆l2）曲率公式：3）求應(yīng)力：第六章彎曲應(yīng)力19q

L2/8Mx例：試求：（1）1—1截面上1、2兩點(diǎn)的正應(yīng)力；（2）此截面上的最大正應(yīng)力；（3）全梁的最大正應(yīng)力；（4）已知E=200GPa，求1—1

截面的曲率半徑。解：畫M圖求截面彎矩112018030211BA第六章彎曲應(yīng)力20求應(yīng)力1120180302求曲率半徑q

L2/8Mx全梁最大應(yīng)力：第六章彎曲應(yīng)力21解：1、求約束反力xM0.5m0.5m0.5mABCD2FF例：矩形截面梁b=60mm、h=120mm，[σ]=160MPa,求：Fmax

Mmax=0.5F3、強(qiáng)度計(jì)算h2、畫M，Mmax≤5F/2F/2第六章彎曲應(yīng)力22解：1)求約束反力例、T字形截面的鑄鐵梁受力如圖，鑄鐵的[t]=30MPa，

[c]=60MPa.其截面形心位于C點(diǎn)，y1=52mm，y2=88mm，

Iz=763cm4

，試校核此梁的強(qiáng)度。1m1m1mABCD2.5kNm-4k

N

m2）畫彎矩圖M3）求應(yīng)力B截面—（上拉下壓）第六章彎曲應(yīng)力23C截面—（下拉上壓）1m1m1mABCD4)強(qiáng)度校核A1A2A3A446.2MPa27.3MPa28.2MPa第六章彎曲應(yīng)力-4k

N

mM2.5kNm24A1A2y

2y

1CCzA3A446.2MPa27.3MPa28.2MPa結(jié)論——對(duì)Z軸對(duì)稱截面的彎曲梁，只計(jì)算一個(gè)截面：對(duì)Z軸不對(duì)稱截面的彎曲梁，必須計(jì)算兩個(gè)截面：第六章彎曲應(yīng)力-4k

N

mM2.5kNm25zybh§6—2

彎曲剪應(yīng)力及強(qiáng)度計(jì)算一、

矩形截面梁橫截面上的剪應(yīng)力1、假設(shè)：⑴橫截面上各點(diǎn)的剪應(yīng)力方向與剪力的方向相同。⑵剪應(yīng)力沿截面寬度均勻分布（距中性軸等距離的各點(diǎn)剪應(yīng)力大小相等）。2、公式推導(dǎo)xd

x圖ayτFs第六章彎曲應(yīng)力26A

圖

bZyy由剪應(yīng)力互等定理可知注意：Fs為橫截面的剪力；Iz為整個(gè)橫截面對(duì)Z軸的慣性矩；b為Y點(diǎn)對(duì)應(yīng)的寬度；Sz*為Y點(diǎn)以外的面積對(duì)Z軸的靜面矩。第六章彎曲應(yīng)力27A

圖

bZyy由剪應(yīng)力互等定理可知注意：Fs為橫截面的剪力；Iz為整個(gè)橫截面對(duì)Z軸的慣性矩；b為Y點(diǎn)對(duì)應(yīng)的寬度；Sz*為Y點(diǎn)以外的面積對(duì)Z軸的靜面矩。第六章彎曲應(yīng)力28yZ3、矩形截面剪應(yīng)力的分布：二、其它截面梁：1、工字型截面：仍按矩形截面的公式計(jì)算。t第六章彎曲應(yīng)力292、圓型截面：中性軸上有最大的剪應(yīng)力，方向與剪力方向相同。3、薄壁圓環(huán)：中性軸上有最大的剪應(yīng)力，方向與剪力方向相同。三、剪應(yīng)力的強(qiáng)度計(jì)算1、強(qiáng)度條件：2、強(qiáng)度計(jì)算：⑴、校核強(qiáng)度，⑵、設(shè)計(jì)截面尺寸，⑶、確定外荷載。第六章彎曲應(yīng)力303、需要校核剪應(yīng)力的幾種特殊情況：鉚接或焊接的組合截面，其腹板的厚度與高度比小于型鋼的相應(yīng)比值時(shí)，要校核剪應(yīng)力梁的跨度較短，M較小，而Fs較大時(shí)，要校核剪應(yīng)力。各向異性材料（如木材）的抗剪能力較差，要校核剪應(yīng)力。第六章彎曲應(yīng)力31解：、畫內(nèi)力圖求危險(xiǎn)面內(nèi)力例、矩形截面(bh=0.12m0.18m）木梁如圖，[]=7MPa，[]=0.9M

