高中數(shù)學(xué)人教A版第三章直線與方程 數(shù)學(xué)（人教版）第三章直線與方程復(fù)習(xí)

直線中的幾類對稱問題（下周晚自習(xí)讓學(xué)生自學(xué)，教師點(diǎn)撥）1月8日寫反思對稱問題，是解析幾何中比較典型，高考中?？嫉臒狳c(diǎn)問題.對于直線中的對稱問題，我們可以分為：點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱；點(diǎn)關(guān)于直線的對稱；直線關(guān)于點(diǎn)的對稱，直線關(guān)于直線的對稱.本文通過幾道典型例題，來介紹這幾類對稱問題的求解策略.一、點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱問題點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱問題，是對稱問題中最基礎(chǔ)最重要的一類，其余幾類對稱問題均可以化歸為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱進(jìn)行求解.熟練掌握和靈活運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式是處理這類問題的關(guān)鍵.例1求點(diǎn)A（2，4）關(guān)于點(diǎn)B（3，5）對稱的點(diǎn)C的坐標(biāo).分析：易知B是線段AC的中點(diǎn)，由此我們可以由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，構(gòu)造方程求解.解由題意知，B是線段AC的中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)C（x，y），由中點(diǎn)坐標(biāo)公式有，解得，故C（4，6）.點(diǎn)評解決點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱問題，我們借助中點(diǎn)坐標(biāo)公式進(jìn)行求解.另外此題有可以利用中點(diǎn)的性質(zhì)AB=BC，以及A，B，C三點(diǎn)共線的性質(zhì)去列方程來求解.二、點(diǎn)關(guān)于直線的對稱問題點(diǎn)關(guān)于直線的對稱問題是點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱問題的延伸，處理這類問題主要抓住兩個方面：①兩點(diǎn)連線與已知直線斜率乘積等于-1，②兩點(diǎn)的中點(diǎn)在已知直線上.例2求點(diǎn)A（1，3）關(guān)于直線l：x+2y-3=0的對稱點(diǎn)A′的坐標(biāo).分析因為A，A′關(guān)于直線對稱，所以直線l是線段AA′的垂直平分線.這就找到了解題的突破口.解據(jù)分析，直線l與直線AA′垂直，并且平分線段AA′，設(shè)A′的坐標(biāo)為（x，y），則AA′的中點(diǎn)B的坐標(biāo)為由題意可知，，解得.故所求點(diǎn)A′的坐標(biāo)為三、直線關(guān)于某點(diǎn)對稱的問題直線關(guān)于點(diǎn)的對稱問題，可轉(zhuǎn)化為直線上的點(diǎn)關(guān)于某點(diǎn)對稱的問題，這里需要注意到的是兩對稱直線是平行的.我們往往利用平行直線系去求解.例3求直線2x+11y+16=0關(guān)于點(diǎn)P（0，1）對稱的直線方程.分析本題可以利用兩直線平行，以及點(diǎn)P到兩直線的距離相等求解，也可以先在已知直線上取一點(diǎn)，再求該點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)P的對稱點(diǎn)，代入對稱直線方程待定相關(guān)常數(shù).解法一由中心對稱性質(zhì)知，所求對稱直線與已知直線平行，故可設(shè)對稱直線方程為2x+11y+c=0.由點(diǎn)到直線距離公式，得，即|11+c|=27，得c=16（即為已知直線，舍去）或c=-38.故所求對稱直線方程為2x+11y-38=0.解法二在直線2x+11y+16=0上取兩點(diǎn)A（-8，0），則點(diǎn)A（-8，0）關(guān)于P（0，1）的對稱點(diǎn)的B（8，2）.由中心對稱性質(zhì)知，所求對稱直線與已知直線平行，故可設(shè)對稱直線方程為2x+11y+c=0.將B（8，2）代入，解得c=-38.故所求對稱直線方程為2x+11y-38=0.點(diǎn)評解法一利用所求的對稱直線肯定與已知直線平行，再由點(diǎn)（對稱中心）到此兩直線距離相等，而求出c，使問題解決，而解法二是轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱問題，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求出對稱點(diǎn)坐標(biāo)，再利用直線系方程，寫出直線方程.本題兩種解法都體現(xiàn)了直線系方程的優(yōu)越性.