高中數(shù)學(xué)蘇教版第一章立體幾何初步 第1章空間幾何體的體積

第1章立體幾何初步空間幾何體的表面積和體積1.3.2空間幾何體的體積A組基礎(chǔ)鞏固1.如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，則三棱錐D1-ACD\f(1,6) \f(1,3)\f(1,2) D．1解析：三棱錐D1-ADC的體積V＝eq\f(1,3)S△ADC·D1D＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×AD·DC·D1D＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,6).答案：A2.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()\f(560,3)\f(580,3)C．200D．240解析：先將三視圖還原為空間幾何體，再根據(jù)體積公式求解．由三視圖知該幾何體為直四棱柱，其底面為等腰梯形，上底長為2，下底長為8，高為4，故面積為S＝eq\f(（2＋8）×4,2)＝20.又棱柱的高為10，所以體積V＝Sh＝20×10＝200.答案：C3．(2023·浙江卷)某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則該幾何體的體積是()A．72cm3 B．90cm3C．108cm3 D．138cm3解析：先根據(jù)三視圖畫出幾何體，再利用體積公式求解．該幾何體為一個(gè)組合體，左側(cè)為三棱柱，右側(cè)為長方體，如圖所示．V＝V三棱柱＋V長方體＝eq\f(1,2)×4×3×3＋4×3×6＝18＋72＝90(cm3)．答案：B4．已知直角三角形的兩直角邊長為a，b，分別以這兩條直角邊所在直線為軸，旋轉(zhuǎn)所形成的幾何體的體積之比為()A．a(chǎn)∶b B．b∶aC．a(chǎn)2∶b2 D．b2∶a2解析：以長為a的直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)得到圓錐體積V＝eq\f(1,3)πb2a，以長為b的直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)得到的圓錐體積V＝eq\f(1,3)πa2b.所以eq\f(1,3)πb2a∶eq\f(1,3)πa2b＝b∶a.答案：B5．設(shè)正方體的表面積為24，那么其外接球的體積是()\f(4,3)π \f(8π,3)C．4eq\r(3)π D．32eq\r(3)π解析：由題意可知，6a2＝24，所以a設(shè)正方體外接球的半徑為R，則eq\r(3)a＝2R，所以R＝eq\r(3)，所以V球＝eq\f(4,3)πR3＝4eq\r(3)π.答案：C6．兩個(gè)球的半徑之比為1∶3，那么兩個(gè)球的表面積之比為()A．1∶9 B．1∶27C．1∶3 D．1∶1解析：eq\f(S1,S2)＝eq\f(4πreq\o\al(2,1),4πreq\o\al(2,2))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r1,r2)))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,9).答案：A7．(2023·天津卷)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(單位：m)，則該幾何體的體積為________m3.解析：根據(jù)三視圖知，該幾何體上部是一個(gè)底面直徑為4m，高為2m的圓錐，下部是一個(gè)底面直徑為2m，高為4m的圓柱．故該幾何體的體積V＝eq\f(1,3)π·22×2＋π·12×4＝eq\f(20,3)π(m3)．答案：eq\f(20,3)π8.已知高為3的直棱柱ABC-A1B1C1的底面是邊長為1的正三角形(如圖所示)，則三棱錐B1-ABC的體積為________解析：因?yàn)镾△ABC＝eq\f(\r(3),4)×12＝eq\f(\r(3),4)，B1到底面ABC的距離即為三棱錐的高等于3，所以VB1－ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·h＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×3＝eq\f(\r(3),4).