高中數(shù)學人教A版第一章集合與函數(shù)概念函數(shù)及其表示 函數(shù)的概念教學設計

函數(shù)的概念教學設計漯河高中趙莉一、教學目標

1、知識與技能通過豐富的實例，讓學生①了解函數(shù)是非空數(shù)集到非空數(shù)集的一個對應；②了解構成函數(shù)的三要素；③理解函數(shù)概念的本質(zhì)；④理解f(x)與f(a)（a為常數(shù)）的區(qū)別與聯(lián)系；⑤會求一些簡單函數(shù)的定義域。2．過程與方法在教學過程中，結合生活中的實例，通過師生互動、生生互動培養(yǎng)學生分析推理、歸納總結和表達問題的能力，在函數(shù)概念的構建過程中體會類比、歸納、猜想等數(shù)學思想方法。3、情感、態(tài)度與價值觀讓學生充分體驗函數(shù)概念的形成過程，參與函數(shù)定義域的求解過程以及函數(shù)的求值過程，使學生感受到數(shù)學的抽象美與簡潔美。二、教學重點、難點重點：函數(shù)的概念以及構成函數(shù)的三要素；難點：函數(shù)概念的形成及理解。三、學法與教學方法1、學法：2、教學方法：有效教學的課堂模式四、教學過程（一）創(chuàng)設情景、提出問題提問1：初中時函數(shù)的概念是如何定義的？[設計意圖：通過提問，學生復習了初中函數(shù)的概念，為提問2打下鋪墊，為引入本節(jié)課題，并為學習高中階段函數(shù)的概念作好準備。]生：一般地,設在一個變化過程中有兩個變量x、y,如果對于x的每一個值,y都有唯一的值與它對應,那么就說x是自變量,y是x的函數(shù).提問2：?y=1是函數(shù)嗎？?y=x與是相同的函數(shù)嗎？【學情預設：學生可能回答的不盡相同】[設計意圖：通過提問，學生發(fā)現(xiàn)利用初中的概念很難回答這兩個問題，從而理解了從更深的高度學習函數(shù)概念的必要，從而引出了本節(jié)課題。]（二）師生互動、探究新知1、函數(shù)的有關概念師：下面我們共同看生活中的三個例子例1：一枚炮彈發(fā)射后,經(jīng)過26s落到地面擊中目標.炮彈的射高為845m,且炮彈距地面的高度h(單位:m)隨時間t(單位:s)變化的規(guī)律是h=130t-5t2.例2：近幾十年來，大氣層中的臭氧迅速減少，因而出現(xiàn)了臭氧層空洞問題．圖中的曲線顯示了南極上空臭氧層空洞的面積從年的變化情況．例3：國際上常用恩格爾系數(shù)反映一個國家人民生活質(zhì)量的高低，恩格爾系數(shù)越低，生活質(zhì)量越高．表中恩格爾系數(shù)隨時間（年）變化的情況表明，“八五”計劃以來，我國城鎮(zhèn)居民的生活質(zhì)量發(fā)生了顯著變化．時間（年）19911992199319941995199619971998199920002023恩格爾系數(shù)（%）對于這三個實例，我分別提出一個問題請同學們思考：問題1：從炮彈發(fā)射到炮彈落地的時間內(nèi)，集合A中是否存在某一時間t,在B中沒有高度h與之相對應？是否有兩個或多個高度與之相對應？問題2：從1979-2023年，集合A中是否存在某一時間t,在B中沒有面積S與之相對應？是否有兩個或多個面積與之相對應？問題3：從1991-2023年，集合A中是否存在某一時間t,在B中沒有恩格爾系數(shù)與之相對應？是否有兩個或多個恩格爾系數(shù)與之相對應？[設計意圖：通過三個問題的提問，著重向?qū)W生滲透集合與對應的觀點，這樣再用集合與對應的觀點描述函數(shù)是顯得不突兀]師：通過剛才的三個問題，請同學們總結出這三個實例的各自特點。生1：炮彈飛行時間的變化范圍是數(shù)集，炮彈距地面的高度h的變化范圍是數(shù)集，對應關系。從問題的實際意義可知，對于數(shù)集A中的任意一個時間t，按照對應關系，在數(shù)集B中都有唯一確定的高度h和它對應。生2：數(shù)集，，并且對于數(shù)集A中的任意一個時間t，按圖中曲線，在數(shù)集B中都有唯一確定的臭氧層空洞面積S和它對應。生3：數(shù)集A={1991,1992,1993,1994,1995,1996,1997,1998,1999,2000,2023}，B={,,,,,,,,,}且對于數(shù)集A中的每一個時間，按表格，在數(shù)集B中都有唯一確定的恩格爾系數(shù)和它對應?！