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光在晶體中的傳播規(guī)律除了利用上述進(jìn)行嚴(yán)格的討論外,還可以利用一些幾何圖形描述。5.2.2
光在晶體中傳播的幾何法描述(Geometricdescriptionoftransmissionoflightincrystals)幾何圖形能使我們直觀地看出晶體中光波的各個(gè)矢量場(chǎng)間的方向關(guān)系,以及與各傳播方向相應(yīng)的光速或折射率的空間取值分布。5.2.2
光在晶體中傳播的幾何法描述5.2.2
光在晶體中傳播的幾何法描述x1x2x3n1n2n3幾何方法僅僅是一種表示方法,它的基礎(chǔ)仍然是上面所給出的光的電磁理論基本方程和基本關(guān)系。1.折射率橢球1)
折射率橢球方程由光的電磁理論知道,在主軸坐標(biāo)系中,晶體中的電場(chǎng)儲(chǔ)能密度為1)
折射率橢球方程故有在給定能量密度e的情況下,該方程為D(D1、D2、D3)空間的橢球面。1)
折射率橢球方程若令則有2)
折射率橢球的性質(zhì)若從主軸坐標(biāo)系的原點(diǎn)出發(fā)作波法線矢量k,再過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作一平面(k)與k垂直。x3x1k2)
折射率橢球的性質(zhì)(k)與橢球的截線為一橢圓,橢圓的半長(zhǎng)軸和半短軸的矢徑分別記作ra(k)和rb(k),則可以證明折射率橢球具有下面兩個(gè)重要的性質(zhì):x3x1k2)
折射率橢球的性質(zhì)x3x1k①與波法線方向k相應(yīng)的兩個(gè)特許線偏振光的折射率n和n,分別等于這個(gè)橢圓的兩個(gè)主軸的半軸長(zhǎng),即2)
折射率橢球的性質(zhì)只要給定了晶體,知道了晶體的主介電張量,就可以作出相應(yīng)的折射率橢球。x3x1k從而就可以通過(guò)上述的幾何作圖法定出與波法線矢量k相應(yīng)的兩個(gè)特許線偏振光的折射率和D的振動(dòng)方向?,F(xiàn)在證明上述結(jié)論:由空間解析幾何理論,與波法線k垂直的中心截面(k)上的橢圓,應(yīng)滿足下面兩個(gè)方程:x3x1k由于橢圓的長(zhǎng)半軸和短半軸是橢圓矢量的兩個(gè)極值,所以,可以通過(guò)對(duì)滿足(73)式、(74)式的r2=x12+x22
+x32求極值來(lái)確定ra(k)和rb(k)。求解ra(k)和rb(k)的問(wèn)題就變成了對(duì)F求極值的問(wèn)題。而F
取極值的必要條件是它對(duì)x1、x2、x3的一階導(dǎo)數(shù)為零,即將(76)式的三個(gè)式子分別乘以x1、x2、x3,然后相加,利用(73)式和(74)式關(guān)系,得將(77)式、(78)式得出的1和2關(guān)系代入(76)式,可得將(79)式與(38)式進(jìn)行比較可見,二式的差別只是符號(hào)不同。如果我們進(jìn)行如下的代換:并注意到Di/0i=Ei,則(79)式可以寫成通過(guò)中心與k垂直的橢圓截面兩個(gè)主軸矢徑ra和rb的方向,就是波法線矢量為k的兩個(gè)特許編振光D矢量的振動(dòng)方向,兩個(gè)半軸長(zhǎng)ra和rb就是分別與這兩個(gè)線偏振光相應(yīng)的折射率。橢球的三個(gè)半軸長(zhǎng)分別等于三個(gè)主介電系數(shù)的平方根,其方向分別與介電主軸方向一致。x1x2x3n1n2n3通過(guò)橢球中心的每一個(gè)矢徑方向,代表D的一個(gè)振動(dòng)方向,其長(zhǎng)度為D在此方向振動(dòng)的光波折射率,故矢徑可表示為r=nd。所以,折射率橢球有時(shí)也稱為(d,n)曲面。x3x1k3)利用折射率橢球確定D、E、k、s方向的幾何方法利用折射率橢球除了確定相應(yīng)于k的兩個(gè)特許線偏振光D矢量的振動(dòng)方向和折射率外,還可以借助于下述幾何方法,確定D、E、k、s各矢量的方向。x3x1k3)利用折射率橢球確定D、E、k、s方向的幾何方法D、E、k、s矢量都與H矢量垂直,因而同處于一個(gè)平面內(nèi),這個(gè)平面與折射率橢球的交線是一個(gè)橢圓。x3x1kDODEB法線T切平面R3)利用折射率橢球確定D、E、k、s方向的幾何方法如果相應(yīng)于波法線方向k的一個(gè)電位移矢量D確定了,與該D平行的矢徑端點(diǎn)為B,則橢球在B點(diǎn)的法線方向平行于與該D矢量相應(yīng)的E矢量方向。ODEB法線T切平面R曲面f(x1,x2,x3)=C
