第十章可壓縮氣體

第十章可壓縮氣體

的一元恒定流動(dòng)10.1音速與馬赫數(shù)1.音速音速是微弱擾動(dòng)在可壓縮介質(zhì)中的傳播速度圖10-1，靜止活塞突然以微小速度dυ向右運(yùn)動(dòng)。以壓力波的形式以波速a（音速）向右傳播。波面把左、右分為受擾動(dòng)區(qū)和未受擾動(dòng)區(qū)。未受擾動(dòng)區(qū)：p，ρ受擾動(dòng)區(qū)：dυ，p+dp，ρ+dρ坐標(biāo)建立在波面上，斷面1-1和2-2無(wú)限接近波面，管道斷面積為A，連續(xù)方程：忽略二階微量得（10-1）動(dòng)量方程（忽略黏性影響）：整理得：（10-2）由式（10-1）和（10-2）得（10-3）可見(jiàn)壓縮性小的音速大對(duì)于氣體，微弱擾動(dòng)的傳播只伴隨有極其微弱的熱交換，因而可以近似地將微弱擾動(dòng)的傳播過(guò)程視為等熵過(guò)程。于是，應(yīng)用等熵過(guò)程關(guān)系式（常數(shù)）（10-4）理想氣體狀態(tài)方程：則式（10-3）成為：（10-5）式中k為氣體的絕熱指數(shù)，R為氣體常數(shù)。常壓下的空氣：k=1.4，R=287J/(kg.K)【例10-1】常壓下空氣溫度10℃，音速多大？解T=273+15=288K，則2.馬赫數(shù)馬赫數(shù)：氣體本身的速度υ與音速a的比值。①擾動(dòng)點(diǎn)源不動(dòng)，υ=0，Ma=0②υ<a，Ma<1，亞音速流③υ=a，Ma=1，臨界音速流④υ>a，Ma>1，超音速流（10-7）10.2理想氣體一元恒定流動(dòng)的基本方程理想氣體：黏性很小，可以忽略1.連續(xù)性方程取一管狀流段作為控制體（圖10-3），由質(zhì)量守恒（10-8）或式中Qm為質(zhì)量流量對(duì)上式進(jìn)行微分（10-9）2.運(yùn)動(dòng)方程取一個(gè)流向長(zhǎng)度為ds的微元柱體，其截面積為A整理，且ds/dt=υ，得（10-10）又稱歐拉方程也可由式（3-15）得到3.能量方程將運(yùn)動(dòng)方程積分可得理想氣體一元恒定流動(dòng)的能量方程(即伯努利方程)。（常數(shù)）（1）等溫流動(dòng)任意兩斷面或（10-13）（10-12）（2）絕熱流動(dòng)與外界無(wú)熱量交換的流動(dòng)過(guò)程稱為絕熱過(guò)程。在無(wú)能量損失時(shí)，稱為等熵過(guò)程。因此，理想氣體的絕熱流功即為等熵流動(dòng)。理想氣體絕熱流動(dòng)（即等熵流動(dòng)）過(guò)程方程:所以絕熱流動(dòng)的能量方程（10-14）任意兩斷面（10-15）【例10-2】高壓空氣高速噴入煤氣，圖10-5。p1=1200kPa，p2=1000kPa,υ1=100m/s，t1=27℃，k=1.4，R=287J/(kg.K)。求υ2？解按等熵流動(dòng)處理m2/s2其中m2/s2又由故m/s10.3滯止參數(shù)設(shè)想在流動(dòng)過(guò)程中的某一斷面，氣流的速度以無(wú)摩擦的絕熱過(guò)程降低至零，該斷面的氣流狀態(tài)稱為滯止?fàn)顟B(tài)，相應(yīng)的氣流參數(shù)稱為滯止參數(shù)。滯止參數(shù)通常用下標(biāo)“0”