緦W情預設：學生能根據(jù)問題回答出這三個實例的各自特點，但語言可能不精準，教師應根據(jù)學生回答的情況進行補充和修正，滲透集合和對應的觀點】師：綜合3個例子的各自特點，我們能發(fā)現(xiàn)它們有什么共同特點？生：對于數(shù)集A中的每一個x，按照某種對應關系f，在數(shù)集B中都有唯一確定的y和它對應。師：對，同學們總結的非常好，這就是函數(shù)的定義（板書），我們共同大聲的把函數(shù)的定義讀出來生（共同）：設A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)．記作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域．師：函數(shù)的概念既已形成，那么它的本質(zhì)是什么呢？我們先看一個表格，請學號01-05的同學填寫上次考試的數(shù)學成績，之后回答下面3個問題：問題1：若學號構成集合A={01,02,03,04,05}，成績構成集合B={132,135,120,125,122}，f:上次考試數(shù)學成績，由A到B能否構成函數(shù)？問題2：若將問題1中集合A改為“A={杜杭，王麗，林晨晨，姚壯，田汶帥}”，其余條件不變，那么由A到B能否構成函數(shù)？問題3：若學號04的學生上次考試因病缺考，無成績，那么學號與成績能否構成函數(shù)？[設計意圖：通過提問，使學生對函數(shù)概念中關鍵詞的把握更準確，對函數(shù)概念的理解更直觀，為下面總結函數(shù)概念的本質(zhì)特征打下基礎]ABfABf師：ABfABf[設計意圖：對函數(shù)概念的理解由具體到抽象，螺旋上升]師：在我們理解了函數(shù)是非空數(shù)集到非空數(shù)集的一對一或多對一的對應關系后，對于函數(shù)的概念，我們應該強調(diào)以下幾點：1、A,B都是非空數(shù)集；2、A中任意，B中唯一；3、函數(shù)的定義域為A；函數(shù)的值域{f(x)|x∈A}B；師：對于初中我們所學的一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)它們的定義域值域分別是什么呢？[設計意圖：通過提問，學生既復習了初中所學函數(shù)的圖像，又進一步加深了對定義域、值域概念的理解]生：函數(shù)圖像定義域值域y=kx+b(k0) y0 xRR(a>0)y0xR師：由以上分析我們知道函數(shù)有幾大要素？決定函數(shù)的主要因素是什么？生：函數(shù)有三要素：定義域、對應關系和值域，而決定因素是定義域和對應關系。（板書）師:回答的非常好！由同學們的回答我們可知：如果兩個函數(shù)的定義域，對應關系完全一致，則兩個函數(shù)相等，這是判斷兩函數(shù)相等的依據(jù).（板書）2、區(qū)間的概念設a，b為實數(shù)，且a<b定義名稱符號數(shù)軸表示閉區(qū)間[a,b]開區(qū)間(a,b)半開半閉區(qū)間(a,b]半開半閉區(qū)間[a,b)oxoxy實數(shù)集R可以用區(qū)間表示為（-∞，+∞），并且，我們把滿足x≥a,x>a,x≤b,x<b的實數(shù)x的集合分別表示為[a,+∞),(a,+∞),(-∞,b],(-∞,b).提問：數(shù)集都可以用區(qū)間表示嗎？（學生討論）生1：單元素集合不能生2：離散的集合不能【師生互動：各種不能用區(qū)間表示的集合問題進行總結?！浚ㄈ┖献魈骄?、例題分析【師生互動】本節(jié)的例題和變式訓練將采用小組討論，合作探究的方式，由學生主講，不足部分可以由其他同學補充，最后教師點評類型一函數(shù)概念的應用xy0xyxy0xyoxoy1y1oxoyxyo1-1ABCCDE[設計意圖：考察對函數(shù)概念的理解，緊扣定義，驗證對于定義域內(nèi)的每一個x，是否有唯一的函數(shù)值與之相對應]xo42yo°x4y21（2）已知A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|1≤yxo42yo°x4y21AB°??°??y4xo221x4y21o?CD[設計意圖：考察在函數(shù)的概念中，集合A就是函數(shù)的定義域，集合B包含函數(shù)的值域這一知識點]師:如果把題目條件改為，“以A為定義域，以B為值域的函數(shù)選哪個選項？”【學情預設：學生可能對B、C選項會有質(zhì)疑】(3)與函數(shù)y＝x＋1相等的函數(shù)是(B)．A．y＝(x＋1)0B．C．