高等數(shù)學(xué)A-第1章-8-1(函數(shù)及其性質(zhì))

中南大學(xué)開放式精品示范課堂高等數(shù)學(xué)建設(shè)組第1章函數(shù)與極限高等數(shù)學(xué)A1.1函數(shù)及其性質(zhì)

1.1.1映射1.1.2函數(shù)的概念1.1.3函數(shù)的特性1.1.4函數(shù)的運(yùn)算1.1.5函數(shù)的四則運(yùn)算1.1.6初等函數(shù)

1.1函數(shù)及其性質(zhì)1.1.2函數(shù)的概念1.1.1映射定義單射、滿射、一一映射、可數(shù)集，算子、泛函、變換、函數(shù)逆映射與復(fù)合映射函數(shù)定義函數(shù)定義域和函數(shù)圖形表示函數(shù)關(guān)系式的方法及分段函數(shù)1.1.6初等函數(shù)1.1.5函數(shù)的四則運(yùn)算復(fù)合函數(shù)1.1.3函數(shù)的特性函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的有界性函數(shù)的奇偶性函數(shù)的周期性1.1.4函數(shù)的運(yùn)算反函數(shù)基本初等函數(shù)初等函數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)習(xí)例1-7函數(shù)及其性質(zhì)1.函數(shù)的定義一、函數(shù)的概念設(shè)D是實(shí)數(shù)集，稱映射為定義在D上的函數(shù),

通常簡(jiǎn)記為因變量自變量數(shù)集D叫做函數(shù)f的定義域,記作，即可見,函數(shù)是從實(shí)數(shù)集到實(shí)數(shù)集的映射,其值域總在內(nèi)，因此構(gòu)成函數(shù)的要素是：定義域與對(duì)應(yīng)法則單值函數(shù)與多值函數(shù)如果自變量在定義域內(nèi)任取一個(gè)數(shù)值時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值總是只有一個(gè)，這種函數(shù)叫做單值函數(shù)；否則叫做多值函數(shù)．只有一個(gè)自變量的函數(shù)，稱為一元函數(shù).故若兩個(gè)函數(shù)的定義域相同,對(duì)應(yīng)法則也相同,則這兩個(gè)函數(shù)就是相同的,否則就是不同的.

表示函數(shù)的記號(hào)是可以任意選取的,除了常用的外,還可以用其他的英文字母或希臘字母,比如“、

、”等，相應(yīng)的函數(shù)可記為f判斷函數(shù)f與g是否是同一函數(shù)？(2)自然定義域.理論研究中,對(duì)應(yīng)法則是用數(shù)學(xué)公式表示的函數(shù),這種函數(shù)的定義域是使數(shù)學(xué)公式有意義的自變量的所有值構(gòu)成的實(shí)數(shù)集.即當(dāng)函數(shù)由公式（表達(dá)式）給出時(shí)，使公式有意義的自變量的取值范圍就是函數(shù)的定義域.如：分式的分母不為0；(3)定義域的表示法：不等式法，集合法，區(qū)間法，敘述法與圖示法.2.函數(shù)定義域的確定(1)由實(shí)際問題決定.區(qū)間:是指介于某兩個(gè)實(shí)數(shù)之間的全體實(shí)數(shù).這兩個(gè)實(shí)數(shù)叫做區(qū)間的端點(diǎn).稱為開區(qū)間,稱為閉區(qū)間,稱為半開區(qū)間,稱為半開區(qū)間,有限區(qū)間無限區(qū)間區(qū)間長度的定義:兩端點(diǎn)間的距離(線段的長度)稱為區(qū)間的長度.鄰域:例

求函數(shù)的定義域解：所以函數(shù)的定義域?yàn)?1,2].3.函數(shù)的圖形4.分段函數(shù)對(duì)于自變量的不同值（或在不同區(qū)間上），函數(shù)的表達(dá)式不同，這種函數(shù)稱為分段函數(shù).(1)絕對(duì)值函數(shù)(2)符號(hào)函數(shù)11xyo(3)取整函數(shù)y=[x][x]表示不超過x的最大整數(shù)

