高中數(shù)學(xué)排列組合問題的幾種基本方法

從n個(gè)不同元素中,任取m個(gè)元素,按照一定的順序排成一列,叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列.2.組合的定義:從n個(gè)不同元素中,任取m個(gè)元素,并成一組,叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合.3.排列數(shù)公式:4.組合數(shù)公式:1.排列的定義:排列與組合的區(qū)別與聯(lián)系:與順序有關(guān)的為排列問題,與順序無關(guān)的為組合問題.2/6/20231排列組合綜合問題高二荊亮2/6/20232例1.7人排成一排.甲、乙兩人不相鄰，有多少種不同的排法？♀♀♀

♀♀解：分兩步進(jìn)行：♀♀幾個(gè)元素不能相鄰時(shí),先排一般元素，再讓特殊元素插空.第1步，把除甲乙外的一般人排列：第2步，將甲乙分別插入到不同的間隙或兩端中(插空)：↑

↑

↑

↑

↑↑解決一些不相鄰問題時(shí)，可以先排“一般”元素然后插入“特殊”元素，使問題得以解決.1.插空法：2/6/20233變

學(xué)校組織老師學(xué)生一起看電影，同一排電影票12張。8個(gè)學(xué)生，4個(gè)老師，要求老師在學(xué)生之間，且老師互不相鄰，共有多少種不同的坐法？解先排學(xué)生共有種排法,然后把老師插入學(xué)生之間的空檔，共有7個(gè)空檔可插,選其中的4個(gè)空檔,共有種選法.根據(jù)乘法原理,共有的不同坐法為種.結(jié)論1

插空法:對(duì)于某兩個(gè)元素或者幾個(gè)元素要求不相鄰的問題,可以用插入法.即先排好沒有限制條件的元素,然后將有限制條件的元素按要求插入排好元素的空檔之中即可.分析此題涉及到的是不相鄰問題,并且是對(duì)老師有特殊的要求,因此老師是特殊元素,在解決時(shí)就要特殊對(duì)待.所涉及問題是排列問題.2/6/20234相鄰元素的排列，可以采用“局部到整體”的排法，即將相鄰的元素局部排列當(dāng)成“一個(gè)”元素，然后再進(jìn)行整體排列.2.捆綁法例2.6人排成一排.甲、乙兩人必須相鄰,有多少種不的排法?♀♀♀

♀♀

♀解：（1）分兩步進(jìn)行：甲乙第一步，把甲乙排列(捆綁)：第二步，甲乙兩個(gè)人的梱看作一個(gè)元素與其它的排隊(duì)：♀♀幾個(gè)元素必須相鄰時(shí),先捆綁成一個(gè)元素，再與其它的進(jìn)行排列.2/6/20235變

5個(gè)男生3個(gè)女生排成一排,3個(gè)女生要排在一起,有多少種不同的排法?

解

因?yàn)榕旁谝黄?所以可以將3個(gè)女生看成是一個(gè)人,與5個(gè)男生作全排列,有種排法,其中女生內(nèi)部也有種排法,根據(jù)乘法原理,共有種不同的排法.結(jié)論2