Pa，試求最大正應(yīng)力和最大剪應(yīng)力之比,并校核梁的強(qiáng)度。Mxq

L2/8Fsx求最大應(yīng)力并校核強(qiáng)度第六章彎曲應(yīng)力32求最大應(yīng)力并校核強(qiáng)度應(yīng)力之比第六章彎曲應(yīng)力33q=30kN/mAB60kN1m5m例：圖示梁為工字型截面，已知〔σ〕=170MPa，〔τ〕=100MPa

試選擇工字型梁的型號(hào)。解：1、畫Q、M圖FAY=112.5kN；FBY=97.5kN2、按正應(yīng)力確定截面型號(hào)查表選36c型號(hào)3、剪應(yīng)力校核4、結(jié)論：選36c型號(hào)112.5kN52.5kN97.5kNxFs112.5158.4kNmxM第六章彎曲應(yīng)力34例：截面為三塊矩形截面疊加而成(膠合成一體)的梁,[τ]膠=3.4MPa，求：Fmax及此時(shí)的σmax。若截面為自由疊加，σmax的值又為多大。FZ10050解：1、確定Fmax2、確定σmax3、自由疊加時(shí)的σmaxXXFsMFF*1第六章彎曲應(yīng)力35第六章彎曲應(yīng)力36例：圖示梁上作用有一移動(dòng)荷載，已知其截面為矩形h/b=3/2，〔σ〕=10MPa，〔τ〕=3MPa，求：b、hABF=40kN解：1、按正應(yīng)力確定2、按剪應(yīng)力確定b=140mm；h=210mm第六章彎曲應(yīng)力37y1y2Z例：圖示槽型截面梁，Iz=100*106mm4，y1=200mm，y2=50mm，〔σt〕=45MPa，〔σc〕=120MPa。校核梁的強(qiáng)度。70kNm10kN2m2mABC解：1、畫M圖XM20kNm50kNm30kNm2、確定最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力，并進(jìn)行強(qiáng)度校核B左側(cè)截面：M1=50kNm。下拉上壓B右側(cè)截面：M2=20kNm。上拉下壓。結(jié)論：σtmax=40MPa＜〔σ〕

σcmax=100MPa＜〔σ〕第六章彎曲應(yīng)力38例：圖示梁，已知其截面為從圓木中截取的矩形截面，〔σ〕=10MPa，D=30mm，試：確定外荷載的最大值。AB1.5m1.5m1.5mFFCDDbhXM1.5F解：1、畫M圖2、確定最合理的截面尺寸3、確定外荷載的最大值第六章彎曲應(yīng)力39xM-M1M2例、梁及截面如圖，y2=2y1，IZC、q、L均已知，[c]=3[t]、試確定a的合理長(zhǎng)度；如果y2=4y1，a的合理長(zhǎng)度又是多少？AB

解：彎矩如圖.

危險(xiǎn)面的應(yīng)力同時(shí)達(dá)到極限狀態(tài)合理。第六章彎曲應(yīng)力40如果y2=4y1，a的合理長(zhǎng)度又是多少？4

La=xD1D2D3xM-M1M2第六章彎曲應(yīng)力41§6—3提高彎曲強(qiáng)度的措施一、合理安排梁的受力，減小彎矩。Mmax=PL/4F/LMmax=FL/8FL/2L/2F/2Mmax=FL/8L/4L/4F/20.2LP/LMmax=FL/400.2L第六章彎曲應(yīng)力42合理截面形狀應(yīng)該是截面面積A較小，而抗彎截面模量大的截面。二、合理安排梁的截面，提高抗彎截面模量。豎放比橫放要好。1）放置位置：2）抗彎截面模量/截面面積截面形狀圓形矩形槽鋼工字鋼第六章彎曲應(yīng)力433）根據(jù)材料特性選擇截面形狀