12345-2-4-4-3-2-1

4321-1-3xyo(4)Dirichlet(狄利克雷)函數(shù)有理數(shù)點(diǎn)無理數(shù)點(diǎn)?1xyo(5)取最值函數(shù)yxoyxo(6)整標(biāo)函數(shù)以自然數(shù)為自變量的函數(shù):圖形為一些離散的點(diǎn)構(gòu)成.二、函數(shù)的特性1.函數(shù)的單調(diào)性則稱f(x)在I上嚴(yán)格單調(diào)上升或嚴(yán)格單調(diào)遞增（嚴(yán)格單調(diào)下降或嚴(yán)格單調(diào)遞減）.則稱f(x)在I上單調(diào)上升或單調(diào)遞增(單調(diào)下降或單調(diào)遞減).單增和單減的函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)，I稱為單調(diào)區(qū)間.由有限個(gè)單調(diào)函數(shù)組成的函數(shù)，稱為分段單調(diào)函數(shù).如2.函數(shù)的有界性通常函數(shù)的有界性與區(qū)間有關(guān)，3.函數(shù)的奇偶性偶函數(shù)圖形關(guān)于y軸對(duì)稱yxox-x奇函數(shù)圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱yxox-x注意：(1)若f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱，則f(x)一定不是奇函數(shù)或偶函數(shù).即f(x)可表示為一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)之和.

(3)奇偶函數(shù)的性質(zhì)偶函數(shù)的和與差仍是偶函數(shù)，奇函數(shù)的和與差仍是奇函數(shù)；兩個(gè)奇（或偶）函數(shù)的商是偶函數(shù)；奇函數(shù)與偶函數(shù)的積（或商）是奇函數(shù)；有限個(gè)偶函數(shù)的積仍是偶函數(shù)；偶數(shù)個(gè)奇函數(shù)的積是偶函數(shù).4.函數(shù)的周期性任一周期函數(shù)都有無窮多個(gè)周期.若在無窮多個(gè)周期中，存在一個(gè)最小的正數(shù)，則這個(gè)正數(shù)稱為最小正周期，簡(jiǎn)稱周期.并非所有周期函數(shù)都有最小正周期,如Dirichlet函數(shù)容易驗(yàn)證這是一個(gè)周期函數(shù),任何正有理數(shù)都是它的周期,因?yàn)椴淮嬖谧钚〉恼欣頂?shù),所以Dirichlet函數(shù)沒有最小正周期.三、函數(shù)的運(yùn)算1.反函數(shù)

定義：注意：(1)反函數(shù)的定義域和值域恰好是原來函數(shù)的值域和定義域.DWWD設(shè)函數(shù)是單射，則它存在逆映射,稱此映射為函數(shù)的反函數(shù).亦即(2)直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于y=x對(duì)稱.反函數(shù)的求法：(1)一般先從方程y=f(x)中解出x,然后再將所得結(jié)果中的

x與y互換位置即可;(2)對(duì)分段函數(shù),只要分段求出反函數(shù)便得.(3)反函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則是完全由原函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則所確定.2.復(fù)合函數(shù)

定義：注意：(2)復(fù)合函數(shù)可以由兩個(gè)以上的函數(shù)經(jīng)過復(fù)合構(gòu)成.即不是任何兩個(gè)函數(shù)都可以復(fù)合成一個(gè)復(fù)合函數(shù)的.

復(fù)合函數(shù)的求法：(1)對(duì)于非分段函數(shù)常用直接代入的方法；(2)對(duì)于分段函數(shù)常用討論的方法.

四、函數(shù)的四則運(yùn)算

函數(shù)的四則運(yùn)算

這四種運(yùn)算稱為函數(shù)的四則運(yùn)算.設(shè)函數(shù)的定義域分別為，則可以定義這兩個(gè)函數(shù)的下列運(yùn)算:和差積商五、初等函數(shù)1.基本初等函數(shù)(1)常數(shù)函數(shù)(2)冪函數(shù)(3)指數(shù)函數(shù)(4)對(duì)數(shù)函數(shù)(5)三角函數(shù)正弦函數(shù)余弦函數(shù)正切函數(shù)余切函數(shù)正割函數(shù)余割函數(shù)(6)反三角函數(shù)冪函數(shù),指數(shù)函數(shù),對(duì)數(shù)函數(shù),三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù).基本初等函數(shù)2.初等函數(shù)由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個(gè)式子表示的函數(shù),稱為初等函數(shù).并非所有的函數(shù)都是初等函數(shù),分段函數(shù)一般不是初等函數(shù).但也有例外!3.雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)------都是初等函數(shù).六、函數(shù)及其性質(zhì)——舉例

解：解：由此可求得x的取值范圍，即為定義域.解：易知該函數(shù)的定義域?yàn)椋航猓航猓阂驗(yàn)樗宰C明：兩式聯(lián)立可求得，證明：