高中數(shù)學(xué)人教A版第三章函數(shù)的應(yīng)用函數(shù)模型及其應(yīng)用（全國(guó)一等獎(jiǎng)）

16．函數(shù)模型及其應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)1．從實(shí)例出發(fā)，體驗(yàn)用函數(shù)描述實(shí)際問(wèn)題的價(jià)值，體會(huì)函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的基體模型．2．掌握函數(shù)建模的基本方法和步驟．3．熟悉幾種主要的函數(shù)模型：一次函數(shù)、二次函數(shù)、分段函數(shù)及較簡(jiǎn)單的指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)．4．初步樹(shù)立利用函數(shù)模型研究變量取值范圍和最值的意識(shí)，初步理解生活中的優(yōu)化問(wèn)題一般都應(yīng)通過(guò)建立函數(shù)模型來(lái)分析與研究這種數(shù)學(xué)思考方式．一、夯實(shí)基礎(chǔ)基礎(chǔ)梳理1．三種函數(shù)模型的性質(zhì)在圖象的變化隨的增大逐漸與軸平行隨的增大逐漸與軸平行隨值不同而不同2．三種函數(shù)增長(zhǎng)速度（1）在區(qū)間上，函數(shù)，和都是__________．但__________不同，且不在同一個(gè)“檔次”上．（2）隨著的增大，的增長(zhǎng)速度越來(lái)越快，會(huì)超過(guò)并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于的增長(zhǎng)速度，而的增長(zhǎng)速度__________．（3）存在一個(gè)，當(dāng)時(shí)，有__________．3．常見(jiàn)函數(shù)數(shù)模型名稱(chēng)解析式條件一次函數(shù)模型反比例函數(shù)模型二次函數(shù)模型頂點(diǎn)式：指數(shù)函數(shù)模型且對(duì)數(shù)函數(shù)模型且冪函數(shù)模型4．題型分析（1）圖象信息遷移問(wèn)題； （2）指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)模型的比較（3）利用已知函數(shù)模型解決問(wèn)題 （4）自建函數(shù)模型應(yīng)用題基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) 1．一個(gè)水池每小時(shí)注入水量是全池的，水池還沒(méi)有注水部分與總量的比隨時(shí)間（小量）變化的關(guān)系式為_(kāi)_________．2．如圖，用長(zhǎng)度為24的材料圍一個(gè)矩形場(chǎng)地，中間且有兩道隔墻，要使矩形的面積最大，則隔墻的長(zhǎng)度為（）．A．3 B．4 C．6 D．12米的長(zhǎng)方體無(wú)蓋水池，如池底和池壁的造價(jià)分別為和80元/米，則總造價(jià)與一底連長(zhǎng)的函數(shù)關(guān)系式為（）．A． B．C． D．4．似定從甲地到乙地通話分鐘的電話費(fèi)由（其中，是大于或等于的最小整數(shù)），則從甲地到乙地通話時(shí)間為分鐘的話費(fèi)為_(kāi)_________．5．周長(zhǎng)為的鐵絲彎成下部為矩形，上部為半圓形的框架（如圖），若矩形底邊長(zhǎng)為，此框架?chē)傻拿娣e為，則關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式是_____________________________二、學(xué)習(xí)指引自主探究1．