高中數(shù)學(xué)蘇教版第一章立體幾何初步單元測試 市賽獲獎(jiǎng)

1．3空間幾何體的表面積和體積1．空間幾何體的表面積在人類的生存空間中存在著各種各樣的幾何體，有時(shí)為了工作，需要度量幾何體的表面積和體積．如對建筑物裝飾時(shí)，需要知道建筑物的表面積；為了計(jì)算建筑物的容納量需計(jì)算建筑物的體積；又如在機(jī)械制造時(shí)，為了下料需計(jì)算物體的表面積等等．例如粉碎機(jī)的下料斗是正四棱臺形(如右圖所示)，它的兩底面邊長分別為80mm和440mm，高為2001．棱柱的側(cè)面展開圖是由平行四邊形構(gòu)成的平面圖形，棱錐的側(cè)面展開圖是由三角形構(gòu)成的平面圖形，棱臺的側(cè)面展開圖是由梯形構(gòu)成的平面圖形．2．多面體的底面積與側(cè)面積的和叫做多面體的表面積(又稱全面積)．特別：①S柱體側(cè)＝Ch(C是底周長，h是高)；②S錐體側(cè)＝eq\f(1,2)Ch′(C為底周長，h′為斜高)；③S臺體側(cè)＝eq\f(1,2)(C＋C′)h′(C′為上底周長，C為下底周長，h′為斜高)．3．圓柱的側(cè)面展開圖是矩形，圓錐的側(cè)面展開圖是扇形，圓臺的側(cè)面展開圖是由一大扇形截去一個(gè)小扇形所得到的一個(gè)扇環(huán)．特別地：①S圓柱表＝2πR(R＋l)(R為底面圓的半徑，l為圓柱的母線長)；②S圓錐表＝πR(R＋l)(R為底面圓的半徑，l為圓錐的母線長)；③S圓臺表＝π(R2＋r2＋Rl＋rl)(R為下底面圓的半徑，r為上底面圓的半徑，l為圓臺的母線長)．,一、多面體與旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面展開圖①多面體：棱柱的側(cè)面展開圖是由平行四邊形構(gòu)成的平面圖形，棱錐的側(cè)面展開圖是由三角形構(gòu)成的平面圖形，棱臺的側(cè)面展開圖是由梯形構(gòu)成的平面圖形．②旋轉(zhuǎn)體：圓柱的側(cè)面展開圖是矩形，圓錐的側(cè)面展開圖是扇形，圓臺的側(cè)面展開圖是由一大扇形截去一個(gè)小扇形所得到的一個(gè)扇環(huán)．特別地：多面體與旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面展開圖是計(jì)算其側(cè)面積和表面積的基礎(chǔ)，同學(xué)們在學(xué)習(xí)中一定要借助圖形來加強(qiáng)理解和記憶．二、棱柱、棱錐、棱臺的表面積①S直棱柱側(cè)＝Ch(C是底周長，h是高)；②S正棱錐側(cè)＝eq\f(1,2)Ch′(C為底周長，h′為斜高)；③S正棱臺側(cè)＝eq\f(1,2)(C＋C′)h′(C′為上底周長，C為下底周長，h′為斜高)．我們知道表面積是側(cè)面積與底面積的和，因此理解和記憶柱體、錐體、臺體、球的表面積時(shí)，要學(xué)會將直棱柱、正棱錐、正棱臺側(cè)面展開在一個(gè)平面上，得到它們的側(cè)面展開圖；從各個(gè)側(cè)面的多邊形的幾何特征上推導(dǎo)出公式．三、圓柱、圓錐、圓臺的表面積公式①S圓柱表＝2πR2＋2πRl＝2πR(R＋l)(R為底面圓的半徑，l為圓柱的母線長)；②S圓錐表＝πR2＋πRl＝πR(R＋l)(R為底面圓的半徑，l為圓錐的母線長)；③S圓臺表＝π(R2＋r2＋Rl＋rl)(R為下底面圓的半徑，r為上底面圓的半徑，l為圓臺的母線長)．熟練掌握圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖是記憶和應(yīng)用公式的關(guān)鍵，要謹(jǐn)記：圓柱的側(cè)面展開圖是矩形，圓錐的側(cè)面展開圖是扇形，圓臺的側(cè)面展開圖是由一大扇形截去一個(gè)小扇形所得到的一個(gè)扇環(huán)．四、球的表面積公式：S球面＝4πR2(R為球半徑)記憶公式時(shí)要借助于球的截面圓進(jìn)行記憶，即球面面積等于它的大圓面積的4倍，另外公式的推導(dǎo)中應(yīng)用了“分割、求近似值、再由近似值轉(zhuǎn)化為所求”的方法，這是一種重要的數(shù)學(xué)方法——割補(bǔ)法，同學(xué)們在學(xué)習(xí)中要深刻領(lǐng)會．eq\x(基)eq\x(礎(chǔ))eq\x(鞏)eq\x(固)知識點(diǎn)一棱柱、棱錐、棱臺的表面積1．長方體的高為2，底面積等于12，過不相鄰兩側(cè)棱的截面(對角面)的面積為10，則此長方體的側(cè)面積為________．解析：設(shè)長方體的長與寬分別為a、b，則a·b＝12且eq\r(a2＋b2)·2＝10，解得a＝4、b＝3，故長方體的側(cè)面積為2×(4＋3)×2＝28.答案：282．(2023·浙江卷)某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則此幾何體的表面積是(D)A．90cm2B．129cm2C．132cm2D．