標(biāo)示，如p0、ρ0、T0、a0等分別表示滯止壓強(qiáng)、滯止密度、滯止溫度、滯止音速等。斷面的滯止參數(shù)可根據(jù)能量方程及有關(guān)斷面參數(shù)求得。對(duì)滯止斷由和沿流程任意斷面，能量方程式（10-14）可寫(xiě)為（10-16a）（10-16b）若以當(dāng)?shù)匾羲俸蜏挂羲俅胧剑?0-16b），則得（10-16c）為便于分析計(jì)算，習(xí)慣上常將滯止參數(shù)與當(dāng)?shù)貐?shù)之比表示為馬赫數(shù)Ma的函數(shù)。由式（10-16b）可得（10-17）根據(jù)絕熱狀態(tài)方程和理想氣體狀態(tài)方程（10-18）【例10-3】設(shè)氣流的速度υ=70m/s，溫度T=293K，絕熱指數(shù)k=1.4，求其密度相對(duì)于滯止?fàn)顟B(tài)時(shí)的變化率。解據(jù)題設(shè)條件可得音速m/s馬赫數(shù)密度相對(duì)于滯止?fàn)顟B(tài)的變化率代入式（10-18）由此可見(jiàn)，當(dāng)氣流速度由70m/s變化為零時(shí)，其密度由ρ變化為ρ0只不過(guò)增大約2%。這就是通常所說(shuō)的氣流速度小于70m/s時(shí)，可以作為不可壓縮流體計(jì)算的根據(jù)所在。10.4可壓縮氣體在等截面管道中的恒定流動(dòng)將計(jì)算沿程損失的達(dá)西公式應(yīng)用到ds微段上，可得單位質(zhì)量氣體在微段ds上的沿程損失：（10-19）上式各項(xiàng)同除以υ2

，并考慮可壓縮氣體的連續(xù)性方程Qm=ρυA，則式(10-20)成為：（10-20）將式（10-19)代到理想可壓縮氣體一元恒定流動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程式(10-10)中，便得到實(shí)際可壓縮氣體一元恒定流動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程：（10-21）1.等溫管流T=常數(shù)λ=f(Re，△d），λ=常數(shù)p/ρ=RTρ=p/RT代入式（10-21）對(duì)相距l(xiāng)的1-1和2-2斷面積分得（10-22）由ρ1υ1=ρ2υ2和p/ρ=RT，有υ2/υ1=ρ1/ρ2=p1/p2，則（10-23）若管道較長(zhǎng)，且氣流速度υ1、υ2變化不大時(shí)，2ln(υ2/υ1)或2ln(p1/p2)<<λl/d，對(duì)數(shù)項(xiàng)可忽略不計(jì)，上式簡(jiǎn)化為（10-24）考慮到Qm=ρ1υ1A和p1=ρ1RT，式（10-24）可改寫(xiě)為（10-25）由式（10-24）得質(zhì)量流量公式（10-26）可直接計(jì)算只能按計(jì)算由狀態(tài)方程p=ρRT，取對(duì)數(shù)，并求導(dǎo)得：T=常數(shù)由連續(xù)性方程式（10-9），得式（10-20）除以υ2，得【例10-4】已知某煤氣管道長(zhǎng)l=100km，管徑d=300mm，起始斷面壓強(qiáng)p1=4905kPa，管道末端壓強(qiáng)p2=2455kPa，管內(nèi)溫度t=15℃，氣體常數(shù)R=343J/(kg.K)，絕熱指數(shù)k=1.37，沿程阻力系數(shù)λ=0.015，求通過(guò)的質(zhì)量流量Qm。解將各已知量代入式（10-26）得檢驗(yàn)管道末端的馬赫數(shù)Ma：計(jì)算有效2.絕熱管流將絕熱狀態(tài)方程p/ρk=C代入式（10-21）得對(duì)圖10-6中相距l(xiāng)的1-1和2-2斷面積分可得（10-27）由ρ1υ1=ρ2υ2和p1/ρ1k=p2/ρ2k

，有υ2/υ1=ρ1/ρ2=(p1/p2)1/k，則（10-28）氣流速度υ1、υ2變化不大時(shí)，對(duì)數(shù)項(xiàng)可忽略不計(jì)，上式簡(jiǎn)化為（10-29）由式（10-29）可導(dǎo)得質(zhì)量流量公式為（10-30）如果Ma<1，可直接按公式計(jì)算如果Ma>1，只能按Ma=1代入計(jì)算由狀態(tài)方程p=Cρk，取對(duì)數(shù)，并求導(dǎo)得：由連續(xù)性方程式（10-9），得式（10-20）除以υ2，得【例10-5】設(shè)有一絕熱良好的水平管道輸送空氣，已知管徑d=100mm，沿程阻力系數(shù)λ=0.016，絕熱指數(shù)k=1.4，進(jìn)口處絕對(duì)壓強(qiáng)p1=106N/m2，溫度T1=293K，流速υ1=30m/s，求