不同函數(shù)模型能夠刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界不同的變化規(guī)律，如一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)就是常用的描述現(xiàn)實(shí)世界中不同增長(zhǎng)規(guī)律的函數(shù)模型，那么建立函數(shù)模型的含義是什么呢？2．如圖所示，在矩形中，已知，（1）每天幾點(diǎn)時(shí)蓄水池中的存水量最少？（2）若池中存水量不多于80噸時(shí)，就會(huì)出現(xiàn)供水緊張現(xiàn)象，則每天會(huì)有幾個(gè)小時(shí)出現(xiàn)這種現(xiàn)象？【解析】（1）設(shè)點(diǎn)時(shí)（即從零點(diǎn)起小時(shí)后）池中的存水量為噸，則，當(dāng)時(shí)，即，取得最小值40．即每天6點(diǎn)時(shí)蓄水池中的存水量最少．（2）由，解得，即，時(shí)，池中存水量將不多于80噸，由知，每天將有8個(gè)小時(shí)出現(xiàn)供水緊張現(xiàn)象．答：（1）每天6點(diǎn)時(shí)蓄水池中的存水量最少；（2）每天將有8個(gè)小時(shí)出現(xiàn)供水緊張現(xiàn)象．4．某醫(yī)藥研究所開(kāi)發(fā)了一種新藥，據(jù)監(jiān)測(cè)，如果成人按規(guī)定的劑量服用該藥，服藥后每毫升血液中的含藥量與服藥后的時(shí)間之間近似滿足如圖所示的曲線．其中是線段，部分是函數(shù)（是常數(shù)）的圖象，此部分圖象經(jīng)過(guò)、點(diǎn)（如圖所示）．（1）寫(xiě)出服藥后每豪升血液中含藥量關(guān)于時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式；（2）據(jù)測(cè)定：每豪升血液中含藥量不少于時(shí)治療有效，假若某病人第一次服藥為早上60：00，當(dāng)藥效沒(méi)有時(shí)應(yīng)立即服第二次藥，第二次服藥最遲是當(dāng)天幾點(diǎn)鐘？（3）若按（2）中的最遲時(shí)間服用第二次藥，則第二次服藥后再過(guò)，該病人每豪升血液中含藥量為多少？【解析】（1）當(dāng)時(shí)，設(shè)，代入，解得．當(dāng)時(shí)將，代入，得所以服藥后每豪升血液中含藥量關(guān)于時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式為：（2）由圖可知，只需考慮服藥1小時(shí)后，什么時(shí)候沒(méi)有藥效即可．由知道，第一次服藥5小時(shí)后沒(méi)有藥效，因此當(dāng)天上午11點(diǎn)鐘應(yīng)再次服藥．（3）11點(diǎn)鐘再次服藥后三小時(shí)，體內(nèi)的藥物量由兩部分組成，一是第一次服藥形成的藥物剩余量，二是第二次服藥形成的藥物剩余量，其中，，就是說(shuō)第二次服藥后再過(guò)，該病人每豪升血液中含藥量為．5．某平原鎮(zhèn)有、、、四間工廠坐落在邊長(zhǎng)為的正方形頂點(diǎn)上，為了交通暢順，繁榮經(jīng)濟(jì)，鎮(zhèn)政府決定修建一個(gè)如圖所示的使得任何兩間工廠都有通道的道路網(wǎng)（為正方形中心，）．（1）是否存在一個(gè)道路網(wǎng)，滿足題設(shè)要求且使它的總長(zhǎng)不超過(guò)；（2）當(dāng)為多少時(shí)，道路網(wǎng)的總長(zhǎng)度最短．【解析】設(shè)道路網(wǎng)的總長(zhǎng)為，則，（*）（1）依題要求有，即，解得，由此可知，當(dāng)公共道路長(zhǎng)，有無(wú)數(shù)種方案滿足要求．（2）為了求函數(shù)的最小值．把（*）化為的方程．上述關(guān)于方程有解，解得，把代入（*），解得．故當(dāng)公共道路長(zhǎng)為時(shí)，道路網(wǎng)總長(zhǎng)最短，為．三、能力提升能力闖關(guān)1．某大樓共有20層，有19人在第一層上了電梯，他們分別要去第二至第二十層，每層1人，而電梯只允計(jì)停一次，只可使1人滿意，其余18人都要步行上樓或下樓，假定乘客每向下走1層的不滿意度為1，每向上走1層的不滿意度為2，所有人的不滿意度為，為使最小，電梯應(yīng)當(dāng)停在__________層．