捆綁法:要求某幾個(gè)元素必須排在一起的問題,可以用捆綁法來解決問題.即將需要相鄰的元素合并為一個(gè)元素,再與其它元素一起作排列,同時(shí)要注意合并元素內(nèi)部也可以作排列.分析此題涉及到的是排隊(duì)問題,對(duì)于女生有特殊的限制,因此,女生是特殊元素,并且要求她們要相鄰,因此可以將她們看成是一個(gè)元素來解決問題.2/6/20236例4.5個(gè)人站成一排，甲總站在乙的右側(cè)的有多少種站法？幾個(gè)元素順序一定的排列問題，一般是先排列，再消去這幾個(gè)元素的順序.或者，先讓其它元素選取位置排列，留下來的空位置自然就是順序一定的了.3.除法消序法(留空法)解法1：將5個(gè)人依次站成一排，有解法2：先讓甲乙之外的三人從5個(gè)位置選出3個(gè)站好，有種站法，然后再消去甲乙之間的順序數(shù)∴甲總站在乙的右側(cè)的有站法總數(shù)為種站法，留下的兩個(gè)位置自然給甲乙有1種站法∴甲總站在乙的右側(cè)的有站法總數(shù)為2/6/20237變式：如下圖所示,有5橫8豎構(gòu)成的方格圖,從A到B只能上行或右行共有多少條不同的路線?解:如圖所示→1↑①→2↑②↑③→3→4→5↑④→6→7將一條路經(jīng)抽象為如下的一個(gè)排法(5-1)+(8-1)=11格:其中必有四個(gè)↑和七個(gè)→組成!所以,四個(gè)↑和七個(gè)→一個(gè)排序就對(duì)應(yīng)一條路經(jīng),所以從A到B共有條不同的路徑.也可以看作是1,2,3,4,5,6,7,①,②,③,④順序一定的排列，有種排法.2/6/20238n個(gè)相同小球放入m(m≤n)個(gè)盒子里,要求每個(gè)盒子里至少有一個(gè)小球的放法等價(jià)于n個(gè)相同小球串成一串從間隙里選m-1個(gè)結(jié)點(diǎn)剪截成m段.例4.某校準(zhǔn)備參加今年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽,把16個(gè)選手名額分配到高三年級(jí)的1-4個(gè)教學(xué)班,每班至少一個(gè)名額,則不同的分配方案共有___種.4.隔板法：解：?jiǎn)栴}等價(jià)于把16個(gè)相同小球放入4個(gè)盒子里,每個(gè)盒子至少有一個(gè)小球的放法種數(shù)問題.將16個(gè)小球串成一串，截為4段有種截?cái)喾?，?duì)應(yīng)放到4個(gè)盒子里.因此，不同的分配方案共有455種.2/6/20239n個(gè)相同小球放入m(m≤n)個(gè)盒子里,要求每個(gè)盒子里至少有一個(gè)小球的放法等價(jià)于n個(gè)相同小球串成一串從間隙里選m-1個(gè)結(jié)點(diǎn)剪截成m段.變式：某校準(zhǔn)備參加今年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽,把16個(gè)選手名額分配到高三年級(jí)的1-4個(gè)教學(xué)班,每班的名額不少于該班的序號(hào)數(shù),則不同的分配方案共有___種.解：?jiǎn)栴}等價(jià)于先給2班1個(gè)，3班2個(gè)，4班3個(gè)，再把余下的10個(gè)相同小球放入4個(gè)盒子里,每個(gè)盒子至少有一個(gè)小球的放法種數(shù)問題.將10個(gè)小球串成一串，截為4段有種截?cái)喾ǎ瑢?duì)應(yīng)放到4個(gè)盒子里.因此，不同的分配方案共有84種.2/6/202310變：在高二年級(jí)中的8個(gè)班,組織一個(gè)12個(gè)人的年級(jí)學(xué)生分會(huì),每班要求至少1人,名額分配方案有多少種?解

此題可以轉(zhuǎn)化為:將12個(gè)相同的白球分成8份,有多少種不同的分法問題,因此須把這12個(gè)白球排成一排,在11個(gè)空檔中放上7個(gè)相同的黑球,每個(gè)空檔最多放一個(gè),即可將白球分成8份,顯然有種不同的放法,所以名額分配方案有種.結(jié)論3

隔板轉(zhuǎn)化模型法:對(duì)于某些較復(fù)雜的、或較抽象的排列組合問題，可以利用轉(zhuǎn)化思想,將其化歸為簡(jiǎn)單的、具體的問題來求解.分析此題若直接去考慮的話,就會(huì)比較復(fù)雜.但如果我們將其轉(zhuǎn)換為等價(jià)的其他問題,就會(huì)顯得比較清楚,方法簡(jiǎn)單,結(jié)果容易理解.2/6/2023115.另兩種轉(zhuǎn)化模型法2/6/202312例5（1）袋中有不同的5分硬幣23個(gè),不同的1角硬幣10個(gè),如果從袋中取出2元錢,有多少種取法?解

把所有的硬幣全部取出來,將得到0.05×23+0.10×10=2.15元,所以比2元多0.15元,所以剩下0.15元即剩下3個(gè)5分或1個(gè)5分與1個(gè)1角,所以共有種取法.結(jié)論4

剩余法:在組合問題中,有多少取法,就有多少種剩法,他們是一一對(duì)應(yīng)的,因此,當(dāng)求取法困難時(shí),可轉(zhuǎn)化為求剩法.分析

此題是一個(gè)組合問題,若是直接考慮取錢的問題的話,情況比較多,也顯得比較凌亂,難以理出頭緒來.但是如果根據(jù)組合數(shù)性質(zhì)考慮剩余問題的話,就會(huì)很容易解決問題.2/6/202313例5（2）

期中安排考試科目9門,語文要在數(shù)學(xué)之前考,有多少種不同的安排順序?解

不加任何限制條件,整個(gè)排法有種,“語文安排在數(shù)學(xué)之前考”,與“數(shù)學(xué)安排在語文之前考”的排法是相等的,所以語文安排在數(shù)學(xué)之前考的排法共有種.結(jié)論5