答案：eq\f(\r(3),4)9．圓錐的母線長為l，高為eq\f(1,2)l，則過圓錐頂點(diǎn)的最大截面面積為________．解析：易得圓錐底面半徑為eq\f(\r(3),2)l，故軸截面的頂角為eq\f(2,3)π，從而過圓錐頂點(diǎn)的最大截面是頂角為eq\f(π,2)的等腰直角三角形．答案：eq\f(1,2)l2B級能力提升10．某幾何體三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A．8－2π B．8－πC．8－eq\f(π,2) D．8－eq\f(π,4)解析：這是一個(gè)正方體切掉兩個(gè)eq\f(1,4)圓柱后得到的幾何體，如圖所示，幾何體的高為2，V＝23－eq\f(1,4)×π·12×2×2＝8－π.答案：B11．若與球外切的圓臺的上、下底面半徑分別為r，R，則球的表面積為()A．4π(r＋R)2 B．4πr2R2C．4πRr D．π(R＋r)2解析：如圖所示，設(shè)球的半徑為r1，則在Rt△CDE中，DE＝2r1，CE＝R－r，DC＝R＋r.由勾股定理得4req\o\al(2,1)＝(R＋r)2－(R－r)2，解得r1＝eq\r(Rr).故球的表面積為S球＝4πreq\o\al(2,1)＝4πRr.答案：C12．如圖所示，在上、下底面對應(yīng)邊的比為1∶2的三棱臺中，過上底面一邊A1B1作一個(gè)平行于對棱AB的平面A1B1EF，這個(gè)平面分三棱臺成兩部分的體積之比為________．解析：設(shè)棱臺的高為h，上底面積為S，則下底面積為4S.所以V臺＝eq\f(1,3)h(S＋4S＋2S)＝eq\f(7,3)Sh，V柱A1B1C1-FEC＝Sh.所以eq\f(V柱A1B1C1FEC,V臺－V柱A1B1C1FEC)＝eq\f(Sh,\f(7,3)Sh－Sh)＝eq\f(3,4).答案：3∶4或4∶313．把一個(gè)圓分為兩個(gè)扇形，一個(gè)頂角為120°，另一個(gè)頂角為240°，把它們卷成兩個(gè)圓錐，則兩個(gè)圓錐的體積之比為________．解析：設(shè)圓的半徑為R，則第一個(gè)圓錐底面周長為C1＝eq\f(2πR,3)，所以r1＝eq\f(R,3).同理，C2＝eq\f(4πR,3)，所以r2＝eq\f(2R,3).又母線為R，所以h1＝eq\f(2\r(2),3)R，h2＝eq\f(\r(5),3)R.所以V1＝eq\f(1,3)πr12h1＝eq\f(2\r(2),81)πR3，V2＝eq\f(1,3)πreq\o\al(2,2)h2＝eq\f(4\r(5),81)πR3.故V1∶V2＝1∶eq\r(10).答案：1∶eq\r(10)14.如圖所示，在等腰三角形ABC中，E，F(xiàn)分別為兩腰AB，AC的中點(diǎn)，AD⊥BC，EH⊥BC，F(xiàn)G⊥BC，D，H，G分別為垂足，若將三角形ABC繞AD旋轉(zhuǎn)一周所得的圓錐的體積為V，求其中由陰影部分所產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)體的體積與V的比值．解：由題意畫出圖形，如圖所示，設(shè)圓錐的高為h，底面半徑為r，則圓柱的高為eq\f(h,2)，底面半徑為eq\f(r,2).所以eq\f(V－V柱,V)＝1－eq\f(V柱,V)＝1－eq\f(π\(zhòng)b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r,2)))\s\up12(2)·\f(h,2),\f(1,3)πr2h)＝1－eq\f(3,8)＝eq\f(5,8).15.如圖所示，在邊長為23的正方形中，剪下了一個(gè)扇形和一個(gè)圓，以此扇形和圓分別作圓錐的側(cè)面和底面，求所圍成的圓錐的體積．解：設(shè)扇形半徑為x，圓的半徑為r，則扇形弧長等于圓的周長，即eq\f(1,4)×2x＝2r，所以x＝4r.又AC＝x＋r＋eq\r(2)r＝23eq\r(2)，所以r＝eq\f(23\r(2),5＋\r(2))＝5eq\r(