mathematica教程第五章線性代數(shù)運算命令與例題課件

第五章

線性代數(shù)運算命令與例題

5.1向量與矩陣的定義數(shù)學(xué)上矩陣是這樣定義的:由個數(shù)排成m行n列的數(shù)表:稱為m行n列矩陣，特別，當(dāng)m=1時就是線性代數(shù)中的向量。記作:兩個矩陣稱為同型矩陣。5.1.1輸入一個矩陣命令形式1:Table[f[i,j]，{i，m}，{j，n}]功能:輸入矩陣，其中f是關(guān)于i和j的函數(shù)，給出[i，j]項的值.命令形式2:直接用表的形式來輸入功能:用于矩陣元素表達(dá)式規(guī)律不易找到的矩陣的輸入。注意:1.要看通常的矩陣形式可以用命令:MatrixForm[%]2.對應(yīng)上述命令形式，輸入一個向量的命令為Table[f[j]，{j,n}]或直接輸入一個一維表{a1,a2,…,an}，這里a1,a2,…,an是數(shù)或字母。

例2.輸入一個矩陣解:Mathematica命令I(lǐng)n[3]:=Table[Sin[i+j]，{i，5}，{j，3}]Out[3]:={{Sin[2]，Sin[3]，Sin[4]}，{Sin[3]，Sin[4]，Sin[5]}，{Sin[4]，Sin[5]，Sin[6]}，{Sin[5]，Sin[6]，Sin[7]}，{Sin[6]，Sin[7]，Sin[8]}}In[4]:=MatrixForm[%]Out[4]:=Sin[2]Sin[3]Sin[4]Sin[3]Sin[4]Sin[5]Sin[4]Sin[5]Sin[6]Sin[5]Sin[6]Sin[7]Sin[6]Sin[7]Sin[8]5.1.2幾個特殊矩陣的輸入1.生成0矩陣命令形式:Table[0，{m}，{n}]功能:產(chǎn)生一個的0矩陣2.生成隨機數(shù)矩陣命令形式:Table[Random[]，{m}，{n}]功能:產(chǎn)生一個的隨機數(shù)矩陣3.生成上三角矩陣命令形式:Table[If[i<=j，a，0]，{i，m}，{j，n}]功能:產(chǎn)生一個非0元全為數(shù)a的上三角矩陣4.生成下三角矩陣命令形式:Table[If[i>=j，a，0]，{i，m}，{j，n}]功能:產(chǎn)生一個非0元全為數(shù)a的下三角矩陣5.生成三對角矩陣命令形式:Table[Switch[i-j，-1，a[[i]]，0，b[[i]]，1，c[[i-1]]，-，0]，{i，m}，{j，n}]功能:產(chǎn)生一個的三對角矩陣6.生成對角矩陣命令形式:DiagonalMatrix[list]功能:使用列表中的元素生成一個對角矩陣.7.生成單位矩陣命令形式:IdentityMatrix[n]功能:生成n階單位陣?yán)?.構(gòu)造非0元全為2的45上三角矩陣。解:Mathematica命令I(lǐng)n[8]:=Table[If[i<=j，2，0]，{i，4}，{j，5}]Out[8]={{2，2，2，2，2}，{0，2，2，2，2}，{0，0，2，2，2}，{0，0，0，2，2}}In[9]:=MatrixForm[%]Out[9]=22222022220022200022例6.構(gòu)造非0元全為1的44下三角方陣。解:Mathematica命令I(lǐng)n[10]:=Table[If[i>=j，1，0]，{i，4}，{j，4}]Out[10]={{1，0，0，0}，{1，1，0，0}，{1，1，1，0}，{1，1，1，1}}In[11]:=MatrixForm[%]Out[11]=1000110011101111例7.生成三對角矩陣解:Mathematica命令I(lǐng)n[12]:=Table[Switch[i-j，-1，a，0，b，1，c，_，0]，{i，6}，{j，6}]Out[12]={{b，a，0，0，0，0}，{c，b，a，0，0，0}，{0，c，b，a,0,0}，{0，0，c，b，a，0}，{0，0，0，c，b，a}，{0，0，0，0，c，b}}例8.生成對角矩陣解:Mathematica命令I(lǐng)n[13]:=DiagonalMatrix[{a，b，c，d}]Out[13]={{a，0，0，0}，{0，b，0，0}，{0，0，c，0}，{0，0，0，d}}例9.生成5階單位矩陣。解:Mathematica命令I(lǐng)n[14]:=a=IdentityMatrix[5]Out[14]={{1，0，0，0，0}，{0，1，0，0，0}，{0，0，1，00}，{0，0，0，1，0}，{0，0，0，0，1}}In[15]:=MatrixForm[%]Out[15]=1000001000001000001000001例10.計算解:Mathematica命令I(lǐng)n[16]:={{1，3，7}，{-3，9，-1}}+{{2，3，-2}，{-1，6，-7}}Out[16]={{3，6，5}，{-4，15，-8}}例11．計算解:Mathematica命令I(lǐng)n[17]:=5{{1，2，3}，{3，5，1}}Out[17]={{5，10，15}，{15，25，5}}例12.求向量與的點積。解:Mathematica命令I(lǐng)n[18]:={a，b，c}.{e，f，g}Out[18]=ae+bf+cg例13.求向量{a，b，c}與矩陣的乘積。解:Mathematica命令I(lǐng)n[19]:={a，b，c}.{{1，2}，{3，4}，{5，6}}Out[19]={a+3b+5c，2a+4b+6c}例14.求矩陣與向量{a，b}的乘積。解:Mathematica命令I(lǐng)n[20]:={{1，2}，{3，4}，{5，6}}.{a，b}Out[20]:={a+2b，3a+4b，5a+6b}