2．某公司制定年度獎(jiǎng)勵(lì)條例，對(duì)在工作中取得優(yōu)異成績(jī)的營(yíng)銷(xiāo)經(jīng)理實(shí)行獎(jiǎng)勵(lì)，其中有一個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)項(xiàng)目是針對(duì)產(chǎn)品營(yíng)銷(xiāo)成績(jī)的高低對(duì)營(yíng)銷(xiāo)經(jīng)理進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)的．獎(jiǎng)勵(lì)公式為：，（其中是營(yíng)銷(xiāo)經(jīng)理一年的月平均營(yíng)銷(xiāo)成績(jī)與該公司所有營(yíng)銷(xiāo)經(jīng)理一年的月平均營(yíng)銷(xiāo)成績(jī)之差，的單位為元），而現(xiàn)有甲、乙兩們營(yíng)銷(xiāo)經(jīng)理，甲營(yíng)銷(xiāo)經(jīng)理一年的月平均營(yíng)銷(xiāo)成績(jī)比該公司所有營(yíng)銷(xiāo)經(jīng)理一年的月平均營(yíng)銷(xiāo)成績(jī)高出18個(gè)單位，乙營(yíng)銷(xiāo)經(jīng)理一年的月平均營(yíng)銷(xiāo)成績(jī)比刻公司所有營(yíng)銷(xiāo)經(jīng)理一年的月平均營(yíng)銷(xiāo)成績(jī)高出21個(gè)單位，則乙所得獎(jiǎng)勵(lì)比甲所得獎(jiǎng)勵(lì)多（）．A．6000元 B．9000元 C．16000元 D．17000元3．某租賃公司傭有汽車(chē)100輛．當(dāng)每輛四的月租金為3000元時(shí)，可全部租出．當(dāng)每輛四的月租金增加50元時(shí)，未租出的車(chē)將會(huì)增加一輛．租出的車(chē)每輛每月需要維護(hù)費(fèi)150元，未租出的車(chē)每輛每月需要維護(hù)費(fèi)50元．（1）當(dāng)每輛車(chē)的月租金定為3600元時(shí)，能租出多少輛車(chē)？（2）當(dāng)每輛四的月租金定為多少元時(shí)，該租賃公司，的月收益最大？最大月收益是多少？拓展遷移1．興修水利開(kāi)渠，其橫斷面為等腰梯形，如圖，腰與水平線夾角為，要求浸水周長(zhǎng)（即斷面與水接觸的邊界長(zhǎng)）為定值，當(dāng)渠深__________時(shí)，可使水渠流水量最大．2．某工廠有一段舊墻長(zhǎng)14米，現(xiàn)準(zhǔn)備利用這段舊墻為一面建造平面圖形為矩形，面積為的廠房，工程條件是：①建1米新墻的費(fèi)用為元；②修1米舊墻的費(fèi)用為元；③拆去1米的舊墻，用可得的建材建1米的新建的費(fèi)用為元，經(jīng)討論有兩種方案：方案一：利用舊墻一段米為矩形一邊；方案二：矩形廠房利用舊墻的一面邊長(zhǎng)，問(wèn)如何利用舊墻建墻費(fèi)用最省？試比較兩種方案哪個(gè)更好．挑戰(zhàn)極限1．地產(chǎn)汽油，地需要汽油，如果用汽車(chē)直接從地往地運(yùn)油，往返所需油耗恰好等于其滿載汽油的噸數(shù)，所以無(wú)法直接從地將汽油運(yùn)到地，今在其途中地設(shè)一個(gè)中轉(zhuǎn)汽油庫(kù)，先由往返于，之間的汽車(chē)將汽油運(yùn)到地，然后再由往返于，之間的汽車(chē)將汽油運(yùn)到地．（1）設(shè)，怎樣組織運(yùn)輸才能以最經(jīng)濟(jì)的方法將地的汽油運(yùn)往地（即地收到的汽油最多），此時(shí)運(yùn)油率等于多少？（2）等于多少時(shí)，運(yùn)油率取得最大值？此時(shí)又將怎樣組織運(yùn)輸？課程小結(jié)1．