對(duì)于鑄鐵類抗拉、壓能力不同的材料，最好使用T字形類的截面，并使中性軸偏于抗變形能力弱的一方，即：若抗拉能力弱，而梁的危險(xiǎn)截面處又上側(cè)受拉，則令中性軸靠近上端。如下圖：第六章彎曲應(yīng)力44采用變截面梁，如右圖：[]sso=)()()(maxxWxMx[][]tttb5.1)(

,

bh(x)Fs1.5=maxFsxh3\￡同時(shí)三、設(shè)計(jì)等強(qiáng)度梁。第六章彎曲應(yīng)力45彎曲應(yīng)力小結(jié)一、純彎曲：梁的橫截面上只有彎矩而無剪力的彎曲。梁的橫截面上只有正應(yīng)力而無剪應(yīng)力的彎曲二、橫力彎曲：梁的橫截面上既有彎矩又有剪力的彎曲。梁的橫截面上既有正應(yīng)力又有剪應(yīng)力的彎曲三、純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力公式（一）、幾何方面：（二）、物理方面：難點(diǎn)（三）、靜力方面：第六章彎曲應(yīng)力46五、強(qiáng)度條件：⑵、對(duì)Z軸不對(duì)稱的截面——四、正應(yīng)力最大值的確定⑴、對(duì)Z軸對(duì)稱的截面——……彎曲正應(yīng)力計(jì)算公式。六、強(qiáng)度計(jì)算：

1、強(qiáng)度校核，[]ss￡max；重點(diǎn)重點(diǎn)第六章彎曲應(yīng)力47八、其它截面梁：1、工字型截面2、圓型截面3、薄壁圓環(huán)七、

矩形截面梁橫截面上的剪應(yīng)力[]

maxsMWz3[];

maxszWM￡結(jié)論——對(duì)Z軸對(duì)稱截面的彎曲梁，只計(jì)算一個(gè)截面：對(duì)Z軸不對(duì)稱截面的彎曲梁，必須計(jì)算兩個(gè)截面：2、設(shè)計(jì)截面尺寸，3、確定外核載。第六章彎曲應(yīng)力48十、組合截面的彎曲梁：1、自由疊加——荷載均分，按各自的中性軸獨(dú)自彎曲計(jì)算；2、膠合、鉚和——按整體梁的中性軸整體彎曲計(jì)算。九、剪應(yīng)力的強(qiáng)度計(jì)算1、強(qiáng)度條件：2、強(qiáng)度計(jì)算：⑴、校核強(qiáng)度，⑵、設(shè)計(jì)截面尺寸，⑶、確定外荷載。第六章彎曲應(yīng)力49彎曲中心的概念＊彎曲正應(yīng)力計(jì)算公式：第六章彎曲應(yīng)力50彎曲中心的概念＊彎曲正應(yīng)力計(jì)算公式：第六章彎曲應(yīng)力51彎曲中心的概念＊彎曲正應(yīng)力計(jì)算公式：第六章彎曲應(yīng)力52彎曲中心的概念＊彎曲正應(yīng)力計(jì)算公式：第六章彎曲應(yīng)力53第六章結(jié)束第六章彎曲應(yīng)力54應(yīng)力第一次作業(yè)

§5–18.20.31.32

本次課作業(yè)應(yīng)力第二次作業(yè)

§5–28.b,40,46

第六章彎曲應(yīng)力551m4m10kN/m20kN40kN、mCBA解：1、支反力2、畫內(nèi)力圖CA段：剪力圖為一條水平線；彎矩圖為一條斜直線AB段：剪力圖為斜向下的斜直線；彎矩圖為上凸的二次曲線。C、A、B截面剪力圖有突變；大小為其集中力的值。A截面彎矩圖有突變；大小為其集中力偶的值。Q=0處M有極值201525Q(x)x（kN）M(x)xkNm202.5m31.2520第六章彎曲應(yīng)力56解：求支反力左端點(diǎn)A：B點(diǎn)左：B點(diǎn)右：C點(diǎn)左：M的駐點(diǎn)：C點(diǎn)右：右端點(diǎn)D：Fsxqa/2–qa/2–qa/2+qa2qaABCDxM3qa2/8qqa2/2qa2/2qa2/2FAYFDYaaa第六章彎曲應(yīng)力57第三次作業(yè)：§6-14.a,b.§6-7.