高中數(shù)學(xué)北師大版第二章解析幾何初步 名師獲獎(jiǎng)

(本欄目內(nèi)容，在學(xué)生用書中以獨(dú)立形式分冊裝訂！)一、選擇題(每小題5分，共20分)1．直線2x－y＋3＝0與圓C：x2＋(y－1)2＝5的位置關(guān)系是()A．相交 B．相切C．相離 D．不確定解析：圓C：x2＋(y－1)2＝5的圓心C為(0,1)，半徑為eq\r(5).由圓心(0,1)到直線2x－y＋3＝0的距離：d＝eq\f(|－1＋3|,\r(22＋－12))＝eq\f(2,5)eq\r(5)＜eq\r(5).∴直線和圓相交．答案：A2．若圓心在x軸上、半徑為eq\r(5)的圓C位于y軸左側(cè)，且與直線x＋2y＝0相切，則圓C的方程是()A．(x－eq\r(5))2＋y2＝5 B．(x＋eq\r(5))2＋y2＝5C．(x－5)2＋y2＝5 D．(x＋5)2＋y2＝5解析：設(shè)圓心為(x0,0)，則由題意知圓心到直線x＋2y＝0的距離為eq\r(5)，故有eq\f(|x0|,\r(12＋22))＝eq\r(5)，∴|x0|＝5.又圓心在y軸左側(cè)，故x0＝－5.∴圓的方程為(x＋5)2＋y2＝5，選D.答案：D3．若點(diǎn)P(2，－1)為圓C：(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中點(diǎn)，則直線AB的方程為()A．x＋y－1＝0 B．2x＋y－3＝0C．2x－y－5＝0 D．x－y－3＝0解析：圓心是點(diǎn)C(1,0)，由CP⊥AB，得kAB＝1，所以直線AB的方程為x－y－3＝0，故選D.答案：D4．已知圓x2＋y2－4x＋2y＋c＝0與y軸交于A，B兩點(diǎn)，圓心為P，若∠APB＝90°，則c的值為()A．－3 B．3C．8 D．－2eq\r(2)解析：配方得(x－2)2＋(y＋1)2＝5－c，圓心是點(diǎn)P(2，－1)，半徑r＝eq\r(5－c)，點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為2.當(dāng)∠APB＝90°時(shí)，弦心距、半徑和半弦長構(gòu)成等腰直角三角形，所以eq\f(2,\r(5－c))＝eq\f(\r(2),2)，得c＝－3，故選A.答案：A二、填空題(每小題5分，共10分)5．過點(diǎn)(3,1)作圓(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的長為________．解析：最短弦為過點(diǎn)(3,1)，且垂直于點(diǎn)(3,1)與圓心的連線的弦，易知弦心矩d＝eq\r(3－22＋1－22)＝eq\r(2)，所以最短弦長為2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(22－\r(2)2)＝2eq\r(2).答案：2eq\r(2)6．已知圓C與直線x－y＝0及x－y＝4都相切，圓心在直線x＋y＝0上，則圓C的方程為____________．解析：設(shè)圓心為點(diǎn)C(a，－a)，由點(diǎn)到直線的距離公式得eq\f(|2a|,\r(2))＝eq\f(|2a－4|,\r(2))，解得a＝1，所以圓心為(1，－1)，半徑為eq\r(2)，圓的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝2.答案：(x－1)2＋(y＋1)2＝2三、解答題(每小題10分，共20分)7．當(dāng)a(a＞0)取何值時(shí)，直線x＋y－2a＋1＝0與圓x2＋y2－2ax＋2y＋a2－a＋1＝0相切、相離、相交？解析：將已知圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程：(x－a)2＋(y＋1)2＝a.圓心為(a，－1)，半徑為eq\r(a)，則已知圓的圓心(a，－1)到直線x＋y－2a＋1＝0的距離為：d＝eq\f(|a－1－2a＋1|,\r(2))＝eq\f(|a|,\r(2))＝eq\f(a,\r(2)).當(dāng)eq\f(a,\r(2))＝eq\r(a)，即a＝2時(shí)，直線和圓相切；當(dāng)eq\f(a,\r(2))＞eq\r(a)，即a＞2時(shí)，直線和圓相離；當(dāng)eq\f(a,\r(2))＜eq\r(a)，即0＜a＜2時(shí)，直線和圓相交．8．已知圓C：x2＋y2－8y＋12＝0，直線l：ax＋y＋2a＝0.(1)當(dāng)a為何值時(shí)，直線l與圓C相切；(2)當(dāng)直線l與圓C相交于A、B兩點(diǎn)，且AB＝2eq\r(2)時(shí)，求直線l的方程．解析：將圓C：x2＋y2－8y＋12＝0化為標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋(y－4)2＝4，則圓C的圓心為(0,4)，半徑為2.(1)若直線l與圓C相切則有eq\f(|4＋2a|,\r(a2＋1))＝2，解得a＝－eq\f(3,4).(2)過圓心C作CD⊥AB，則根據(jù)題意和圓的性質(zhì)，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(CD＝\f(|4＋2a|,\r(a2＋1))，,CD2＋DA2＝AC2＝4，,DA＝\f(1,2)AB＝\r(2)，))解得a＝－7或－1.∴直線l的方程為7x－y＋14＝0或x－y＋2＝0.eq\x(尖子生題庫)☆☆☆9．(10分)已知圓C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.(1)若圓C的切線在x軸和y軸上的截距相等，求此切線的方程；(2)在直線l：2x－4y＋3＝0上找一點(diǎn)P(m，n)，過該點(diǎn)作圓C的切線，切點(diǎn)記為M，使得|PM|最?。馕觯?1)將圓C的方程整理，得(x＋1)2＋(y－2)2＝2.①當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距為零時(shí)，設(shè)直線方程為y＝kx，由直線與圓相切，得eq\f(|－k－2|,\r(k2＋1))＝eq\r(2)，解得k＝2±eq\r(6)，從而切線方程為y＝(2±eq\r(6))x.②當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距不為零時(shí)，設(shè)直線方程為x＋y－a＝0，由直線與圓相切，得eq\f(|－1＋2－a|,\r(2))＝eq\r(2)，解得a＝－1或3，從而切線方程為x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.(2)因?yàn)閳A心C(－1,2)到直線l的距離d＝eq\f(|2×－1－4×2＋3|,\r(22＋－42))＝eq\f(7,2\r(5))＞eq\r(2)＝r.所以直線l與圓C相離．設(shè)切點(diǎn)為M，當(dāng)|PM|取最小值時(shí)，|CP|取得最小值，此時(shí)直線CP⊥l，則直線CP的斜率為－2，所以直線CP的方程為y