解決函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題應(yīng)用問(wèn)題應(yīng)著重注意以下幾點(diǎn)：（1）閱讀理解、整理數(shù)據(jù)：通過(guò)分析、畫(huà)圖、列表、歸類(lèi)等方法，快速弄清數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，數(shù)據(jù)的單位等等．理解題意的過(guò)程包括對(duì)題意的整體理解和局部理解，以及分析關(guān)系、領(lǐng)悟?qū)嵸|(zhì)．“整體理解”就是弄清題目所述的事件和研究對(duì)象；“局部理解”是指抓住題目中的關(guān)鍵字句，正確把握其含義；“分析關(guān)系”就是根據(jù)題意，弄清題中各有關(guān)量的數(shù)量關(guān)系；“領(lǐng)悟?qū)嵸|(zhì)”是指抓住題目中的主要部題、正確的識(shí)別其類(lèi)型．（2）建立函數(shù)模型：關(guān)鍵是正確選反自變量將問(wèn)題的目瞟表示為這個(gè)變量的函數(shù)，建立函數(shù)模型的過(guò)程主要是抓住某些量之間的相等關(guān)系列出函數(shù)式，不要忘記考察函數(shù)的定義域．（3）求解函數(shù)模型：主要是計(jì)算函數(shù)的特殊值，研究函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的值域、最大（?。┲档龋⒁獍l(fā)揮函數(shù)圖象的作用.（4）還原評(píng)價(jià)：應(yīng)用問(wèn)題不是單純的數(shù)學(xué)問(wèn)題，既要符合數(shù)學(xué)學(xué)科又要符合實(shí)際背景，對(duì)于解出的結(jié)果要代入原問(wèn)題進(jìn)行檢驗(yàn)、評(píng)判最后作出的結(jié)論，并作出回答.2．?dāng)?shù)學(xué)建模中的分析方法有：（1）關(guān)系分析法，即通過(guò)尋找關(guān)鍵詞和關(guān)鍵量之間的數(shù)量關(guān)系的方法來(lái)建立問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型的方法.（2）列表分析法，即通過(guò)列表的方式探索問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型的方法.（3）圖像分析法，即通過(guò)對(duì)圖像中的數(shù)量關(guān)系時(shí)行分析來(lái)建立問(wèn)題數(shù)學(xué)模型的方法.《導(dǎo)學(xué)手冊(cè)》問(wèn)題記錄表大家在儾使用時(shí)如有發(fā)現(xiàn)有問(wèn)題，請(qǐng)寫(xiě)在下面，交數(shù)學(xué)組，謝謝！頁(yè)碼章節(jié)部分問(wèn)題描述示例：P41挑戰(zhàn)極限11題原題中應(yīng)為“”

16．函數(shù)模型及其應(yīng)用基礎(chǔ)梳理1．增函數(shù)，增函數(shù)，增函數(shù)．2．增函數(shù)，增長(zhǎng)速度，越來(lái)越慢，．基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1．，且．2．．【解析】設(shè)隔墻長(zhǎng)為，則矩形場(chǎng)地長(zhǎng)寬分別為，矩形的面積，，顯然當(dāng)隔墻長(zhǎng)時(shí)，矩形的面積最大．3．．4．．．5．．【解析】半圓弧長(zhǎng)為，矩形寬為，于是框架?chē)傻拿娣e為，要使問(wèn)題有意義，應(yīng)有．自主探究1．【解析】分別用變量表示有因果關(guān)系的兩個(gè)量，如果我們能將變量表示為的函數(shù)，則稱(chēng)此函數(shù)為問(wèn)題的一個(gè)函數(shù)模型．我們生活中的絕大多數(shù)變化現(xiàn)象，很難根據(jù)已知理論直接建立函數(shù)模型，一般是通過(guò)采集變化過(guò)程中的變量的數(shù)據(jù)，描出相應(yīng)的散點(diǎn)圖建立大致反映變化規(guī)律的函數(shù)模型．