解析：將三視圖還原為長方形與直三棱柱的組合體，再利用表面積公式求解．該幾何體如圖所示，長方體的長、寬、高分別為6cm、4cm、3cm，直三棱柱的底面是直三角形，邊長分別為3cm、4cm、5cm，所以表面積S＝[2×(4×6＋4×3)＋3×6＋3×3]＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5×3＋4×3＋2×\f(1,2)×4×3))＝99＋39＝138(3．已知正三棱臺(上、下底是正三角形，上底面的中心在下底面的投影是下底面的中心)的上、下底面邊長分別為2cm與4cm，側(cè)棱長是eq\r(6)cm，則該三棱臺的表面積為________．解析：三棱臺的表面積即上、下兩個(gè)正三角形的面積與三個(gè)側(cè)面的面積和，其中三個(gè)側(cè)面均為等腰梯形，易求出斜高為eq\r(5)cm.答案：(5eq\r(3)＋9eq\r(5))cm24．如圖所示的幾何體是一棱長為4cm的正方體，若在它的各個(gè)面的中心位置上打一個(gè)直徑為2cm、深為1cm的圓柱形的孔，求打孔后的幾何體的表面積是多少(解析：正方體的表面積為42×6＝96(cm2)，一個(gè)圓柱的側(cè)面積為2π×1×1＝(cm2)，則打孔后幾何體的表面積為：96＋×6＝(cm2)．知識點(diǎn)二圓柱、圓錐、圓臺的表面積5．一個(gè)圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)正方形，這個(gè)圓柱的全面積與側(cè)面積之比為(A)\f(1＋2π,2π)\f(1＋4π,4π)\f(1＋2π,π)\f(1＋4π,2π)解析：設(shè)圓柱的底面半徑為r，則母線長為2πr，所以：eq\f(S全,S側(cè))＝eq\f(2πrl＋2πr2,2πrl)＝1＋eq\f(r,l)＝1＋eq\f(1,2π)＝eq\f(1＋2π,2π).6．將圓心角為120°，面積為3π的扇形作為圓錐的側(cè)面，則圓錐的表面積為________．解析：由圓心角為120°知扇形面積是其所在圓面積的三分之一，故有，eq\f(1,3)πR2＝3π，所以R2＝9.∴l(xiāng)＝3×eq\f(2,3)π＝2π.∴r＝1.∴S圓錐表＝3π＋πr2＝4π.答案：4π7．圓臺的高是12，母線長為13，兩底面半徑之比為8：3，求圓臺的全面積．解析：如右圖所示，設(shè)兩底面半徑分別為8r和3r，又圓臺的高是12，母線長為13，可列式：(8r－3r)2＋122＝132，解得r＝1，故兩底面半徑分別為8和3，代入表面積公式：S圓臺表＝π(R2＋r2＋Rl＋rl)＝216π.8．已知一個(gè)圓錐的高和底面半徑相等，它的一個(gè)內(nèi)接圓柱的高和圓柱的底面半徑也相等，求圓柱的表面積和圓錐的表面積之比．解析：如圖所示，設(shè)圓柱和圓錐的底面半徑分別是r、R，則有eq\f(r,R)＝eq\f(R－r,R)，即eq\f(r,R)＝eq\f(1,2).所以R＝2r，l＝eq\r(2)R.所以eq\f(S圓柱表,S圓錐表)＝eq\f(2πr2＋2πr2,πR·\r(2)R＋πR2)＝eq\f(4πr2,（\r(2)＋1）πR2)＝eq\f(4r2,（\r(2)＋1）4r2)＝eq\f(1,\r(2)＋1)＝eq\r(2)－1.故圓柱的表面積和圓錐的表面積之比為(eq\r(2)－1)∶1.eq\x(能)eq\x(力)eq\x(升)eq\x(級)綜合點(diǎn)一幾何體表面積公式的綜合應(yīng)用9．如下圖(1)所示，已知正方體面對角線長為a，沿陰影面將它切割成兩塊，拼成如下圖(2)所示的幾何體，那么此幾何體的全面積為________．解析：正方體的邊長為eq\f(\r(2),2)a，新幾何體的全面積為S全＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a))eq\s\up12(2)＋2×a×eq\f(\r(2),2)a＋2×a×eq\f(a,2)＝(2＋eq\r(2))a2.答案：(2＋eq\r(2))a210．正四棱臺的上、下兩底面邊長分別是方程x2－9x＋18＝0的兩根，其側(cè)面積等于兩底面積之和，則其正四棱臺的高為________．解析：設(shè)其斜高為h′，高為h，則在如右圖所示圖形中作A1E⊥面ABCD，B1F⊥面ABCD，A1G⊥AB于點(diǎn)G，連接EG，∴A1G＝h′，A1E∵由題意得上、下兩底面邊長分別為3，6，∴4×eq\f(1,2)(3＋6)×h′＝32＋62.∴h′＝eq\f(5,2).在Rt△A1EG中，GE＝eq\f(6－3,2)＝eq\f(3,2)，∴h＝A1E＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))\s\up12(2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))\s\up12(2))＝2.答案：2綜合點(diǎn)二幾何體側(cè)面展開圖的應(yīng)用11．一圓柱形鐵管的高是底面半徑的5倍，其全面積為12πcm2