四、直線關(guān)于直線的對稱問題直線關(guān)于直線對稱問題，包含有兩種情形：①兩直線平行，②兩直線相交.對于①，我們可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對稱問題去求解；對于②，其一般解法為先求交點(diǎn)，再用“到角”，或是轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線對稱問題.例4求直線l1：x-y-1=0關(guān)于直線l2：x-y+1=0對稱的直線l的方程.分析由題意，所給的兩直線l1，l2為平行直線，求解這類對稱總是，我們可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對稱問題，再利用平行直線系去求解，或者利用距離相等尋求解答.解根據(jù)分析，可設(shè)直線l的方程為x-y+c=0，在直線l1：x-y-1=0上取點(diǎn)M（1，0），則易求得M關(guān)于直線l2：x-y+1=0的對稱點(diǎn)N（-1，2），將N的坐標(biāo)代入方程x-y+c=0，解得c=3，故所求直線l的方程為x-y+3=0.點(diǎn)評將對稱問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，是我們求解這類問題的一種必不可少的思路.另外此題也可以先利用平行直線系方程寫出直線l的形式，然后再在直線l2上的任取一點(diǎn)，在根據(jù)該點(diǎn)到互相對稱的兩直線的距離相等去待定相關(guān)常數(shù).例5試求直線l1：x-y-2=0關(guān)于直線l2：3x-y+3=0對稱的直線l的方程.分析兩直線相交，可先求其交點(diǎn)，再利用到角公式求直線斜率.解由解得l1，l2的交點(diǎn)，設(shè)所求直線l的斜率為k，由到角公式得，，所以k=-7.由點(diǎn)斜式，得直線l的方程為7x+y+22=0.直線系方程的問題分類解析直線系方程問題是高中數(shù)學(xué)中的一類重要問題，在解題中有著重要的應(yīng)用，本文將直線系在解題中的應(yīng)用作以介紹，供同學(xué)們學(xué)習(xí)時參考.一、平行直線系方程在解題中的應(yīng)用與直線：（A,B不同時為0）平行的直線系方程為：（）.例1求過點(diǎn)A(3,2)且與直線：平行的直線的方程.分析：本題是已知兩平行直線中的一條直線方程求另一條直線方程問題，可用平行直線系求解.解析：設(shè)：（），A(3,2)在m上∴3+2+c=0,解得c=-5∴直線方程為：x+y+5=0點(diǎn)評：對于已知兩直線平行和其中一條直線方程求另一直線方程問題，常用平行直線系法，以簡化計算.二、垂直直線系方程在解題中的應(yīng)用與直線：（A,B不同時為0）垂直的直線系方程為：.例2求過點(diǎn)B(3,0)且與直線垂直直線的方程.分析：本題是已知兩直線垂直和其中一條直線方程求另一直線方程問題，可用垂直直線系法.解析：設(shè)：，B(3,0)在上∴2*3+0+c=0,解得c=-6∴：2x+y-6=0.點(diǎn)評：對已知兩直線垂直和其中一條直線方程求另一直線方程問題，常用垂直直線系法，可以簡化計算.（平行線系，垂直線系在該章復(fù)習(xí)課上例題講解。）三、求直線系方程過定點(diǎn)問題例5證明：直線(是參數(shù)且∈R)過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo).分析：本題是證明直線系過定點(diǎn)問題，可用恒等式法解析：（恒等式法）直線方程化為:,∵∈R,∴，解得，，，∴直線(是參數(shù)且∈R)過定點(diǎn)（1,1）.∴直線(是參數(shù)且∈R)過定點(diǎn)（1,1）.點(diǎn)評：對證明直線系過定點(diǎn)問題，常用方法有恒等式法，就是將直線方程化為關(guān)于參數(shù)的恒等式形式，利用參數(shù)屬于R，則恒等式個系數(shù)為0，列出關(guān)于的方程組，通過解方程組，求出定點(diǎn)坐標(biāo)。四、過兩直線交點(diǎn)的直線系方程在解題中的應(yīng)用過直線：（不同時為0）與：（不同時為0）交點(diǎn)的直線系方程為：（，為參數(shù)）.例4求過直線：與直線：的交點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程.分析：本題是過兩直線交點(diǎn)的直線系問題，可用過交點(diǎn)直線系求解.解析：設(shè)所求直線方程為：，當(dāng)直線過原點(diǎn)時，則=0，則=－1，此時所求直線方程為：；當(dāng)所求直線不過原點(diǎn)時，令=0，解得=，令=0，解得=，由題意得，=，解得，此時，所求直線方程為：.綜上所述，所求直線方程為：或.五、過定點(diǎn)直線系方程在解題中的應(yīng)用過定點(diǎn)（，）的直線系方程：（A,B不同時為0）.例3求過點(diǎn)圓的切線的方程．分析：本題是過定點(diǎn)直線方程問題，可用定點(diǎn)直線系法.解析：設(shè)所求直線的方程為（其中不全為零），則整理有，∵直線l與圓相切，∴圓心到直線l的距離等于半徑1，故