2．【解析】（1）容易證明四邊形是平行四邊形，我們有三種方法求四邊形的面積，其一，直接求面積，用底底上的高求；其二，用；其三，間接求面積，用矩形面積減去四個(gè)角上的直角三角形的面積，對(duì)于本題，用方法三解，最佳．設(shè)四邊形面積為，則，∴．（2）的取值要保證圖形中的線段長(zhǎng)滿足下列關(guān)系，所以應(yīng)有，故所求函數(shù)的定義域?yàn)椋?），∴，若，即時(shí)，則當(dāng)時(shí)，有最大值；若，即時(shí)，在上是增函數(shù)，此時(shí)當(dāng)時(shí)，有最大值為，綜上可知，當(dāng)時(shí)，時(shí)，四邊形面積，當(dāng)時(shí)，時(shí)，四邊形面積．3．【解析】建立函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題，一般有下列幾個(gè)重要步驟：第一步：設(shè)置因果變量；第二步：利用已知條件，建立關(guān)于的函數(shù)解析式；第三步：研究函數(shù)的定義域；第四步：利用函數(shù)研究目標(biāo)，如果函數(shù)解析式中有字母系數(shù)，則需通過(guò)分類(lèi)討論研究目標(biāo)；第五步：回答問(wèn)題．4．【解析】（1）由于銷(xiāo)售量和各種支出均以月為單位計(jì)量，所以，先考慮月利潤(rùn)，設(shè)該店的月利潤(rùn)為元，有職工名．則．又由圖可知：（2）將代入有：由已知，當(dāng)時(shí)，，即，解得．即此時(shí)該店有名職工．（3）若該店只安排名職工，則月利潤(rùn)當(dāng)時(shí)，求得時(shí)，取最大值元．當(dāng)時(shí)，求得時(shí)，取最大值元．綜上，當(dāng)時(shí)，月利潤(rùn)有最大值元．需要還清的總債務(wù)是：萬(wàn)元+20萬(wàn)元=（元），設(shè)該店最早可在年后還清債務(wù)，依題意，有，解得．所以，該店最早可在年后還清債務(wù)，此時(shí)消費(fèi)品的單價(jià)定為元．想一想1．如圖所示，的增長(zhǎng)速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)快于的增長(zhǎng)速度．2．生活實(shí)際問(wèn)題中，自變量考慮生活實(shí)際意義，不能只注重函數(shù)解析式自身的限制要求．能力闖關(guān)1．14．【解析】設(shè)電梯停在層的不滿意度為，則，將再定成：，兩式相加得：，∴．此二次函數(shù)開(kāi)口向上，是最靠近對(duì)稱(chēng)軸的整數(shù)，故時(shí)，最?。?．．【解析】甲所得獎(jiǎng)勵(lì)為（元），乙所得獎(jiǎng)勵(lì)為（元），所以乙所得獎(jiǎng)勵(lì)比甲所得獎(jiǎng)勵(lì)多（元）．3．【解析】（1）當(dāng)每輛車(chē)的月租金定為元時(shí)，未租出的車(chē)輛數(shù)為，所以這時(shí)租出了輛車(chē)．（2）設(shè)每輛車(chē)的月租金定為元，則租憑公司的月收益為，整理，得，所以，當(dāng)時(shí)，最大，其最大值為，即當(dāng)每輛車(chē)的月租金定為元時(shí)，租憑公司的月收益最大，最大月收益為元．答：（1）當(dāng)每輛車(chē)的月租金定為元時(shí)，能租出輛車(chē)；（2）當(dāng)每輛車(chē)的月租金定為元時(shí)，租憑公司的月收益最大，最大月收益為元．拓展遷移1．．【解析】設(shè)渠底長(zhǎng)為，則腰長(zhǎng)，∴，橫斷面面積，要使問(wèn)題有意義，應(yīng)有，顯然當(dāng)，時(shí)，橫斷面面積最大，從而水渠流水量也最大．2．【解析】如果選擇方案一：修舊墻費(fèi)用為元，拆舊墻造新墻費(fèi)用為，其余新墻費(fèi)用：，∴總費(fèi)用，∴，當(dāng)時(shí)，，如果選擇方案二：利用舊墻費(fèi)用為（元），建新墻費(fèi)用為（元）