例15:求矩陣與的乘積。解:Mathematica命令I(lǐng)n[21]:=a={{1，3，0}，{-2，-1，1}}In[22]:=b={{1，3，-1，0}，{0，-1，2，1}，{2，4，0，1}}In[23]:=a.bOut[23]:={{1，0，5，3}，{0，-1，0，0}}例17.求矩陣的逆。解:Mathematica命令I(lǐng)n[26]:=Inverse[{{a，b}，{c，d}}]Out[26]:=例18.求矩陣的轉(zhuǎn)置。解:Mathematica命令I(lǐng)n[27]:=A={{1，2，3，4}，{2，3，4，5}，{3，4，5，6}}Out[27]:={{1，2，3，4}，{2，3，4，5}，{3，4，5，6}}In[28]:=Transpose[A]Out[28]:={{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}}5.2.2.方陣的運算求行列式命令形式:Det[A]功能:計算方陣A的行列式求方陣的冪命令形式:MatrixPower[A，n]功能:計算方陣A的n次冪。求矩陣的k階子式命令形式:Minors[A，k]功能:求出矩陣A的所有可能的k階子式的值。例19,求A的行列式解:Mathematica命令I(lǐng)n[29]:=Det[{{a，b}，{c，d}}]Out[29]:=-bc+ad

例20.求矩陣的2次冪。解:Mathematica命令I(lǐng)n[30]:=MatrixPower[{{1，2}，{3，4}}，2]Out[30]:={{7，10}，{15，22}}例22.某農(nóng)場飼養(yǎng)的動物所能達(dá)到的最大年齡為15歲，將其分為三個年齡組：第一組，0——5歲；第二組6——10歲；第三組成11——15歲。動物從第二年齡組起開始繁殖后代，經(jīng)過長期統(tǒng)計，第二年齡組的動物在其年齡段平均繁殖4個后代，第三組在其年齡段平均繁殖3個后代，第一年齡組和第二年齡組的動物能順利進(jìn)入下一個年齡組的存活率分別是1/2和1/4。假設(shè)農(nóng)場現(xiàn)有三個年齡段的動物各1000頭，問15年后農(nóng)場飼養(yǎng)的動物總數(shù)及農(nóng)場三個年齡段的動物各將達(dá)到多少頭？指出15年間，動物總增長多少頭及總增長率。解：年齡組為5歲一段，故將時間周期也取5年。15年經(jīng)過3個周期。用k=1，2，3分別表示第一、二、三個周期，xi(k)表示第i個年齡組在第k個周期的數(shù)量。由題意，有如下矩陣遞推關(guān)系：即利用Mathematica計算有：In[32]:=L={{0，4，3}.{1/2，0，0}，{0，1/4，0}};

x0={1000，1000，1000};In[33]:=Do[x0=L.x0;Print[x0]，{3}]Out[33]：={7000，500，250}{2750，3500，125}{14375，1375，875}結(jié)果分析：15年后，農(nóng)場飼養(yǎng)的動物總數(shù)將達(dá)到16625頭，其中0——5歲的有14375頭，占總數(shù)的86.47%，6——10歲的有1375頭，占8.27%，11——15歲的有875頭，占5.226%，15年間，動物總增長13625頭，總增長率為13625/3000=454.16%。5.3解線性方程組命令形式:Solve[eqns，{x1，x2，…}]功能:求解以{x1，x2，…}為未知量的方程或紡方程組。注:eqns表示方程或方程組，其中的等號用兩個等號“==”輸入。例23．求方程組的解。解:Mathematica命令I(lǐng)n[34]:=Solve[{2x+3y==4，x-y==1}，{x，y}]Out[34]:=

例25.

求非齊次方程的解。解:Mathematica命令I(lǐng)n[37]:=Solve[{2x1+7x2+3x3+x4==6，3x1+5x2+2x3+2x4==4，9x1+4x2+x3+7x4==2}，{x1，x2，x3，x4}]Out[37]=

5.4求矩陣特征值和特征向量命令形式1:Eigenvalues[A]

功能:求出方陣A的全部特征值。命令形式2:Eigenvalues[N[A]]

功能:求出方陣A的全部特征值的數(shù)值解。注意:命令1有時不能求出特征值，而命令2總能求出特征值的近似值例26.求矩陣的特征值。解:Mathematica命令I(lǐng)n[38]:=A={{2.，1.，1.}，{1.，2.，1.}，{1.，1.，2.}}Out[38]={{2.，1.，1.}，{1.，2.，1.}，{1.，1.，2.}}In[39]:=Eigenvalues[A]Out[39]={4.，1.，1.}5.4.2求矩陣特征向量命令命令形式1:Eigenvectors[A]功能:求方陣A全部特征向量。命令形式2:

Eigenvectors[N[A]]功能:求方陣A全部特征向量的數(shù)值解。例29.求矩陣的特征向量。解:Mathematica命令I(lǐng)n[47]:=A={{2.，1.，1.}，{1.，2.，1.}，{1.，1.，2.}}Out[47]={{2.，1.，1.}，{1.，2.，1.}，{1.，1.，2.}}In[48]=Eigenvectors[A]Out[48]={{0.57735，0.57735，0.57735}，{0.，-0.707107，0.707107}，{-0.816497，0.408248，0.408248}}得三個特征向量為:{0.57735，0.57735，0.57735}，{0.，-0.707107，0.7