y＝(eq\r(x＋1))2D．y＝|x＋1|[設計意圖：考察函數(shù)相等的條件，定義域和對應關系一致就是相等的函數(shù)，本題切入點是判斷他們的定義域和對應關系是否一致]類型二求函數(shù)的定義域【例2】求下列函數(shù)的定義域：(1)y＝eq\f(x＋12,x＋1)－eq\r(1－x)；(2)[設計意圖：函數(shù)問題首要考慮定義域，這貫穿了整個高中數(shù)學，是高考的重點，也是易漏點，本題設計目的讓學生對函數(shù)的定義域有直觀的認識，并能總結都有哪些類型的定義域問題]解：（1）要使函數(shù)有意義，∴即：∴定義域為(-∞,-1)∪(-1,1]（2）要使函數(shù)有意義，∴即：∴定義域為(-∞,-3)∪(-3,-2]∪(0,1)∪(1,+∞)【注：提示學生函數(shù)的定義域要用集合或區(qū)間的形式表示，不能用范圍表示】師：對于函數(shù)的定義域，我們大家討論一下我們目前學過的都有哪些類型？經(jīng)過學生討論生1：1、如果f(x)是分式，那么函數(shù)的定義域是使分母不為0的實數(shù)的集合；2、如果f(x)為偶次根式，那么函數(shù)的定義域是使根號內(nèi)的式子大于或等于0的實數(shù)的集合；3、如果f(x)是0次方式，那么函數(shù)的定義域是底數(shù)不為0的實數(shù)的集合。生2：我再補充一下：1、如果f(x)是整式，那么函數(shù)的定義域是實數(shù)集R；2、如果f(x)是由幾個部分的數(shù)學式子構成的，那么函數(shù)的定義域是使各部分式子都有意義的實數(shù)的集合師：同學生總結的非常好，我們把求函數(shù)定義域的類型進行一下歸總，有以下幾類：1、如果f(x)是整式，那么函數(shù)的定義域是實數(shù)集R；2、如果f(x)是分式，那么函數(shù)的定義域是使分母不為0的實數(shù)的集合；3、如果f(x)為偶次根式，那么函數(shù)的定義域是使根號內(nèi)的式子大于或等于0的實數(shù)的集合；4、如果f(x)是0次方式，那么函數(shù)的定義域是底數(shù)不為0的實數(shù)的集合；5、如果f(x)是由幾個部分的數(shù)學式子構成的，那么函數(shù)的定義域是使各部分式子都有意義的實數(shù)的集合；6、如果函數(shù)有實際背景，那么除符合上述要求外，還要符合實際情況．類型三求函數(shù)值【例3】(1)已知①求的值；②當a>0時，求f(a),f(a-1)的值．解：①②因為a>0,所以f(a),f(a-1)有意義.[設計意圖：本題考查求函數(shù)值的問題，要特別注意f(a)與f(x)的區(qū)別，其中f(x)表示x對應的函數(shù)值，不是f乘x；而f(a)是指x=a時的函數(shù)值。]易錯題：函數(shù)y＝eq\f(x,kx2＋kx＋1)的定義域為R，則實數(shù)k的取值范圍為(B)A．k<0或k>4B．0≤k<4C．0<k<4D．k≥4或k≤0[設計意圖：本題是道易錯題，易錯點在于對參數(shù)的討論，考查有關函數(shù)的定義域問題，在遇到含有參數(shù)的問題時一定不能忘記對參數(shù)的討論，特別是最高次項系數(shù)有參數(shù)，要對系數(shù)進行討論]【學情預設：有些學生可能忘記考慮k=0那種情況，應重點給學生強調(diào)】（四）鞏固訓練，反饋練習1.下列對應法則是集合M上的函數(shù)的有()．①M＝Z，N＝N*,對應法則f：對集合M中的元素，取絕對值與N中的元素對應；②M＝{1，－1,2，－2}，N＝{1,4}，對應法則f：x→y＝x2，x∈M，y∈N；③M＝{三角形}，N＝{x|x＞0}，對應法則f：對M中的三角形求面積與N中的元素對應．A．1個B．2個C．3個D．0個2函數(shù)定義域為()A．(－∞，1]B．(－∞，2]C．(－∞，－eq\f(1,2)）∩(－eq\f(1,2)，1)D．(－∞，－eq\f(1,2))∪(－eq\f(1,2)，1]3．下列各組函數(shù)是相等函數(shù)的是________(只填序號)．①f(x)＝x－1，g(x)＝(eq\r(x－1))2；②f(x)＝|x－3|，；③f(x)＝eq\f(x2－4,x－2)，g(x)＝x＋2；④，g(x)＝eq\r(x－1)·eq\r(x－3).4．函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線x＝a的交點()A．必有一個B．一個或兩個C．至多一個