對(duì)等法:在有些題目中,它的限制條件的肯定與否定是對(duì)等的,各占全體的二分之一.在求解中只要求出全體,就可以得到所求.分析對(duì)于任何一個(gè)排列問題,就其中的兩個(gè)元素來講的話,他們的排列順序只有兩種情況,并且在整個(gè)排列中,他們出現(xiàn)的機(jī)會(huì)是均等的,因此要求其中的某一種情況,能夠得到全體,那么問題就可以解決了.并且也避免了問題的復(fù)雜性.2/6/2023146.剔除法從總體中排除不符合條件的方法數(shù)，這是一種間接解題的方法.例6.從集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取3個(gè)元素分別作為直線方程Ax+By+C=0中的A、B、C，所得的經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線有_________條.解：所有這樣的直線共有條，其中不過原點(diǎn)的直線有條，∴所得的經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線有210-180＝30條.排列組合應(yīng)用題往往和代數(shù)、三角、立體幾何、平面解析幾何的某些知識(shí)聯(lián)系，從而增加了問題的綜合性，解答這類應(yīng)用題時(shí)，要注意使用相關(guān)知識(shí)對(duì)答案進(jìn)行取舍.2/6/202315變：某班里有43位同學(xué),從中任抽5人,正、副班長(zhǎng)、團(tuán)支部書記至少有一人在內(nèi)的抽法有多少種?解

43人中任抽5人的方法有種,正副班長(zhǎng),團(tuán)支部書記都不在內(nèi)的抽法有種,所以正副班長(zhǎng),團(tuán)支部書記至少有1人在內(nèi)的抽法有種.結(jié)論6

排除法:有些問題,正面直接考慮比較復(fù)雜,而它的反面往往比較簡(jiǎn)捷,可以先求出它的反面,再從整體中排除.分析此題若是直接去考慮的話,就要將問題分成好幾種情況,這樣解題的話,容易造成各種情況遺漏或者重復(fù)的情況.而如果從此問題相反的方面去考慮的話,不但容易理解,而且在計(jì)算中也是非常的簡(jiǎn)便.這樣就可以簡(jiǎn)化計(jì)算過程.2/6/202316互斥分類--分類法先后有序--位置法反面明了--排除法相鄰排列--捆綁法分隔排列--插空法

。。。。。。。。。。。2/6/202317小結(jié):本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了解決排列組合應(yīng)用題的一些解題技巧,具體有插入法,捆綁法,轉(zhuǎn)化法,剩余法,對(duì)等法,排異法;對(duì)于不同的題目,根據(jù)它們的條件,我們就可以選取不同的技巧來解決問題.對(duì)于一些比較復(fù)雜的問題,我們可以將幾種技巧結(jié)合起來應(yīng)用,便于我們迅速準(zhǔn)確地解題.在這些技巧中所涉及到的數(shù)學(xué)思想方法,例如:分類討論思想,變換思想,特殊化思想等等,要在應(yīng)用中注意掌握.2/6/202318④要明確堆的順序時(shí)，必須先分堆后再把堆數(shù)當(dāng)作元素個(gè)數(shù)作全排列.②若干個(gè)不同的元素局部“等分”有ｍ個(gè)均等堆,要將選取出每一個(gè)堆的組合數(shù)的乘積除以m!①若干個(gè)不同的元素“等分”為ｍ個(gè)堆,要將選取出每一個(gè)堆的組合數(shù)的乘積除以m!③非均分堆問題，只要按比例取出分完再用乘法原理作積.分組（堆）問題的六個(gè)模型：①無序不等分；②無序等分；③無序局部等分；(④有序不等分；⑤有序等分；⑥有序局部等分.)處理問題的原則：分組（堆）問題2/6/202319有四項(xiàng)不同的工程，要發(fā)包給三個(gè)工程隊(duì)，要求每個(gè)工程隊(duì)至少要得到一項(xiàng)工程.共有多少種不同的發(fā)包方式？

解：要完成發(fā)包這件事，可以分為兩個(gè)步驟：⑴先將四項(xiàng)工程分為三“堆”，有種分法；⑵再將分好的三“堆”依次給三個(gè)工程隊(duì)，有3!＝6種給法.∴共有6×6＝36種不同的發(fā)包方式.分組（堆）問題2/6/202320練習(xí)：

有12個(gè)人，按照下列要求分配，求不同的分法種數(shù)．（1）分為兩組，一組7人，一組5人；（2）分為甲、乙兩組，甲組7人，乙組5人；（3）分為甲、乙兩組，一組7人，一組5人；（4）分為甲、乙兩組，每組6人；（5）分為兩組，每