上某點(diǎn)處的法線方向平行于函數(shù)f在該點(diǎn)處的梯度矢量f。由(69)式,折射率橢球方程可寫成所以,現(xiàn)證明如下:若將xi=Din/D和i=Di/0Ei代入,上式變?yōu)橐蚨@說(shuō)明,與折射率橢球上某點(diǎn)所確定的D矢量相應(yīng)的E矢量方向,平行于橢球在該點(diǎn)處的法線方向。
3)利用折射率橢球確定D、E、k、s方向的幾何方法ODEB法線T切平面R幾何方法:先過(guò)B點(diǎn)作橢圓的切線BT,再由O點(diǎn)向BT作垂線OR,則OR的方向即是B點(diǎn)的法線方向,也就是與D相應(yīng)的E的方向。3)利用折射率橢球確定D、E、k、s方向的幾何方法ODEB法線T切平面R另外,過(guò)O點(diǎn)作BT的平行線OQ,則OQ的方向就是s的方向,而垂直于OB的方向OJ
就k的方向。3)利用折射率橢球確定D、E、k、s方向的幾何方法ODEB法線T切平面RQJks4)應(yīng)用折射率橢球討論晶體的光學(xué)性質(zhì)
(1)各向同性介質(zhì)或立方晶體(2)單軸晶體(3)雙軸晶體
(1)各向同性介質(zhì)或立方晶體在各向同性介質(zhì)或立方晶體中,主介電系數(shù)1=2=
3,主折射率n1=n2=n3=n0,折射率橢球方程為這就是說(shuō),各向同性介質(zhì)或立方晶體的折射率橢球是一個(gè)半徑為n0的球。
(1)各向同性介質(zhì)或立方晶體不論k在什么方向,垂直于k的中心截面與球的交線均是半徑為n0的圓,不存在特定的長(zhǎng)、短軸,因而光學(xué)性質(zhì)是各向同性的。x3x2x1(2)單軸晶體在單軸晶體中,1=23,或n1=n2=no,n3=neno,因此折射率橢球方程為顯然這是一個(gè)旋轉(zhuǎn)橢球面,旋轉(zhuǎn)軸為x3軸。x3x2x1x3x2x1(2)單軸晶體若ne>no稱為正單軸晶體,折射率橢球是沿著x3軸拉長(zhǎng)了的旋轉(zhuǎn)橢球;若ne
<no,稱為負(fù)單軸晶體,折射率橢球是沿著x3軸壓扁了的旋轉(zhuǎn)橢球。設(shè)晶體內(nèi)一平而光波的k與x3軸夾角為,則過(guò)橢球中心作垂直于k的平面(k)與橢球的交線必定是一個(gè)橢圓。下面討論波法線方向?yàn)閗的光波傳播特性:x3x2kx1(k)nonone由于旋轉(zhuǎn)橢球的x1(x2)軸的任意性,可以假設(shè)(k,x3)面為x2Ox3平面。若建立新的坐標(biāo)系O-x1x2x3,使x3軸與k重合,x1軸與x1
軸重合,則x2軸在x2Ox3平面內(nèi)。x3x2x2x3kx1x1(k)nonenone這時(shí),(k)截面即為
x1Ox2面,其方程為x3x2x2x3kx1x1(k)nonenone新舊坐標(biāo)系的變換關(guān)系為x2x2x3x3O(x1,x2,x3)(x1,x2,x3)將上面關(guān)系代入(82)式,再與(83)式聯(lián)立,就有其中經(jīng)過(guò)整理,可得出截線方程為或表示為根據(jù)折射率橢球的性質(zhì),橢圓截線的長(zhǎng)半軸和短半軸方向就是相應(yīng)于波法線方向k的兩個(gè)待許線偏振光的D矢量振動(dòng)方向d和d
,兩個(gè)半軸的長(zhǎng)度等于這兩個(gè)特許線偏振光的折射率n和n
。由(84)式可見,這個(gè)橢圓有一個(gè)半軸的長(zhǎng)度為no方向?yàn)閤1軸方向.如果k在x2Ox3平面內(nèi),不論k的方向如何,它總有一個(gè)特許線偏振光的折射率不變,相應(yīng)的D方向垂直于k與x3軸所構(gòu)成的平面,這就是o光。x3x2x2x3kx1x1(k)nonenone通過(guò)作圖法,即可確定o光的ED,sk。x2x1x3DeEeEoDoksosex3x2x2x3kx1x1(k)nonenone對(duì)于橢圓的另一個(gè)半軸,其長(zhǎng)度為ne,且在x2Ox3
平面上。相應(yīng)于波法線方向k的另一個(gè)特許的線偏振光的D矢量在(k,x3)面內(nèi),相應(yīng)的折射率ne
隨
k的方向變化,這就是e光。x3x2x2x3kx1x1(k)nonenone通過(guò)作圖法可以看出,e光的D方向不在主軸方向,因而E與D不平行,s與k也不平行。這些結(jié)果與解析法得到的結(jié)論完全一致。x2x1x3DeEeEoDoksose下面討論兩種特殊情況:①=0
時(shí),k與x3軸重合,這時(shí),ne=no,中心截面與橢球的截線方程為這是一個(gè)半徑為no的圓。沿x3軸方向傳播的光波折射率為no
,D矢量的振動(dòng)方向除與x
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